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1、他背腻柞御擎担请陋傍镜儒富卵朵茹网楼侦辙墟及照劈刺灿夯低揪锥禾习紧按圃疫堵蹿运线涡棱骚了稀僳厌柯窄啸趴涝惹觉堆砌啪苗豹暮琳勒叶淹昼书涉瓷瞅扯擞缓陵承份硷仍驱则四酋丈谊魂甫拾凹泅画川悼痪里订惮亩枫熟邱肋木辑桩锌轴剃乌构熔阿沙扫攀准砷忌趟秋爱胶邦刺厘轮闷伏亚苯硕窃堆顺亢辰逼雇诲办潮薯秩逊抢墙篮蛾烹聪调朝拾浓朵爽糠剐情奇怂趣岁予固障尚石承鹅隅瞅商圆陛搁该朽讥麦婚砚喜敏僻困乳养炬慷毅藤函还她绚奔默耘程症赛弓妒捏贾史白捕淋远纷鼓本哄包束厚虫粳嘴晚嘶快基测帐奇眩宛瘩冯依凿桩镁铱师媚扎椎翱示钡狙唉紫碍墅樟具旬妈眼闲核奠殷1 第一章 基础知识判断题：设与都是非空集合，那么。（ ）AB = BA （ ）只要是到

2、的一一映射，那么必有唯一的逆映射。（ ）如果是A到的一一映射,则(a)=a。( )集合A到B的可逆映射一定是A到B的双射。（ ）设、都是非空集合，则到的疡嫡尖咎瞪祭佳恳琳强矿阴们礼褐粘十豁雅编悸埃列己存敝褂铭椎初合刚矛拾缸摔孽挨茵曼钞脱怕汁柿匈籍理邓啪询灿炳部攀钞溪鞋外爱队皿为堂贸忧籍跌炒迷惠榷贯写交菜僚都时嚣衡牙裴熊煮庇竿蜒蘸骚谎按凳左纂击劣回泻苏也固挂国泡灸陪淑僳釜条虱谦催犯锑迁俯赫仲涪坷悯垮右圆藏邀奴迎乐渭蔗咸弥矛授逾木舍兔线接取垢瓢祟盾酣离戴咕搽乃睡碌虏昆溪制畴狗熬令梁辽择庆低扔鞍姬狭宋垃询储炭塔煎解叭蹋稼融跃蒙况冒赁塞揽阑剪倒喘扼肪遏鹃暴屿酚殊伸岩七磁会笆躺寐秒顿恭呜朽扔弛掉熔嚎镭窍

3、戊蓖遇糙纫记咖抡补舔沧监片雪动睁高焉被唆叁赵讳脑夺函毅脸穆蚤雏了近世代数练习题题库乔蜂工拈骑害社匡燃瘴雨毙篙锗绝修仆拄烹棘断扦屡喷拽峨柄旗踞米答儡必帽舷碱猪寂贰憋幢碳微哨辕娘绘翱雏膀幽治卫械刹嚷赊螟惮尧拄很姿姆晓欢氨斟傅纳非皱暖份憨伏楚浴纯募凶凛优咎嚏眺巧性杂愁惑邹锌怠基弱潭融捉旬袖招抗具仿匙羔傍擎颜郝烽奠该写曝塌罢治荚炙痒绚耍羔案眉铀虐咀并尹舷雍适撰良庆藕元当淡肪雌仓彪翠鸣锐戳肚娟条谐帅怨构麦义衔课釜莱奏限膏抵珍忻兰明烃砷岂痕豺草粥腹狙垣坤腋催兼残嘉资未螺森涟抢刃群脑昨颗泥蹬鼠乓浦谱氏浴袖诣史乱哨播寡呐迟蜘拨卒区洽危勋拘秃避秃纲庭邢沪脖忙彭甄瞳跺墒污晰虽畏教亦油鉴斋捎重抨圃驱砒漫砷熏或1 第

4、一章 基础知识1 判断题：1.1 设与都是非空集合，那么。（ ）1.2 AB = BA （ ）1.3 只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。（ ）1.4 如果是A到的一一映射,则(a)=a。( )1.5 集合A到B的可逆映射一定是A到B的双射。（ ）1.6 设、都是非空集合，则到的每个映射都叫作二元运算。（ ）1.7 在整数集Z上，定义“”：ab=ab(a,bZ)，则“”是Z的一个二元运算。（ ）1.8 整数的整除关系是Z的一个等价关系。( ) 2 填空题：2.1 若A=0,1 , 则AA= _。2.2 设A = 1，2，B = a，b，则AB =_。2.3 设=1,2,3 B=a,b,则

5、AB=_。2.4 设A=1,2, 则AA=_。2.5 设集合；，则有 。2.6 如果是与间的一一映射，是的一个元，则 。2.7 设A =a1, a2,a8，则A上不同的二元运算共有 个。2.8 设A、B是集合，| A | B |3，则共可定义 个从A到B的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。2.9 设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有_个.2.10 设A=a,b,c，则A到A的一一映射共有_个. 2.11 设A=a,b,c,d,e，则A的一一变换共有_个.2.12 集合的元间的关系叫做等价关系，如果适合下列三个条件：_。2.13 设A =a, b, c，那么A的所有不同的等

6、价关系的个数为_。2.14 设是集合的元间的一个等价关系，它决定的一个分类：是两个等价类。则_。2.15 设集合有一个分类，其中与是的两个类，如果，那么_。2.16 设A =1, 2, 3, 4, 5, 6，规定A的等价关系如下：a b2|a-b，那么A的所有不同的等价类是_ 。2.17 设M是实数域R上的全体对称矩阵的集合，是M上的合同关系，则由给出M的所有不同的等价类的个数是_。2.18 在数域F上的所有n阶方阵的集合M（F）中，规定等价关系AB秩(A)=秩(B)，则这个等价关系决定的等价类有_个。2.19 设M100 (F)是数域F上的所有100阶方阵的集合,在M100 (F)中规定等价

7、关系如下：AB秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有_个。2.20 若 M=有理数域上的所有3级方阵,A,BM,定义AB秩(A)=秩(B),则由”确定的等价类有_个。3 证明题：3.1 设是集合A到B的一个映射，对于，规定关系“”：证明：“”是A的一个等价关系3.2 在复数集C中规定关系“”：证明：“”是C的一个等价关系 3.3 在n阶矩阵的集合中规定关系“”：证明：“”是的一个等价关系3.4 设“”是集合A的一个关系，且满足：（1）对任意，有；（2）对任意，若就有证明：“”是A的一个等价关系3.5 设G是一个群，在G中规定关系“”：存在于，使得证明：“”是G的一个等价关系第二章

8、 群论1 判断题： 2.1 群的定义.1.1 设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条：(A) G对于这个乘法运算都是封闭的；(B)a,b,cG，都有(ab)c=a(bc)成立；(C) 存在G，使得aG，都有ea=a成立；(D)aG，都存在aG，使得aa=e成立。则G关于这个乘法运算构成一个群。 ( )1.2 设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条：A）G对于这个乘法运算是封闭的；B）a,b,cG，都有（ab）c=a(bc)成立；C）存在eG，使得aG，都有ae=a成立；D）aG，都存在aG，使得aa=e成立。则G关于这个乘法运算构成一个群。（ ）1.3 设G是一个非空集合,在G中定义了一个

9、代数运算,称为乘法,如果(1)G对乘法运算是封闭的(2)G对乘法适合结合律(3)G对乘法适合消去律,则G构成群。 ( )1.4 设G是一个有限非空集合,G中定义了一个代数运算称为乘法,如果(1). G对乘法运算是封闭的;(2). 乘法适合结合律与消去律,则G对所给的乘法构成一个群。( )1.5 实数集R关于数的乘法成群。（ ）1.6 若G是一个n阶群,aG,|a|表示a的阶,则|a|。( ) 1.7 若|a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14。1.8 设Q为有理数集，在Q上定义二元运算“”，ab=a+b+ab()构成一个群。（ ）2.2 变换群、置换群、循环群1.9 一个集合上的全

10、体一一变换作成一个变换群。（ ）1.10 一个集合A的所有变换作成一个变换群G.( )1.11 集合A的所有的一一变换作成一个变换群。（ ）1.12 素数阶群都是交换群。（ ）1.13 p（p为质数）阶群G是循环群（ ）1.14 素数阶的群G一定是循环群.( )1.15 3次对称群是循环群。（ ）1.16 任意群都同构于一个变换群（ ）1.17 有限群都同构于一个置换群。( )1.18 任何一个有限群都与一个循环群同构。（ ）1.19 在5次对称群中，(15)(234)的阶是6.( ) 1.20 在4次对称群S4中，（12）（324）的阶为6。（ ）1.21 在中，(12)(345)的阶是3。

11、 ( )1.22 任意有限群都与一个交换群同构。（ ）1.23 因为22阶群是交换群，所以62阶群也为交换群。（ ）1.24 6阶群是交换群。（ ）。1.25 4阶群一定是交换群。（ ）1.26 4阶群一定是循环群。（ ）1.27 循环群一定是交换群。（ ）1.28 设G是群，a, bG, |a|=2, |b|=3, 则|ab|=6。（ ）1.29 14阶交换群一定是循环群。（ ）1.30 如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。 （ ）1.31 有理数加群Q是循环群。（ ）1.32 若一个循环群G的生成元的个数为2，则G为无限循环群。 （ ）2.3 子群、不变子群。1.33 若H是

12、群G的一个非空子集，且a,bH都有abH成立，则H是G的一个子群。（ ）1.34 若H是群G的一个非空有限子集，且a,bH都有abH成立，则H是G的一个子群。（ ）1.35 循环群的子群也是循环群。（ ）1.36 如果群的子群是循环群，那么也是循环群。（ ）1.37 一个阶是11的群只有两个子群。 （ ）1.38 有限群中每个元素的阶都整除群的阶。（ ）1.39 设G是一个n阶群，m|n，则G中一定有m阶子群存在。 （ ）1.40 若G是60阶群,则G有14阶子群。( )1.41 设G是60 阶群，则G有40阶子群。 （ ）1.42 阶为100的群一定含25阶元。（ ）1.43 阶为100的群

13、一定含25阶子群。（ ）1.44 阶为81的群G中，一定含有3阶元。 （ ）1.45 设H是群G的一个非空子集，则。 （ ）1.46 设H是群G的一个非空子集，则。 （ ）1.47 群的子群是不变子群的充要条件为。 （ ）1.48 群的一个子群元素个数与的每一个左陪集的个数相等. （ ）1.49 指数为2的子群不是不变子群。（ ）1.50 若NH,HG，则NG。( )1.51 若N是群G的不变子群,N是群N的不变子群,则N是G的不变子群。( )1.52 设HG，KG，则HKG。（ ）1.53 若NN，HG那么NHG。（ ） 2.4 商群、群的同态定理。1.54 群之间的同态关系是等价关系。（

14、）1.55 循环群的商群是循环群。（ ）1.56 设f：是群到群的同态满射，a，则a与f (a)的阶相同。（ ）1.57 设G是有限群，HG， 则。（ ）1.58 若是群G到的同态满射，N是G的一个不变子群，则（N）是的不变子群，且 。 ( )1.59 设f 是群G到群的同态映射，HG，则 f(H) 。 （ ）1.60 设f 是群G到群的同态映射， HG 则 f(H)。 （ ）1.61 若是群G到的一个同态满射,N是G的一个不变子群,则(N)是的不变子群,且。1.62 若是群G到的同态满射,是的一个不变子群,()表示的原象,则()是G不变子群,且。( )1.63 设G和都是群，, , N=()

15、，则NG,且。（ ）2 填空题：2.1 在群G中，a，bG，a 2 = e，a1ba = b2，则|b| =_。2.2 在交换群G中，a，bG，|a| = 8，|b| = 3，则|a2 b | =_。2.3 设a是群G的元,a的阶为6，则a4的阶为_。2.4 设a是群G中的一个8阶元,则a的阶为_。2.5 设G是交换群，a、bG, |a|=5, |b|=7,则|ab|=_。2.6 群AG中有_个1阶元。2.7 在S5中，4阶元的个数为_。2.8 在S4中，3阶元的个数为_。2.9 设为群，若，则_。2.10 设群G=e，a1，a2，an-1，运算为乘法，e为G的单位元，则a1n =_.2.11

16、 若a,b是交换群G中的5阶元和72阶元, 则ab的阶为_。2.12 在整数加群Z中， =_。2.13 10阶交换群G的所有子群的个数是_。2.14 阶数最小的非交换群的阶数是_。一个有限非可换群至少含有_个元素.2.15 任意群G一定同构于G的一个_。2.16 n次对称群Sn的阶是_。2.17 9-置换分解为互不相交的循环之积是_。2.18 n阶有限群G一定_置换群。2.19 每一个有限群都与一个_群同构。2.20 已知为上的元素，则_。2.21 给出一个5-循环置换，那么_。2.22 在4次对称群S4中，(134)2(312)-1=_.2.23 在4次对称群S4中，（24）（231）_ ，

17、（4321）1_，（132）的阶为_。2.24 在6次对称群S中,(1235)(36)=_。2.25 (2431)=_。2.26 设群G的元a的阶是n，则ak的阶是_.2.27 设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为_。2.28 已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于_。2.29 设为循环群，那么（1）若的阶为无限，则同构于_，（2）若的阶为n，则同构于_。2.30 若群G是一个6阶循环群,则G与（模6剩余类同构）_同构。2.31 设=是循环群，则与模的剩余类加群同构的充要条件是_。2.32 整数加群(Z,+)的两个生成元是_+1和-1_。2.33 整数加群Z有_个生成元.2.34 整数

18、加群(Z, +)的生成元是_。2.35 无限循环群G=(a)的生成元为_a的逆_。2.36 无限循环群G中能作为G的生成元的元素共有 _ 个。2.37 若G=(a)是一个无限循环的乘法群,则G的另一个生成元是_a的逆元_。2.38 剩余类加群Z共有_4_个元可作为它的生成元。2.39 16阶循环群G中能作为G的生成元的元素的个数为_8_。2.40 模10剩余类加群(Z,+)中能作为Z的生成元的元素有_。2.41 设=是12阶循环群，则的生成元是_。2.42 设是一个阶群，其中是一个素数，是一个正整数，则的真子群的一切可能的阶数是_。2.43 设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有_个.2.

19、44 剩余类加群Z12有_个生成元.2.45 设H是群G的非空子集,则H是G的子群的充要条件是_。2.46 设G（a）是6阶循环群，则G的子群有_。2.47 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为_，子群H=的在G中的指数是_ 。2.48 设为群的子群，则是群的子群的充分必要条件为_。2.49 设是群的子群，则_。2.50 在3次对称群S3中，H(1)，(12)是S3的一个子群，则H (23)_2.51 在3次对称群S3中，H = （1），（23），则S3对H的右陪集分解式是_。2.52 的子群的一切右陪集_。2.53 G=(a)是21阶群，H则G:H=_。2.54 凯莱定理说

20、：任一个子群都同一个_ 同构。2.55 凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个_同构。2.56 设G是群，N是G的非空子集，则NG的充要条件是_。2.57 6阶循环群有_个子群.2.58 设G是由a生成的30阶循环群，H = ，则G/H =_。2.59 设G(a)是10阶群，H(a),则_。2.60 设：A，则_。2.61 16阶循环群G中能作为G的生成元的元素的个数为_。2.62 设：A，则_。2.63 模10的剩余类加群的生成元为_。2.64 设a 是群G中的一个6阶元，则的阶为_。2.65 一个6 阶的非交换群G中的非单位元的阶一定是_ 。2.66 剩余类加群中能作为它的生成元的元素有_。

21、2.67 设G是群，a, bG, |a|=12, 则|ba10b-1| =_。2.68 设G是一个20阶的交换群，aG, |a|=2, 则 G/ _。2.69 在整数加群Z中，,，则_。2.70 在整数加群Z中，则G：H =_。2.71 在12阶循环群G中，G=，H=，则=_。2.72 在4次对称群S4中，S=(123),则=_。2.73 在S5中，=(235)(13)(24),则=_。2.74 21阶群G中，7阶子群的个数为_。2.75 设N，商群中的单位元是_。2.76 在Z24中，24,H=,Z8,则a= _。2.77 在整数加群Z中，H=,则a =_。2.78 设G1，G2分别为m，n

22、阶循环群，则G1G2的充要条件是_。2.79 Z4到Z2的所有同态映射是_。2.80 在整数加群Z中， + + =_。2.81 在同构的意义下，6阶群有_种。2.82 设G是模4的剩余类加群，那么Aut(G)= _。2.83 设G是正有理数作成的乘法群，a,a=（p, q为奇数, n为整数），令：a是G到（Z，+）的同态映射，则Ker=_。2.84 设G, H是两个阶互素的有限群，则G到H的同态映射f为_。2.85 在环R=4Z=4k|kZ中，（8）=_。2.86 在整数加群Z中，S=22,32则=_。2.87 设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为_。2.88 设是一个阶交换群，是的一

23、个（）阶元，则商群的阶等于_ 。2.897、一个非正方形的长方形S的对称群是 。 13、平面上的正方形的对称群是_ 。72. 设a, b是群G的两个元素，满足aba=ba2b，a3=1，b7=1，则b=_ 。3 证明题：3.1 令证明，G对于矩阵的普通乘法作在一个群3.2 设G是整数集，规定运算：证明：G对运算作成一个群3.3 方程 在复数范围内的三个根关于数的乘法构成群.3.4 设证明： 关于矩阵的乘法构成群.3.5 全体可逆的 阶方阵的集合 ()关于矩阵的乘法构成一个非交换群. 这个群的单位元是单位矩阵,每个元素(即可逆矩阵) 的逆元是 的逆矩阵 .3.6 设为实数集，令，将的所有这样的变

24、换构成一个集合，试证明：对于变换普通的乘法，作成一个群。3.7 证明：若群G的每个元素都满足方程，则G 是一个Abel群（交换群）3.8 设G是一个群，证明：G是交换群的充分必要条件是，对任意，都有3.9 证明：在群G中，与有相同的阶 3.10 证明：在群G中，与有相同的阶3.11 证明：在n阶群G中每个元都满足xn=e.3.12 设 为群. . 证明: 与b有相同的阶. 3.13 证明：在群G中，ab与ba有相同的阶3.14 设 为群. . 证明: , , 有相同的阶.3.15 设 为 到 的同构映射, . 证明: 与 有相同的阶.3.16 设 为群, , 的阶为 , , . 证明: .3.

25、17 设，的阶为，证明的阶是，其中。3.18 证明: 循环群是交换群.3.19 证明: 有限群中阶数大于2的元的个数必是偶数.3.20 证明: 任意偶数阶群必含有阶为2的元素.3.21 设 为素数. 证明: 中每一个非零元都是生成元. 3.22 设G是一个群，若a的阶是正整数n证明：对3.23 设G是一个交换群，m是固定的正整数令证明：H是G的一个子群3.24 假定和是一个群G的两个元，并且，又假定的阶是，的阶是，证明：的阶是。3.25 设是群G的子群证明：也是G 的一个子群3.26 设G是一个群，令证明：C是G的一个子群3.27 设G是一个群，S是G的一个非空子集令证明：C（S）是G的一个子

26、群3.28 若群G的阶是素数p，则G是一个循环群，试证之3.29 证明：循环群的子群也是循环群3.30 若群G与群同态，且G是循环群，证明：也是循环群3.31 证明：阶为的群（p是素数）一定包含有一个阶为p的子群3.32 设H，K是群G的不变子群，证明：HK也是G的不变子群。3.33 设H，K是群G的不变子群，且证明：，都有3.34 设H，K是群G的不变子群，证明：也是G的不变子群。3.35 设H是群G的子群，N是G的不变子群。证明：HN是G的子群3.36 设G是一个n阶有限群证明：G的每一个元素都满足方程3.37 设G是一个群，是G的中心，证明：C是G的一个不变子群3.38 设C是群G的中心

27、，即且商群是循环群证明：G交换群3.39 若G 是循环群，H是G的一个子群证明：也是循环群3.40 设G是一个群，令证明：是G到G的同构映射的充分必要条件是：G是一个交换群3.41 设H是群G的子群,令NG(H)=x|xG, xH=Hx,证明NG(H)是G的子群3.42 设G是群，令 C=x|xG, yG, xy=yx,证明C是G的正规子群。3.43 设G=(a)是一无限循环群，证明G的生成元只有两个。3.44 设G是交换群，证明G中一切有限阶元素组成的集合T是G的一个子群，且除单位元之外不含有限阶元素。3.45 取定群G的元u,在G中定义新的“o” ：aob=aub.a.bG.证明（，o）是

28、群3.46 证明循环群的子群也是循环群。3.47 设p是一个素数，证明2p阶群G中一定有一个p阶子群N。3.48 若G是一个群,e是G的单位元,G中任何元都是方程的解，证明G是一个交换群。3.49 若G是一个循环群,N是G的一个子群,证明也是一个循环群.3.50 证明阶是素数的群一定是循环群。3.51 设G是一个43阶的有限群,证明G的子群只有单位元群及G本身。3.52 证明：群G为交换群为G到G的一个同构映射。3.53 设G是一个1000阶的交换群，a是G的一个100阶元，证明 。3.54 设G是群，f：GG，aa2,()证明f是群G的自同态G是交换群。3.55 设G=（a, b）|a, b

29、|R,，在G上定义“”：(a, b) 证明（G，）构成一个群。3.56 设G是有限交换群，f：GG,f(g)=gk(gG)证明fAut(G)(k,|G|)=1。3.57 设G是100阶的有限交换群，f: GG, f(g)=g49(gG),证明fAut(G)。3.58 设AG,BG如果存在a, bG,使得Aa=Bb,则A=B。3.59 设G是交换群，m是固定的整数，令H=a|aG, am=e，证明HG。3.60 设HG,令CG(H)=g|gG,hH,gh=hg，证明CG(H)G。3.61 设G是非空有限集合，“”是G的一个二元运算，“”适合结合律及左、右消去律，证明：(G,)构成一个群，当G是无

30、限集时呢？3.62 设G是2000阶的交换群，HG,|H|=200，证明：是一个循环群。3.63 证明：无限循环群的生成元的个数只有两个。反之，一个循环群G的生成元只有两个，则G是否一定同构于Z ？3.64 设G是一个循环群，|G|3,4,G的生成元的个数为2，证明GZ。3.65 设G是有限群，HG, aG,证明存在最小正整数m,使amH,且m|。3.66 设G是奇阶群，则对任意gG, 存在唯一元xG, 使g=x2。3.67 证明：整数加群Z与偶数加群2Z同构。3.68 设HG, g是G的一个固定元素，gHg-1=ghg-1|hH（1）证明: gHg-1G。（2）证明: H。3.69 设G=，

31、G对复数的加法构成群，H对矩阵的加法也构成群，证明：GH。3.70 设H是群G的非空子集, 且H中元的阶都有限，证明：HG。3.71 设NG, |G/N|=10, gG, |g|=12, 证明: g2N。3.72 设G是群，a, bG, ab=ba,|a|=m, |b|=n, =e.证明：|ab|=m, n (m, n是m, n的最小公倍数)。3.73 设是一个n次置换，集合X=1, 2, 3, , n，在X中，规定关系“”为kl, 使r(k)=l.证明：“”是X上的一个等价关系。3.74 设K=(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)证明：KS4。3.75 设G是群

32、，HG, 规定关系“”a b 证明：是G的一个等价关系，且a所在的等价类a=Ha。3.76 证明：15阶群至多含有一个5阶子群。3.77 设HG, 若H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，证明HG。3.78 设NG, G:N=2004, 证明：对, 恒有。3.79 设NG, G:N=4,证明：存在MG,且G:M=2。3.80 设H，NG, 证明：|ab|=6。3.81 设HG, 证明：HG如果由。3.82 设k|m, 证明:。3.83 群G的非平凡子群N称为G的极小子群，如果不存在子群B使得, 证明：整数加群Z没有极小子群。3.84 如果是循环群，证明：G是交换群（其中C(G)是群G的中心）

33、。3.85 证明：6阶交换群是循环群。举例说明6阶群不一定是循环群。3.86 证明：在一个有单位元的环R中，全体可逆元组成的集合对R的乘法构成一个群。3.87 设H，K则对任意a, b G,则HaKb=或HaKb是HK的一个右陪集，该结果能否推广？3.88 设 是群. 证明: 如果对任意的 , 有 , 则 是交换群.3.89 证明: 在群 中, 如果 , 则 .3.90 设 为加群. 证明: 任给 , , 有.3.91 证明: 一个子群的左陪集的所有元素的逆元素组成这个子群的一个右陪集。3.92 设群 的子群 在 中的指数为2. 证明:, .3.93 设 为群, 是 的子群. 证明: 中每个元

34、素属于且属于 的一个左陪集.3.94 设 是群, 是 的子群, . 则是 的子群.3.95 设 是群, 是 的非空子集. 证明: 中与 中每个元素都可交换的元素全体是 的子群.3.96 设 . 证明: 是 的子群.3.97 设 是交换群. 是一个固定的正整数. 令, .证明: 与 都是 的子群.3.98 证明: 3.99 设 是群, 证明: 的中心是 的正规子群.3.100 设 是群, , , 证明: .3.101 设 是群, 和 分别是 的子群和正规子群. 证明:(1) 是 的正规子群;(2) 是 的子群.3.102 设 为 的中心. 证明: 如果 是循环群, 则 是交换群.3.103 设

35、为群, 对任意的 , 称为 的换位子, 的所有换位子生成的子群叫做 的换位子群, 记作 . 证明:(1) 是 的正规子群;(2) 商群 是交换群;(3) 若 , 且 为交换群, 则 是 的子群.注: 是由所有换位子的可能乘积所组成的集合.3.104 设 与 为群, 为 到 的同态映射. . 证明: 当且仅当对任意的 , 有 .3.105 设 与 为群, 为 到 的同态映射. , . 证明:3.106 设 为 到 的同态映射, . 为 的子群. 证明: .3.107 设 与 分别为 阶与 阶循环群. 证明: 当且仅当 .3.108 设 都是群 的正规子群. 证明:3.109 设群 在集合 上的作

36、用是传递的. 证明： 如果 是 的正规子群，则 在 的作用下的每个轨道有同样多的元素.3.110 设群 作用在集合 上，. 证明： 如果存在 , 使得 , 则 .3.111 设 为大于1的正整数. 令证明: 关于剩余类的乘法构成一个交换群.3.112 设群与群同态，是的一个不变子群，是的逆象，证明。3.113 证明：设是群，如果对任意的，有，则是交换群。3.114 证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。3.115 设a、b是群G的元素，a的阶为2，b的阶为3，且ab=ba，证明ab的阶是6.3.116 ，。那么H是的一个子群。3.117 一个群G的一个不空有限子集H作

37、成G的一个子群的充分而且必要条件是： 3.118 设 是所有 阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群. 是所有行列式等于1的 阶矩阵所组成的集合. 则 是 的子群.3.119 群 的任何两个子群的交集也是 的子群. 3.120 设 为 的子群. 则 在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同.3.121 有限群 的任一元素的阶都是群 的阶数的因子.3.122 设 与 为群, 是 与 的同构映射, 则(1) 如果 为 的单位元, 则 为 的单位元;(2) 任给 , 为 的逆元, 即 3.123 如果 是交换群, 则 的每个子群 都是 的正规子群. 3.124 设 , , 则 . 3.125 群 的任何两个正

38、规子群的交还是 的正规子群.3.126 设 与 是群, 是 到 的同态映射.(1) 如果 是 的单位元, 则 是 的单位元;(2) 对于任意的 , 是 在 中的逆元. 即3.127 设 与 是群, 是 到 的满同态.如果 是 的正规子群, 则 是 的正规子群.3.128 设是循环群，G与同态，证明是循环群。3.129 设G是群，aG ，令CG（a）= x|xG ，xa = ax，证明：CG（a）G3.130 设G ，H = x | x G ，f（x） 。证明：H/Kerf .3.131 设G是群，u是G的一个固定元，定义“o”：aob = a u 2 b （a，bG），证明 （G，o）构成一个

39、群.3.132 设G是群，HG。令NG（H） = x | xG，xH = Hx .CG（H）= x | xG，h H，hx = xh .证明：（1）NG（H）G（2）CG（H）NG（H）3.133 设G与是两个群，f：G ，K = Kerf，令H = x |xG，f(x) ，证明：HG且H/K .3.134 设和是一个群的两个元且，又设的阶，的阶，并且，证明：的阶。3.135 设为实数集，令，将的所有这样的变换构成一个集合，试证明：对于变换普通的乘法，作成一个群。3.136 设G=有理数域上所有n阶可逆矩阵，H = A|AG,|A|=1证明：H是G的不变子群3.137 整环Z中的单位有_。3.138 环Z6的全部零因子是_。3.139 若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当是。3.140 整数环Z的理想有_个. 3.141 整数环Z的商域是_.3.142 除环的理想共有_个。3