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1、第一章：集合、常用逻辑用语（必修1，选修1）1集合：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体表示： 列举法、描述法、venn图法、区间表示法分类：有限集(含空集)、无限集元素：确定性、互异性、无序性常见数集的字母表示：自然数N，正整数, 有理数Q，实数集R2集合间的关系：包含（子集）、真包含（真子集）、相等证明：任意 x，都有x，则 集合有 n 个元素，则子集、真子集、非空子集、非空真子集有、，个3性质空集是任何非空集合的真子集任何集合是它本身的子集空集是任何集合的子集包含、真包含的传递性（若）4全集、补集补集：交集：且并集：性质：、；、；、摩根律： （交的补=补的并、并的补=补的交） 5命题及
2、其关系简单命题：不含逻辑联结词或、且、非复合命题：简单命题 + 逻辑联结词四种命题原命题：若 p , 则 q否命题：若 , 则 （注意与命题的否定区别：命题的否定是仅否定结论）逆命题：若 q , 则 p 逆否命题：若 q , 则原命题逆否命题， 否命题逆命题 判断命题的真假可选用“直接法”和“间接法”，“间接法”包含以下途径： （1）转化为“非命题”判定；（2）转化为“逆否命题”判定；（3）从集合的角度判定；（4）从几何意义的角度“数形结合”判定 关键是“抓住关联字词”：不“或”即“且”，不“且”即“或” （5）“或”命题的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且”命题的特点是“一假即假，要真全
3、真”；“非命题”的特点是“一真一假”6充要条件（分清条件与结论） p q , p 是 q 的充分条件；q 是 p 的必要条件 p q , p 是 q 的必要条件； q 是 p 的充分条件 p q , p 是 q 的充要条件；q 是 p 的充要条件友情提醒：学会从集合的观点理解集合 A是B的充分（不必要）条件（A B） A是B的必要（不充分）条件（A B） A是B的充要条件7反证法步骤 (1)反设 ；(2)归谬； (3)否定假设，从而肯定原结论命题否定“ p或 q ”否定：p 且 q ;“p 且 q”否定：p 或 q“至少有一个”否定：一个也没有“至多有一个”否定：至少有两个“都是”否定：不都是
4、（至少有一个不是）8存在量词与全称量词 量词：（1）全称量词：“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词（2）存在量词：“有一个”“存在一个”“有些”等表示部分的量词 含有量词的命题：（1）全称命题：含有全称量词的命题（2）存在命题：含有存在量词的命题9含有一个量词的命题的否定 “”的否定为“” “”的否定为“”第二章：函数（必修1）1映射：设A、B是两个集合，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射映射：每元有象，象唯一2函数：设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟
5、一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的函数（1）三要素：定义域、值域，对应法则（2）与x轴垂直的直线与函数图象至多有一个公共点，而与y轴垂直的直线与函数图象的公共点可能没有，可能任意个（3）函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象3函数性质（1）单调性：某一个区间A，x1 x2, A若 f(x1) f(x2) , 则 f(x) 在A 上递减特殊地：当 f(x) 0 时若 ，则f(x) 在A上递增；若 ，则f(x)在A递减复合函数单调性：同增异减两函数和的单调性：增 + 增=增； 减+减=减（在公共区间上）最值：设函数的定义域为A如果存在恒成立，则称的最大值，记为
6、如果存在恒成立，则称的最小值，记为（2）奇偶性：（定义域关于原点对称）奇(若在处有定义)偶两函数积的奇偶性：同偶异奇 （3）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相反 （4）复合函数的奇偶性：“内偶则偶，内奇同外”对称性： ； ； ;推广：函数的图象关于直线对称；函数的图象关于成中心对称函数满足, 则函数的图象关于对称特例：函数满足 , 则图象关于 x = a 对称两个函数的图象关于即对称特例：两个函数的图象关于对称周期性：对于定义域中的每一个值，都有若为周期函数，则 的定义域为无限集两次对称可得周期（类比三角函数得）：
7、若的图象有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为若的图象有两个对称中心，则必是周期函数，且一周期为若的图象有一个对称中心和一条对称轴，则必是周期函数，且一周期为特别地：若（或、）恒成立，则函数的图象变换（尤其要掌握三角函数图像的变换）平移：左+右，上+下-伸缩：注意x的系数的变化与横坐标的变化的关系（反比）对称：参见4. 注：（1） 图象变换中，特殊点、特殊线也应作相应的变换（2） 函数的图象按向量平移后，得函数的图象 （3） 图象变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、“鱼钩”函数等）联系指数函数与对数函数互为反函数（a0且
8、a 1）指数运算性质、根式转化为分数指数幂： 对数运算性质： ； 比较大小：(1)利用单调性，注意与 0、1、-1 的比较(2)的值的范围界定：当底数和真数同大于1或同小于1时，对数的值大于0；当底数和真数一个大于1，另小于1时，对数的值小于0注意：形如的函数，不一定是二次函数（可称为伪二次） 应特别重视“二次三项式”，“二次函数”，“二次方程”，“二次曲线”间的特别联系 形如的图象是等轴双曲线，双曲线的两渐近线的方程为：，双曲线的中心是点幂函数：形如的函数图像：分几种情形，可结合具体函数的图像加以掌握根据图像研究性质（奇偶性、单调性、对称性）若，图像是直线若，图像是除（0，1）外的直线若，图
9、像过（0，0），（1，1），在第一象限是上凸的若，图像过（0，0），（1，1），在第一象限是下凹的若，图像（1，1）单调性：当时，在第一象限内递增；当时，在第一象限内递减奇偶性：令（既约分数） 若都是奇数，则函数是奇函数；若是奇数，是偶数，则函数是非奇非偶函数；若是偶数，是奇数，则函数是偶函数函数与方程 函数的零点：一般地，方程的实数根又叫函数的零点零点存在定理：如果函数在区间上是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是的根二分法：对于区间上连续的，且的函数，通过不断地把函数零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫
10、做二分法第四章 三角函数（必修4、必修5）1角（1）分类：正角（逆时针）、零角、负角（顺时针）；象限角、象间角（终边落在坐标轴上的角）（2）终边相同的角的集合： 终边与终边相同（终边在终边所在射线上） 终边与终边共线（终边在终边所在直线上） 终边与终边关于x轴对称 终边与终边关于y轴对称 终边与终边关于原点对称 一般地，终边与终边关于的终边对称;所处的象限：（3）角度制、弧度制及其关系 （4）扇形中的有关结论：；2三角函数（1）定义：若点P（x,y），以Ox为始边，OP为终边所成的角为,|OP|=r，则符号：（一正二正弦；三切四余弦）正弦：一、二象限为正；三、四象限为负余弦：一、四象限为正；二
11、、三象限为负正切：一、三象限为正；二、四象限为负 注：AYXTP （2）三角函数线（有向线段的数量） a:利用三角函数线求角的取值范围； b: M（3）基本关系平方关系： 商数关系： （4）诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限)第一组：（函数名不变；符号看象限）；（）第二组：（函数名改变；符号看象限）； ； ；（5）倍角公式：； 降次公式：；（6）辅助角公式：；其中特别地：（7）三角变换主要是：角、函数名、次数、系数（常值）的变换，核心是角的变换 角的变换主要是：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差的变换如 常值变换主要是“1”的变换：等 三角式的变换主要有
12、：三角函数名互化，次数的升降，运算结构的转化 注意正余弦“三姐妹”的内在关系（常和三角换元联系：如令）（8）正、余弦函数的图象和性质：（图象、定义域、值域、奇偶性、单调区间 及单调性、最小正周期、对称中心、对称轴等等）正弦函数：对称中心：，对称轴：余弦函数：对称中心：，对称轴：正切函数：对称中心： 注意：绝对值对三角函数周期的影响一般来说，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定如的周期是，但的周期是， 的周期不变不是周期函数三角函数图象的作法：五点法、三角函数法，变换法（9）图象变换 平移变换：轴方向上的平
13、移：左加右减轴方向上的平移：上加下减伸缩变换：轴方向上的伸缩（周期变换）轴方向上的伸缩（振幅变换） 对称变换：复制（保留原有部分）翻折（不保留原有部分） 须掌握三种图像变换与对应的函数解析式的变化关系（10）常见方法： 切化弦法；“1”的恒等变形；齐次式的处理方法；“变角”，“变名”，“变形”在求值，化简，证明中的应用，等等 解三角形三角形中的结论： 内角和定理：A+B+C= 正、余弦定理： 边角转换 勾股定理：（余弦定理特例） 类似地： 面积公式： 有关边的不等式： 三角形中常见诱导公式有： 解三角形：可能有两解、一解、无解ab一解一解一解a=b无解无解一解absinA两解a=bsinA一解
14、a 0 , ( a 0) （其中 x1、x2 为对应方程的根，x1 0时；解集=0时；解集0时；解集R a x2 + b x+ c 0 )a (x x1 )( x x2 ) 0时，解集x| x1 x x20时，解集： a 0 时转化为正的；分式转化为整式*7（理科）绝对值不等式的解集（去绝对值的方法：平方、分类讨论） | x |0)（a , a） | x |a, (a0)（,a）(a , +) a| x |b ,(0ab)（ a , b )(b , a) | x | a , ( a a, ( a 0 ) 第九章：立体几何初步（必修2）一空间几何体：1棱柱、棱锥、棱台由一个平面多边形沿某一方向平
15、移形成的空间几何体叫棱柱当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫棱锥底面水平放置的棱锥（圆锥）被平行于底面的平面的所截，底面与截面之间的几何体叫做棱台（圆台） 棱柱性质：（1）侧棱都相等、侧面是平行四边形（2）底面、平行于底面的截面是全等多边形（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形 长方体对角线性质：（1）对角线长的平方等于长、宽、高的平方和：（注意与的联系）*（2）对角线与三条棱（长、宽、高）分别成角，则（线线角）*（3）对角线与同一顶点出发的三个面分别成角，则（线面角）注：了解割补法（三棱柱补成四棱柱）、了解几种特殊的四棱柱的关系：直四棱柱、平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体正
16、棱锥性质：（特征三角形） （1）各侧棱相等，侧面是等腰三角形； （2）高、斜高、斜高在底面射影（内切圆半径）构成直角三角形； 高、侧棱、侧棱在底面射影（外接圆半径）构成直角三角形； 底面边长一半、侧棱在底面射影、斜高在底面射影构成直角三角形2圆柱、圆锥、圆台和球将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台半圆绕着它的直径旋转一周而形成的几何体叫做球体（简称球），半圆旋转形成的曲面叫球面*3中心投影与平行投影： 三视图是观察者从不同的位置观察同一个几何体画出的空间几何体的图形，具体包括主视图、左视图和俯视图注意把握
17、“长对正、高平齐、宽相等” 球的三视图是圆；长方体的三视图是矩形 平行投影的投影线互相平行，平行投影包括斜投影和正投影中心投影的投影线相交于一点（消点）4斜二侧画法：（1）斜：（2）平行关系：与x、y轴的平行性不变（3）长度关系：平行于y轴的线段长度变为原来一半，平行与x轴的线段长度不变 设一多边形的面积和直观图的面积分别为，则二点、线、面之间的位置关系 1平面的基本性质：（1）公理1：（2）公理2：（3）公理3：不共线三点确定一平面推论1：直线和直线外一点确定一平面; 推论2：两相交直线确定一平面;推论3：两平行直线确定一平面.（4）公理4：ab, bcac（5）空间等角定理： 推论：2线线
18、关系：相交、平行、异面；线面关系： 在平面内、相交、平行；面面关系：平行、相交 八个基本定理：（1）线面平行判定定理： （2）线面平行性质定理： （3）线面垂直判定定理 （4） 线面垂直性质定理： 注：线面垂直的定义：（5）面面平行判定： （6） 面面平行的性质： 引理：（7）面面垂直判定： （8）面面垂直性质: *3线线角、线面角、二面角 两条异面直线所成的角：亦称平移角，范围:直线与平面所成的的角：范围： 斜线与平面所成的的角（）：是斜线和平面内的直线所成角中最小的角.二面角的平面角：范围： *4点面距、线面距、面面距 求线面距离：可转化为点面距离(求点面距时,注意变换点的位置：平行变换、对称变换)三空间几何体的表面积、体积棱柱侧面积求法：先求各侧面的面积、再求和棱柱体积： ； （体积）； （表面积）球与正方体： 球内切于正方体，则球与正方体的各棱相切，则；正方体内接于球，则 球性质：（1）球心与截面圆心连线垂直于截面； （2）球心到截面距离 d，球半径R，截面半径r，则；立体几何：（1）最基本思想：转化思想,将空间问题转化为平面问题（2）核心：线面垂直