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1、一元二次方程的整数根问题例1 m为何正整数时，方程x2（2m1）x（m2m12）=0有正整数根？解：0由求根公式： 故因为m是正整数，故3m0，原方程有正整数根，m4m1，2，3时，原方程有正整数根。例2 已知12m60，且关于x的二次方程x22（m1）xm20有两个整数根，求整数m，并求此两个整数根。解：由求根公式： 由于都为整数，所以必为完全平方数，而，故是奇数且为完全平方数，故只能为49和81 只能为24和40（1）当时，；（2）当时，例3 若方程（k21）x26（3k1）x720有两个不同的正整数根，求整数k的值。解: k210，k1=36(k3)20，所以k3用求根公式可得，由于x1
2、，x2是正整数，所以k+1=1，2，3，4，6，12且k1=1，2，3，6，所以k0，1，2，3，5，且k2，3，4，7，符合条件的仅有k=2。例4 已知方程（a21）x22（5a1）x240有两个不等的负整数根，求整数a的值。解：a210，a1 ，所以a5所以 依题意有：、均为负整数，所以a11，2，3，6且a11，2，4所以a0，1，2，5且a2，3，5，符合此条件的仅有。例5 方程x2（a8）x8a10有两个整数根，试求整数a的值。解法一：原方程可化为于是有或，所以或综上所述a8解法二：由已知方程知x8，将原方程化为 a、x均为整数，所以x81或1，x9或7，当x9时，a8，当x7时，a
3、8综上所述，a8例6 试确定自然数m的值，使方程x2（m2）x4m0有正整数解。解：由已知方程知，将原方程化为 因为m为自然数，所以正整数x所取的可能值为2，5、6、8、12，分别代入方程，得m的值为0或15或12当m0或m15或m12时，方程有正整数解。例7 已知关于x的方程a2x2（3a28a）x2a213a15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值解：因为a0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5例8 设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2（m1）x10有有理根，求m的值解：一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数令=（m1）24mn2，其中n是非负整数，于是m26m1n2，所以 （m3）2n28， （m3n）（m3n）8由于m3nm3n，并且（m3n）（m3n）2（m3）是偶数，所以m3n与m3n同奇偶，所以或所以或（不合题意舍去），所以m6