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1、高等代数使用教材及辅导材料课程：高等代数高等代数北京大学数学系几何与代数教研室高等教育出版社1978高等代数丘维声高等教育出版社1996高等代数张禾瑞 郝炳新高等教育出版社1983高等代数习题课教材钱芳华 黎有高 卜淑云 邓培民 广西师范大学出版社1997高等代数解题方法许甫华 张贤科清华大学出版社2001高等代数习题课参考书张均本高等教育出版社1991线性代数试题选解魏宗宣中南工业大学出版社1986用MAPLEV学习线性代数丘维声（译）高等教育出版社 施普林格出版社2001高等代数教学大纲数学与应用数学专业高等代数教学大纲一、课程说明：高等代数是河北师范大学数学与应用数学专业（数学系）的一门
2、重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等方面的系统知识。它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用。二、教学目的及要求：通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论，习题课，作业，辅导等），使学生对多项式理论、线性代数的“解析理论”、与“几何理论”及其思想方法有较深的认识和理解，从而有助于学生正确理解高等代数的基本概念和论证方
3、法及提高分析问题解决问题的能力。三、教学重点及难点：带余除法、最大公因式的性质、不可约多项式的定义及性质、重因式、多项式的有理根等；计算行列式的一些方法；线性方程组及其相关理论的理解及应用；矩阵理论的灵活应用；正定二次型的等价条件及二次型的标准形；向量空间一些基本概念的理解及相关理论的灵活应用；线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量及子空间理论；一些基本概念(内积空间、欧氏空间、正交矩阵、酉空间)的理解。四、与其它课程的关系：本课程为一门基础课，是学习近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等课程的基础。五、学时、学分：142学时，8学分
4、六、教学内容：第1章 多项式 （27学时）本章主要教学内容：数域 一元多项式 整除的概念 最大公因式 因式分解定理 重因式 多项式函数 复系数与实系数多项式的因式分解 有理系数多项式 多元多项式 对称多项式本章教学目的及要求：11 掌握数域的定义,并会判断一个代数系统是否是数域。 12 正确理解数域P上一元多项式的定义,多项式相乘,次数,一元多项式环等概念。掌握多项式的运算及运算律。 13 正确理解整除的定义,熟练掌握带余除法及整除的性质。14 正确理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。15 正确理解和掌握不可约多项式的定义及性
5、质。深刻理解并掌握因式分解及唯一性定理。掌握标准分解式。16 正确理解和掌握k重因式的定义。17 掌握多项式函数的概念,余数定理,多项式的根及性质。正确理解多项式与多项式函数的关系。18 理解代数基本定理。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。19深刻理解有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系。掌握本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。110 理解多元多项式、对称多项式的定义，掌握对称多项式基本定理。本章教学重点及难点：整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、k重因
6、式与k重根的关系、复（实）系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。第2章 行列式 （15学时）本章主要教学内容： 引言 排列 n级行列式 n级行列式的性质 行列式得计算 行列是按一行（列）展开 克兰姆法则本章教学目的及要求：21理解并掌握排列、逆序、逆序数奇偶排列的定义。掌握排列的奇偶性与对换的关系。22 深刻理解和掌握n级行列式的定义,能用定义计算一些特殊行列式。23 熟练掌握行列式的基本性质。24 正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计算一些简单行列式。 25 正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式。掌
7、握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列式的技巧。26 熟练掌握克莱姆(Cramer)法则。27 正确理解和掌握行列式的一个k级子式的余子式等概念、熟练掌握拉普拉斯(Laplace)定理.理解行列式的乘法规则。本章教学重点及难点：n级行列式的定义、行列式的基本性质、矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换、行列式按一行（列）展开的公式、克莱姆(Cramer)法则、拉普拉斯(Laplace)定理。 第3章 线性方程组 （13学时）本章主要教学内容： 消元法 n维向量组 线性相关性3 4 矩阵的秩 线性方程组有解判别定理 线性方程组解的结构本章教学目的及要求：31 正确理解和掌握一般线
8、性方程组,方程组的解,增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求线性方程组的一般解。32 理解和掌握n维向量及两个n维向量相等的定义。熟练掌握向量的运算。深刻理解n维向量空间的概念。33 正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量组等价的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的定义，会求向量组的一个极大无关组。34 深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩、秩的定义。掌握矩阵的秩与其子式的关系。35 熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公式解。36 正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系,解空间的维数与概念。熟
9、练掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有解的全部解。本章教学重点及难点：线性方程组的初等变换、求线性方程组的一般解、n维向量、线性组合、线性相关、线性无关、两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量组的一个极大无关组、矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程组的公式解、齐次线性方程组的基础解系、基础解系的求法、线性方程组的结构定理、求一般线性方程组有解的全部解。第4章矩阵 （15学时）本章主要教学内容： 矩阵的概念 矩阵的运算 矩阵乘积的行列式与秩 矩阵的逆 矩阵得分块 初等矩阵 分块矩阵的初等变换及应用举例本章教学目的及要求：41 了解矩阵概念产生的背景。42
10、 掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律。43 掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。44 正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。45 理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。46 正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系，熟练掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵。47 理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的逆。本章教学重点及难点：矩阵的运算、矩阵乘积的行列式定理、矩阵乘积的秩与它的因子的秩的
11、关系、可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、n阶方阵可逆的充要条件、用公式法逆矩阵、分块矩阵的意义及运算、初等矩阵、用初等变换的方法逆矩阵、分块矩阵的逆。第5章 二次型 （12学时）本章主要教学内容： 二次型的矩阵表示 标准形 唯一性 正定二次型本章教学目的及要求：51 正确理解二次形和非退化线性替换的概念；掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系；掌握矩阵的合同概念及性质。52 理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准型的方法（配方法、初等变换法）。53 正确理解复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性；掌握惯性定理。54 正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念；熟练掌握正定
12、二次型及半正定二次型的等价条件。本章教学重点及难点：非退化线性替换、二次型的矩阵、二次型与其矩阵的一一对应关系、矩阵的合同、化二次型为标准型、复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性、惯性定理、正定二次型的判别条件、半正定二次型的等价条件。第6章 线性空间 （16学时）本章主要教学内容： 集合映射 线性空间的定义与简单性质 维数，基与坐标 基变换与坐标变换 线性子空间 子空间的交与和 子空间的直和 线性空间的同构本章教学目的及要求：61 掌握映射、单射、满射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念。62 正确理解和掌握线性空间的定义及性质；会判断一个代数系统是否是线性空间。63 理解线性组合、线性
13、表示、线性相关、线性无关等概念；正确理解和掌握n维线性空间及的概念及性质。64 正确理解和掌握基变换与坐标变换的关系。65 正确理解线性子空间的定义及判别定理；掌握向量组生成子空间的定义及等价条件。66 掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。67 深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。68 理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。本章教学重点及难点：线性空间、判断一个代数系统是否是线性空间、n维线性空间及的概念及性质、基变换与坐标变换的关系、线性子空间的定义及判别定理、向量组生成子空间的定义及等价条件、子空间的交与和、维数公式、子空间的直和、线性
14、空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。第7章 线性变换 （23学时）本章主要教学内容： 线性变换的定义 线性变换的运算 线性变换的矩阵 特征值与特征向量 对角矩阵 线性变换的值域与核 不变子空间 若当标准形介绍 最小多项式本章教学目的及要求：71 理解和掌握线性变换的定义及性质。72 掌握线性变换的运算及运算规律，理解线性变换的多项式。73 深刻理解和掌握线性变换与矩阵的联系；掌握矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质。74 理解和掌握矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质；会求一个矩阵的特征值和特征向量；掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿-凯莱定
15、理。75 掌握n 维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件。76 掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念；深刻理解和掌握线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系。77 掌握不变子空间的定义；会判定一个子空间是否是A-子空间；深刻理解不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系；掌握将空间V按特征值分解成不变子空间的直和表达式。78 掌握标准型的定义。79 正确理解最小多项式的概念；掌握一个矩阵相似于一个对角阵与它的最小多项式的关系。本章教学重点及难点：线性变换的定义及性质、线性变换的运算、线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特
16、征值、特征向量、特征多项式、求矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵与它们的特征多项式的关系、哈密尔顿-凯莱定理、线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件、线性变换的值域、核、秩、零度、线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系、不变子空间的定义、判定一个子空间是否是A-子空间、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系、将空间V按特征值分解成不变子空间的直和表达式、标准型的定义、最小多项式。第8章 矩阵 （3学时）本章主要教学内容：8. 1 矩阵 8. 2 矩阵在初等变换下的标准形不变因子 8. 3 不变因子 8. 4 矩阵相似的条件 8. 5 初等因子本章教学目的及要求：
17、只介绍一些基本概念,一些简单结论，对定理的证明不作要求。本章教学重点及难点： 矩阵及其标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系。第9章 欧几里得空间 （18学时）本章主要教学内容： 定义与基本概念 标准正交基 同构 正交变换 子空间 对称矩阵的标准形 向量刀子空间的距离，最小二乘法 酉空间介绍本章教学目的及要求：91 深刻理解欧氏空间的定义及性质；掌握向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质，使学生掌握各种概念之间的联系和区别。92 正确理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程，并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。 93 深刻理解两个欧氏空间同
18、构的定义。掌握两个欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系。94 正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系，让学生掌握正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。95 正确理解和掌握两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，及欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。96 深刻理解并掌握任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，并掌握求正交阵的方法。能用正交变换化实二次型为标准型。97、98 简单介绍，只让学生了解。本章教学重点及难点：欧氏空间的定义及性质向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质、正交向量组、标准正交基的概念、施密特正交化、欧氏空间同构的意
19、义及同构与空间维数之间的关系、正交变换的概念及几个等价关系、正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系、两个子空间正交的概念、正交与直和的关系、正交阵、用正交变换化实二次型为标准形。七、教材及参考书 1、教材：高等代数北京大学数学系几何与代数教研室小组编，高等教育出版社，年月。2、教学参考书： 高等代数，张禾瑞，郝炳新 编，高等教育出版社，84年3月。 高等代数，丘维声 编，高等教育出版社，96年12月。高等代数考试大纲数学与应用数学专业高等代数考试大纲一、课程说明：高等代数是河北师范大学数学系的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组
20、、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等方面的系统知识。它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用。二、与其它课程的关系：本课程作为一门基础课，是学习近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等课程的基础。三、学时、学分：142学时，8学分四、考核内容及要求：第1章 多项式 （27学时）本章考核内容： 数域一元多项式 整除的概念最大公因式因式分解定理重因式多项式函数复系数与实系数多项式的因式
21、分解有理系数多项式多元多项式对称多项式 二、本章考核要求：考核要求：1.1识记：数域定义，一元多项式定义，整除定义，最大公因式定义，互素定义，不可约多项式定义，k重因式定义，本原多项式定义。1.2理解：数域P上一元多项式的定义、多项式相乘、次数、一元多项式环等概念，整除的定义，两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质，不可约多项式的定义及性质，k重因式的定义，多项式与多项式函数的关系，代数基本定理，有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系，多元多项式、对称多项式的定义。1.3简单应用：判断一个代数系统是否是数域，多项式的运算及运算律，用辗转相除法求两个多项式的最大公因式，不可约
22、多项式的定义及性质，标准分解式，k重因式，多项式函数的概念、余数定理、多项式的根及性质，对称多项式基本定理。1.4综合应用：带余除法及整除的性质，因式分解及唯一性定理，复（实）系数多项式分解定理及标准分解式，本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。第2章 行列式 （15学时）本章考核内容： 引言排列 n级行列式n级行列式的性质行列式得计算行列是按一行（列）展开克兰姆法则本章考核要求：2.1识记：排列、逆序、逆序数奇偶排列的定义，n级行列式的定义，矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，元素的余子式、代数余子式等概念。2.2理解：排列的奇偶性与对换的
23、关系，n级行列式的定义，矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，元素的余子式、代数余子式等概念，行列式的一个k级子式的余子式等概念，行列式的乘法规则。2.3简单应用：用定义计算一些特殊行列式，利用行列式性质计算一些简单行列式，行列式按一行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”、“递推降阶法”、“数学归纳法”等计算行列式的技巧。2.4综合应用：克莱姆(Cramer)法则。第3章 线性方程组（13学时）本章考核内容： 消元法n维向量组 线性相关性3 4 矩阵的秩3.线性方程组有解判别定理 线性方程组解的结构 本章考核要求：3.1 识记：n维向量及两个n维向量相等的定义。3.2 理解：一般线性方程组
24、,方程组的解,增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质，阶梯形方程组的特征及作用，线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质，两个向量组等价的定义及等价性质定理，向量组的极大无关组、秩的定义，矩阵的行秩、列秩、秩的定义。3.3 简单应用：线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质，两个向量组等价的定义及等价性质定理，求向量组的一个极大无关组，求矩阵的秩，求齐次线性方程组的基础解系。3.4 综合应用：求一般线性方程组有解的全部解。 第4章 矩阵 （15学时）本章考核内容： 矩阵的概念矩阵的运算矩阵乘积的行列式与秩矩阵的逆矩阵得分块初等矩阵分块矩阵的初等变换及应用举例本章考核要求：4.1识记：矩阵的
25、加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律，可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念。4.2理解：矩阵乘积的行列式定理，分块矩阵的意义，分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系。4.3简单应用：矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系，n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵，分块矩阵的加法、乘法的运算及性质，4.4综合应用：一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件，会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵，求分块矩阵的逆。第5章 二次型 （12学时）本章考核内容： 二次型的矩阵表示标准形唯一性正定二次型本章考核要求：5.1识记：二次型的矩阵表示,正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念。5.2理解
26、：二次形和非退化线性替换的概念, 二次型与对称矩阵的一一对应关系,合同概念及性质, 复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性。5.3简单应用：化二次型为标准型的方法（配方法、初等变换法）,5.4综合应用：正定二次型及半正定二次型的等价条件。第6章 向量空间 （16学时）本章考核内容： 集合映射线性空间的定义与简单性质维数，基与坐标基变换与坐标变换线性子空间子空间的交与和子空间的直和线性空间的同构本章考核要求：6.1识记：映射、单射、满射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念，线性空间的定义，子空间的定义，6.2理解：线性空间的定义及性质，线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念，基变换与坐标
27、变换的关系，子空间的交与和的定义及性质，子空间的直和的概念，线性空间同构的定义。6.3简单应用：判断一个代数系统是否是线性空间，基变换与坐标变换的关系，向量组生成子空间的定义及等价条件，维数公式。6.4综合应用：子空间为直和的充要条件，两个有限维空间同构的充要条件。第7章 线性变换 （23学时）本章考核内容：线性变换的定义 线性变换的运算线性变换的矩阵特征值与特征向量对角矩阵线性变换的值域与核不变子空间若当标准形介绍最小多项式本章考核要求：7.1识记：线性变换的定义及性质，矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念，线性变换的值域、核、秩、零度等概念，不变子空间的定义，最小多项式的概念。7.2理
28、解：线性变换与矩阵的联系，矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质，矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质，不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系，掌握标准型的定义，最小多项式的概念。7.3简单应用：求一个矩阵的特征值和特征向量，相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿-凯莱定理，n 维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件，线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系，判定一个子空间是否是A-子空间。7.4综合应用：不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系，一个矩阵相似于一个对角阵与它的最小多项式的关系。第8章 矩阵 （3学时）本章
29、考核内容： 8. 1 矩阵 8. 2 矩阵在初等变换下的标准形不变因子 8. 3不变因子 8. 4矩阵相似的条件 8. 5初等因子本章考核要求：2.1识记： 矩阵，行列式因子、不变因子、初等因子。2.2理解： 矩阵的标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系。第9章 欧氏空间（18学时）本章考核内容： 定义与基本概念标准正交基同构正交变换子空间对称矩阵的标准形向量刀子空间的距离，最小二乘法酉空间介绍本章考核要求：2.1识记：欧氏空间的定义，两个欧氏空间同构的定义，向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念，正交变换的概念。2.2理解：欧氏空间的性质，向量的长度，两个向量的夹角、正
30、交及度量矩阵的基本性质，正交向量组、标准正交基的概念，正交变换的概念及几个等价关系，正交与直和的关系。2.3简单应用：施密特正交化过程，把一组线性无关的向量化为单位正交的向量，两个欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系，正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系，欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。2.4综合应用：任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，求正交阵的方法，用正交变换化实二次型为标准型。五、教材及参考书 1、教材：高等代数北京大学数学系几何与代数教研室小组编，高等教育出版社，年月。2、教学参考书：高等代数，张禾瑞，郝炳新 编，高等教育出版社，84年3月。 高等代数，丘维声 编，高等教育出版社，96年12月。