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1、传播优秀Word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！用初等数学方法求斐波那契数列的通项公式斐波那契 (Fibonacci) 数列是著名的数列，有很高的实用价值。多年来，学者们一直在探究它的通项公式的求解方法，已经涌现出了多种方法。但据笔者们所知，这些方法大都需要比较高深的数学知识，例如组合数学的方法、概率的方等等，让人比较难理解，不容易接受。基于此，研究给出了一种简易的初等数学方法，先探求它们的特征多项式，然后通过求解线性方程组的思想，得出它们的通项公式。这种方法深入浅出，有一定的实用价值。1.斐波那契数列的由来13 世纪意大利数学家斐波那契在他的算盘书的修订版中增加了一道著名的兔子繁殖问题
2、. 问题是这样的: 如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（也是一雄一雌，下同），每对兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子.假定这些兔子都没有死亡现象，那么从第一对刚出生的兔子开始，12 个月以后会有多少对兔子呢？解释说明为：一个月：只有一对兔子；第二个月：仍然只有一对兔子；第三个月：这对兔子生了一对小兔子，共有1+1=2 对兔子.第四个月：最初的一对兔子又生一对兔子，共有2+1=3对兔子.则由第一个月到第十二个月兔子的对数分别是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，人为了纪念提出兔子繁殖问题的斐波纳契，将这个兔子数列称为斐波那契数列，
3、即把 1，1，2，3，5，8，13，21，34这样的数列称为斐波那契数列。2.斐波那契数列的定义定义:数列F1,F2, ,Fn,如果满足条件,(对所有的正整数n 3),则称此数列为斐波那契(Fibonacci)数列。3. 斐波那契数列的通项公式推导方法一：利用特征方程 由通项公式F(n+2)=F(n+1)+F(n)可以得到特征方程X2=X+1解得X1 = ， X2 = 所以F(n)可以表示成F(n) = a +b （1）由F(0) = 0和F(1) = 1得如下两个方程：a + b = 0a + b = 1解得a = , b = 带入（1）式可得推导方法二：待定系数法设常数，使得.则n3时，有
4、将以上n-2个式子相乘，得：上式可化简为： 的一解为 推导方法三：虑由数列F1,F2, ,Fn,中相邻两项组成的数组组成的序列.由得到序列an的相邻两项与之间的关系，即,其中。序列的每一项n- 1可以由前一项n- 2( n 3)乘矩阵A得到,就好像是以A为公比的等比数列,与等比数列类似可以得到它的通项:。要得到Fn,就要先算出。为了算出,利用矩阵相似的理论和方法,先将A相似于尽可能简单的形状。A的特征多项式为,解得特征值为和。分别求得特征向量和以X1, X2为两列组成可逆方阵则,，.从而解法三可以推广到一般的情形:对任意给定的复数c1,c2,如果数列Un满足条件，并且已知这个数列的前两项,求数列的通项。4.数学归纳法证明斐波那契数列当n=0时，F（0）= = 0，通项公式成立。当n=1时，F（1）= = = 1，通项公式成立。假设通项公式F（n）= 当n=k时F（k）= 成立，而且当n=k+1时F（k+1）= 成立，则：F（k+2） F(k+1) + F(k) 通项公式也成立。由此可以证明，对任意的整数，通项公式F（n）= 都成立。