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1、,一、利用柱面坐标计算三重积分,二、利用球面坐标计算三重积分,95 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分,柱面坐标、,柱面坐标系的坐标面,直角坐标与柱面坐标的关系、,柱面坐标系中的体积元素,柱面坐标系中的三重积分,球面坐标、,球面坐标系的坐标面,直角坐标与球面坐标的关系、,球面坐标系中的体积元素,球面坐标系中的三重积分,一、利用柱面坐标计算三重积分,设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标,这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r， 0 q 2 ， z,r,z,P(r, q ),M(x, y, z),x,y,三个
2、数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标,一、利用柱面坐标计算三重积分,坐标面rr0，q q 0，zz0的意义：,r0,z0,设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标,这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r， 0 q 2 ， z,三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标,直角坐标与柱面坐标的关系：,柱面坐标系中的体积元素： dv rdrdqdz,柱面坐标系中的三重积分：,解 闭区域W可表示为： r 2z4，0r2，0q2,于是,zx2y2,或 zr2,例1,二、利用球面坐标计算三重积分,这样的三个数r、j 、
3、q 叫做点M 的球面坐标,设M(x，y，z)为空间内一点，则点M与数r 、j 、q 相对应，,其中r 为原点O 与点M 间的距离，,j为有向线段 与z 轴正向所夹 的角，,q 为从正z 轴来看自x 轴按逆时针 方向转到有向线段 的角,这里r 、j 、q 的变化范围为 0 r，0 j ，0q 2,z,P,M(x, y, z),x,y,坐标面rr0，jj 0，q q 0的意义：,r,点的直角坐标与球面坐标的关系：,球面坐标系中的体积元素： dvr2 sin j drdjdq ,柱面坐标系中的三重积分：,例2 求半径为a 的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立 体的体积,2a,例2 求半径为a 的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立 体的体积,解 该立体所占区域W可表示为： 0r2a cos j ，0ja ，0q2,于是所求立体的体积为,2a,例3 求均匀半球体的重心,解 取半球体的对称轴为 z 轴， 原点取在球心上，又设球半径为a,显然，重心在z 轴上，故x y 0,解 取球心为坐标原点，z轴与轴l重合，又设球的半径为a，,例4 求均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量,则球体所占空间闭区域W可用不等式 x2y2z2a 2 来表示,I z,所求转动惯量为,