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1、专题5 数列 数列是高考考查的重点之一，本专题以高考解答题为背景，研究这个方面的解答题的命题特点和应对策略。解答题主要以与函数、不等式、方程、几何等知识的综合为考查对象，属中难以上的题，进行综合能力和创新能力的考查，试题体现了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要思想。第一课时 等差、等比数列学习目标：掌握等差、等比数列基本概念及基本量的求法，会用等差、等比数列基本性质解题。考题领路：1（2008陕西）已知是等差数列，则该数列前10项和等于（ ）A64B100C110D1202（2008浙江）已知an是等比数列，,则公比q=(A)(B)-2(C)2(D)3（2008上海）若数列是首项为1，公比为
2、的无穷等比数列，且各项的和为a，则的值是（）1 2 典例探索：【例1】已知数列的首项，通项，且成等差数列。求：（）p,q的值；() 数列前n项和的公式。1、解：2、变式：等差数列的各项均为正数，前项和为，为等比数列, ，且(1)求与；(2)求和：【例2】在数列，是各项均为正数的等比数列，设（）数列是否为等比数列？证明你的结论；（）设数列，的前项和分别为，若，求数列的前项和1、解：2、变式：已知数列的首项，（）证明：数列是等比数列；（）数列的前项和整合提升1、等差等比数列的基本计算题，一般可列出关于首项、公差或公比的方程组，解出或，再进行其他的计算。2、能用等差、等比数列性质的题，用性质比用一般
3、方法要简单，巧用数列的性质能优化解题思路。拓展练习设数列前n项和为，且，其中m为常数，且。（1）求证：是等比数列；（2）若数列的公比满足且，求证：为等差数列，并求。解：第二课时 等差、等比数列的综合应用学习目标：掌握等差、等比数列基本性质，会用等差、等比数列基本性质解题。考题领路：1（2002春京）若一个等差数列前三项的和为34，后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ） A13项 B12项 C11项 D 10项2（2004重庆）若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是 。3 的等差数列，则|m-n|=（）典例探索：【例1】设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数
4、列，且（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和Tn.1、解：2、变式：已知m，n，mn成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆1的离心率为_.【例2】设数列的首项，前n项的和满足关系式：（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比为，作数列，使，求1、解析：2、变式：设各项为正数的数列和满足：（1）成等差数列，（2）成等比数列，（3）。求和的通项公式。整合提升1、能用等差、等比数列性质解的题，用性质比用一般方法要简单，巧用数列的性质能优化解题思路。2、一个问题中，常涉及到多个数列，解题时要抓住数列之间的相互关系，常把一般数列转化为等差、等比数列，体现了转化思想和策略，有时还要用
5、到整体思想、分类讨论思想、数形结合的思想等。拓展练习设数列的前项和为。（）求；（）证明： 是等比数列；（）求的通项公式。解析：第三课时 递推数列学习目标：掌握递推数列求通项方法及其基本问题的解法。考题领路：1（2008江西）在数列中， ，则 A B C D2（2005湖南）已知数列满足，则（ ）A、0 B、 C、 D、3 （2006江西）在各项均不为零的等差数列中，若，则（）典例探索：【例1】已知数列满足求数列的通项公式。1、解析：2、变式：设数列中，则通项 _【例2】已知数列中，且（1）设，证明：是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差
6、中项。1、解析：2、变式：设数列满足且则的值为。整合提升1、递推公式是给出数列的重要形式，要掌握几种基本形式的通项公式的求法。2、有的递推数列问题，不必求通项，而是讨论所给数列的性质。拓展练习在数列中，（）证明数列是等比数列；（）求数列的前项和；（）证明不等式，对任意皆成立解：1、第四课时 数列求和学习目标：掌握数列求和的基本方法及其基本问题的解法。考题领路：1（2006全国）设是等差数列的前项和，若则()（A）（B）（C）（D）2（2005天津）在数列an中, a1=1, a2=2,且，则=_ _.3 （2008江西）已知等差数列中，若，则数列的前5项和等于（ ）A30B45C90D186典
7、例探索：【例1】数列的前项和为，点在曲线上。（）求数列的通项公式；（）设，数列的前项和为，若对恒成立，求最大正整数的值。1、解：2、变式：设数列的前项和为，则等于A.2005 B.1003 C.2005 D.1003【例2】已知数列满足是首项为1公比为的等比数列。（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和。1、解：2、变式：整合提升与求通项一样，数列求和被列为数列的两大主题，因此，必须熟炼掌握数列求和的基本方法。往往数列求和从考查通项入手。拓展练习在m（m2）个不同数的排列P1P2Pn中，若1ijm时PiPj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称
8、为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数.（）求a4、a5，并写出an的表达式；（）令，证明，n=1,2,.解：第五课时 分段数列学习目标：掌握分段数列问题的基本解法。考题领路：1（2005天津）将正整数作如下分组：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），其中每一组比前一组多一个数，每一组第一个数比前一组最后一个数大1，用Sn表示第n组内n个数的和，那么S21是A.1113 B.4641 C.2925 D.50822数列满足，若则的值为 A. B. C. D. 典例探索：【例1】 数列的首项且，记（I）求；（II）判断数列是否为等比数列
9、，并证明你的结论。1、解：2、变式：【例2】数列满足（I）求，并求数列的通项公式；（II）设，求使的所有k的值，并说明理由。1、解：2、变式：数列 ()求并求数列的通项公式； ()设证明：当整合提升分段数列与分段函数一样，都是高考考查的重点、热点，解题时，关键是弄清各段在原数列中的位置，用变通的手段得到通项公式，将问题转化为一般的数列问题求解。拓展练习已知数列：，（是正整数），与数列：，（是正整数）记（1）若，求的值；（2）求证：当是正整数时，；（3）已知，且存在正整数，使得在，中有4项为100求的值，并指出哪4项为100解：第六课时 数列中的图表信息问题学习目标：掌握数列中的图表信息问题的基
10、本提法及其基本解法。123456789101112131415考题领路：1（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为 。120.51abc2 （2004北京）在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a+b+c的值为A.1B.2C.3D.4典例探索：【例1】 将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： 记表中的第一列数构成的数列为，为数列的前项和，且满足（）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；（）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数当时
11、，求上表中第行所有项的和1、解析：2、变式：【例2】把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表： 1 3 5 7 9 11 设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数。（I）若，求的值；（II）已知函数的反函数为 ，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为，求数列的前n项和Sn。1、解析：2、变式：整合提升运用图表传递信息，是高考考查的又一热点问题，解题时，关键在于观察数据、整理加工、理清思路，以获得问题的有效解决。拓展练习如图,个(正数排成行列方阵,其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比都相等。.设,. (1) 求公比的值; (2)
12、求(的值; 求的值. 解：第七课时 数列与函数、不等式的综合问题学习目标：掌握数列与函数、不等式的综合问题的基本提法及其基本解法。考题领路： A 3 B4 C5 D6 2已知数列an的通项an=n2+kn+2,如果对于任意nN*,an+1an恒成立，则实数k的取值范围是A.k0 B.k-1 C.k-2 D.k-33 A.2 B.3 C.2和3 D.2和3典例探索：【例1】 福建已知an是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.()求数列an的通项公式；()若列数bn满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bnbn+2b2n+1.1、 解：2、变式：等差数列an中,
13、 a100,且a110的最小正整数 n=_.【例2】函数对任意都有（）求和的值（）数列满足：=+，数列an是等差数列吗？请给予证明；（）令试比较与的大小1、解：2、变式：已知函数构成一个数列，又。（1）求数列的通项公式；（2）比较与1的大小.整合提升数列是一种特殊的函数，用函数观点去分析、解决数列问题，往往思维更加广阔，利用不等式工具，更使问题的解决如虎添翼。拓展练习设数列的前n项和为，点均在函数y3x2的图像上。(1)求数列的通项公式；(2)设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。解：第八课时 数列中的探索型问题学习目标：掌握数列中的探索性问题的基本提法及其基本解法。考题领路
14、：在等差数列中，若0，则有等式成立上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式成立。典例探索：【例1】已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？1、解：2、 变式：【例2】已知正数数列的前项的和为，且，数列满足。（）分别求和的表达式；（）设数列的前项和为，当时，求证：；（）是否存在正整数M，使得时，恒成立，若存在，求出相应的M值，若不
15、存在，说明理由1、解：2、变式：整合提升探索型问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或探索满足某些条件的对象是否存在，问题增加了许多可变因素，思维指向不明显。近几年，探索型问题在高考中经常出现，主要分为两类：一类是猜想型，即结论未给出，解题时需要首选探索结论，然后再加以证明；另一类是判断型，即判定符合某种条件的数学对象是否存在或其结论是否成立，解题时常先假设存在，然后求出或导出矛盾。拓展练习数列满足（）求数列的通项公式；（）设数列的前项和为，试探求所满足的不等关系。解：第九课时 数列应用问题学习目标：掌握数列应用问题的基本提法及其基本解法。考题领路：某市2003年共有1万辆燃油型公交车
16、。有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？典例探索：【例1】美国为了推翻萨达姆政权，进行了第二次海湾战争。据美军估计，这场以推翻萨达姆政权为目的的战争的花费约为亿美元。同时美国战后每月还要投入约亿美元进行战后重建。但是由于伊拉克拥有丰富的石油资源，这使得美国战后可以在伊获利。战后第一个月美国大概便可赚取约亿美元，只是为此美国每月还需另向伊交纳约亿美元的工厂设备维护费。此后随着生产的恢复及高速建设，美国每月的石油总收入以的速
17、度递增，直至第四个月方才稳定下来，但维护费还在缴纳。问多少个月后，美国才能收回在伊的“投资”？1、解：3、 变式：【例2】某地区位于沙漠边缘地带，到2004年底该地区的绿化率只有30%，计划从2005年开始加大沙漠化改造的力度，每年原来沙漠面积的16% ，将被植树改造为绿洲，但同时原有绿洲面积的4%还会被沙漠化。(1)设该地区的面积为1，2002年绿洲面积为，经过一年绿洲面积为经过n年绿洲面积为求证：(2)求证：是等比数列；(3)问至少需要经过多少年努力，才能使该地区的绿洲面积超过60%？（取1、解：2、变式：整合提升高考数学应用题情景新颖，时代气息浓郁，数学依据充足，贴近生活实际。解题时，需要了解问题背景，必须通过反复读题，弄清题意，把文字语言转化为数学语言，从而建立数学模型求解。对于数列应用题，还要弄清是求通项还是求和。拓展练习某地区在抗洪抢险中接到预报，24小时后有一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，决定在24小时内筑起一道堤作为第二道防线，如果有25辆汽车同时作业20小时可以完成，但现在除一辆汽车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处抽调，每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作，问至少还需组织多少辆这样陆续工作，才能保证一天内完成第二道防堤？解：