第6部分：不等式.doc

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1、1 第第 6 部分：不等式部分：不等式 一、选择题一、选择题: 1 （20102010 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 2 2）设变量 x，y 满足约束条件则目标函数 3, 1, 1, xy xy y z=4x+2y 的最大值为 （A）12 （B）10 （C）8 （D）2 【答案】B 【解析】画出平面区域可知，当直线 z=4x+2y 经过点（2，1）时，目标函数 z=4x+2y 取得 最大值 10，故选 B。 【命题意图】本题考查不等式中的线性规划知识，考查数形结合的数学思想。 2 （20102010 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 7 7）设集合 则实数 a 的取值范围是Ax|x-a|0

2、”是“0”成立的x 32 x A充分非必要条件 B必要非充分条件w_w*w.k_s_5 u.c*o*m C非充分非必要条件 D充要条件 4 13 （20102010 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 7 7）设变量满足约束条件则, x y 0, 0, 220, x xy xy 的最大值为32zxy （A）0 （B）2 （C）4 （D）6 【答案】C 【解析】不等式组表示的平面区域如图所示， 当直线过点 B 时，在 y 轴上截距最小，z 最大32zxy 由 B（2,2）知4 max z 14 （20102010 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 6 6） “a0”是“0”的Aa (A)充分不必要

3、条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 【答案】A 15 （ 20102010 年高考全国年高考全国卷文科卷文科 3 3）若变量满足约束条件则, x y 1, 0, 20, y xy xy 的最大值为2zxy (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域（如右图） ，由图可知,当直线l经过点 11 2 22 zxyyxz A(1,-1)时，z 最大，且最大值为. max 1 2 ( 1)3z 0 xy 1 O yx y 20 xy x A 0: 20lxy L0 2 2 A 5

4、 16 （ 20102010 年高考全国年高考全国卷文科卷文科 7 7）已知函数.若且，( ) | lg|f xxab( )( )f af b 则的取值范围是ab (A) (B)(C) (D) (1,)1,)(2,)2,) 7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做 本小题时极易忽视 a 的取值范围，而利用均值不等式求得 a+b=,从而错选 D,这也 1 2a a 是命题者的用苦良心之处. 【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或，所以 a+b= 1 b a 1 a a 又 0ab,所以 0a1f(1)=

5、1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+). 【解析 2】由 0ab,且f(a)=f(b)得：，利用线性规划得：，化为求 01 1 1 a b ab 01 1 1 x y xy 的取值范围问题，过点zxyzxyyxz 2 11 1yy xx 时 z 最小为 2,(C) 1,1(2,) 17 （ 20102010 年高考全国年高考全国卷文科卷文科 1010）设则 1 2 3 log 2,ln2,5abc （A）（B） (C) (D) abcbcacabcba 10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实 数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用

6、. 【解析 1】 a=2=, b=In2=,而,所以 ab, 3 log 2 1 log 3 2 1 log e 22 log 3log1e c=,而,所以 ca,综上 cab. 1 2 5 1 5 22 52log 4log 3 【解析 2】a=2=,b=ln2=, ，； 3 log 3 2 1 log 2 1 loge 3 22 1loglog2 e 3 22 111 1 2logloge c=，cab 1 2 111 5 254 18 （ 20102010 年高考全国年高考全国卷文科卷文科 1111）已知圆的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，O A、B 为两切点，那么的最小值为P

7、A PB 6 (A) (B) (C) (D)42 32 42 2 32 2 11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的 求法判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析 1】如图所示：设 PA=PB=,APO=,则x(0)x APB=，PO=，2 2 1x 2 1 sin 1x =| |cos2PA PBPAPB 22 (1 2sin)x =，令，则， 22 2 (1) 1 xx x 42 2 1 xx x PA PBy 42 2 1 xx y x 即，由是实数，所以 42 (1)0 xy xy 2 x ，解得或. 2 (1)

8、4 1 ()0yy 2 610yy 32 2y 32 2y 故.此时. min ()32 2PA PB 21x 【解析 2】设，,0APB 2 cos1/tancos 2 PA PBPAPB 换元：， 22 2 2 22 1 sin1 2sin cos 22 2 1 2sin 2 sinsin 22 2 sin,01 2 xx 11 21 232 23 xx PA PBx xx 【解析 3】建系：园的方程为，设， 22 1xy 11110 ( ,), ( ,), (,0)A x yB xyP x 22 11101110110 ,001AOPAx yxxyxx xyx x 22222222 11

9、00110110 221232 23PA PBxx xxyxxxxx P A B O 222 10110111001 ,2PA PBxxyxxyxx xxy 7 19 （20102010 年高考全国卷年高考全国卷文科文科 5 5）若变量 x,y 满足约束条件 则 z=2x+y 的 1 325 x yx xy 最大值为 （A）1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析解析】C】C：本题考查了线性规划的知识。：本题考查了线性规划的知识。 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 与与的交点为最优解点，的交点为最优解点， yx325xy 即为（即为（1 1，1 1）

10、 ，当，当时时 1,1xy max 3z 20 （20102010 年高考全国卷年高考全国卷文科文科 2 2）不等式0 的解集为 3 2 x x （A） （B） （C） （D）23xx 2x x 23x xx 或 3x x 【解析解析】A】A ：本题考查了不等式的解法：本题考查了不等式的解法 ， ，故选，故选 A A 3 0 2 x x 23x 21 （20102010 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 8 8）某加工厂用某原料由车间加工出产品，由乙车间A 加工出产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克产品，每千克BA 产品获利 40 元.乙车间加工一箱原料需耗费工时

11、6 小时可加工出 4 千克产品，每千克AB 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天功能完成至多 70 多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗B 费工时总和不得超过 480 小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为w_w w. k#s5_u.c o*m （A）甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱 （B）甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱 （C）甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱 （D）甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱高考#资*源网 解析：解析：设甲车间加工原料 x 箱，乙车间加工原料 y 箱 则 70 106480 , xy xy x y

12、N 目标函数 z280 x300y 结合图象可得：当 x15,y55 时 z 最大 本题也可以将答案逐项代入检验. 答案：Bw_w w. k#s5_u.c o*m y 0 x70 48 80 70 (15,55) 8 22 （20102010 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 1111）设，则的最小值是0ab 2 11 a aba ab （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 解析：w_w w. k#s5_u.c o*m 2 11 a aba ab 2 11 () aabab aba ab 11 () () aba ab aba ab 224 当且仅当 ab1,a(ab)1 时等号成立 如取

13、a,b满足条件.2 2 2 答案：D 二、填空题：二、填空题： 1 （20102010 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 1414）已知，且满足，则 xy 的最大值为 ., x yR1 34 xy 【答案】3 【解析】由均值不等式容易解出。 【命题意图】本题考查不等式的应用，考查转化与化归的数学思想。 2 （20102010 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 1515）设an是等比数列，公比，Sn为an的前 n 项和。2q 记设为数列的最大项，则= 。 * 2 1 17 ,. nn n n SS TnN a 0 n T n T 0 n 【答案】4 【解析】因为=， 2 11 * 1 (1)(1

14、) 17 11 , nn n n aqaq qq TnN a q 2 17(1)(1) (1) nn n qq q q 设，则有= n qt n T 2 17(1)(1) (12) tt t 2 16 17 (12) tt t 1617 21( 21)21 t t =，当且仅当，即，所以当为数 817 () 2121 9 21 16 21( 21) t t 4t 0 n T 列的最大项时，=4。 n T 0 n 9 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、均值不等式求最值等 基础知识。 3 （20102010 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 1616）设函数 f(x)

15、=x-,对任意 x 1 x 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。1,），f (m x)+m f (x)0 【答案】(, 1) 【解析】因为对任意 x，恒成立，所以1,)f(mx)+mf(x)=2mx- 1 0 m mxx 当时，有对任意 x恒成立，即，解0m 222 210m xm 1,) 22 21 10mm 得，即；当时，有对任意 x恒成立，x 2 1m 1m 0m 222 210m xm 1,) 无解，综上所述实数 m 的取值范围是。1m 【命题意图】本题考查不等式中的恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想。 4(2010(2010 年高考北京卷文科年高考北京卷文科 11)11)

16、若点 p（m，3）到直线的距离为 4，且点 p4310 xy 在不等式3 表示的平面区域内，则 m= 。2xy 5. (2010(2010 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 15)15)若正实数 X，Y 满足 2X+Y+6=XY ， 则 XY 的最小值是 。 解析：运用基本不等式，令，可得62262xyyxxy 2 txy ，注意到 t0，解得 t,故 xy 的最小值为 18，本题主要考察了用0622 2 tt23 基本不等式解决最值问题的能力 ，以及换元思想和简单一元二次不等式的解法，属中档题 6.(2010(2010 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 16)16)某商家一月份至五月份累计销

17、售额达 3860 万元，预测六月 份销售额为 500 万元，七月份销售额比六月份递增 x%，八月份销售额比七月份递增 x%， 九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达 7000 万元，则，x 的最小值 。 解析：20；本题主要考察了用一元二次不等式解决实际问题的能力，属中档题 7(2010(2010 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 15)15)若，则下列不等式对一切满足条件0,0,2abab 的恒成立的是 (写出所有正确命题的编号), a b ； ； ； 1ab 2ab 22 2ab 10 ； 33 3ab 11 2 ab 【答案】， 【解析】令，排除；由

18、，命题正确；1ab221ababab ，命题正确；，命题 222 ()2422abababab 112 2 ab ababab 正确。 8 （20102010 年高考上海卷文科年高考上海卷文科 2 2）不等式的解集是 。 2 0 4 x x 24|xx 解析：考查分式不等式的解法等价于（x-2）(x+4)0,所以-4x2 2 0 4 x x 9 （20102010 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 1515）已知且，则的取14xy 23xy23zxy 值范围是 . （答案用区间表示） 解析：填. 利用线性规划，画出不等式组表示的平面区域，即可求解.(3,8) 1 4 2 3 xy xy xy

19、xy 10 （20102010 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 1212）已知，则函数的最小值为0t 2 41tt y t _ . 【答案】-2 【解析】，当且仅当时，. 2 411 42(0) tt ytt tt 1t min 2y 11 （20102010 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 1414）设 x，y 满足约束条件，则目标函数 24, 1, 20, xy xy x z3xy 的最大值为 . 【答案】5 12 （20102010 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 1212）已知：式中变量满足的束条件2zxy, x y 则 z 的最大值为_。 , 1, 2 yx xy x 【答案】

20、5 13 （ 20102010 年高考全国年高考全国卷文科卷文科 1313）不等式的解集是 . 2 2 0 32 x xx 11 【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法21,2xxx 或 【解析】: ，数轴标根 2 2 0 32 x xx 2 02210 21 x xxx xx 得：21,2xxx 或 三、解答题：三、解答题： 1 （20102010 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 2424） （本小题满分 10 分）选修 4-5:不等式选讲 已知 a,b,c 均为正数，证明：a2+b2+c2+6，并确定 a,b,c 为何值时， 2 111 abc 3 等号成立. 证明：(证法一) 因为

21、a,b,c 均为正数，由平均值不等式得 a2+b2+c2 2 3 3()abc 111 abc 1 3 3()abc 所以. 2 111 abc 2 3 9()abc 故 a2+b2+c2+ 2 111 abc 2 3 3()abc 2 3 9()abc 又， 2 3 3()abc 2 3 9()abc 2 276 3 所以原不等式成立. 当且仅当 a=b=c 时,式和式等号成立.当且仅当时, 式等号成立. 22 33 3()9()abcabc 即当且仅当 a=b=c=时,原式等号成立. 1 4 3 (证法二) 因为 a,b,c 均为正数,由基本不等式 a2+b22ab, b2+c22bc c

22、2+a22ac. 所以 a2+b2+c2ab+bc+ac 同理 222 111 abc 111 abbcac 故 a2+b2+c2+()2 111 abc 12 ab+bc+ac+3+3+3 1 ab 1 bc 1 ac 6.3 所以原不等式成立 当且仅当 a=b=c 时,式和式等号成立,当且仅当 a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3 时,式等 号成立. 即当且仅当 a=b=c=时,原式等号成立. 1 4 3 2 （20102010 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 1919） （本题满分 12 分） 某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水

23、化合物， 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个 单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含 64 个单位 的碳水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求， 并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，设费用为 F，则 F yx45 . 2，由题意知： 64812 yx 4266yx 54106yx 0, 0yx 画出可行域： 变换目标函数： 48 5F xy 13