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1、几何复习建议广州广雅实验学校 陈芸第十八章平行四边形一、本章的知识结构框图1、本章概念较多，概念之间联系非常密切，关系复杂。由于平行四边形和各种特殊平行四边形的概念之间重叠交错，容易混淆，弄清它们的共性、特性及其从属关系就非常重要。其实，很多学生掌握它们的特殊性质，往往会忽视它们的共性，所以，复习时要注意帮学生再次梳理知识，讲清矩形、菱形、正方形等的特殊性质，还要注意强调它们与平行四边形的从属关系和共同性。弄清这些关系，最好是用图示的办法。2、从培养学生推理论证的角度来看，这一章是要求学生在初步掌握推理论证的基础上，进一步巩固和提高。在推理和论证方面，要求学生对经过观察、实验、探究得到的结论证
2、明以外，还要求学生直接由已有的结论对图形的性质通过推理论证，这些推理对于学生推理能力要求较高，因此有会一部分学生学得比较吃力，因此，需要多讲多练。3、在解决有关平行四边形的问题时，反复运用了平行线和三角形的有关知识，因此本章也是对平行线和三角形知识的深入与运用。但要注意引导学生，学了新在知识，要直接运用它们进行解决有关问题，避免再次通过辅助线转化为平行线或三角形进行解决，特别是利用全等三角形。二、本章知识内容归纳1、 平行四边形（1） 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。记作ABCD。（2） 性质：对边相等对角相等，邻角互补对角线互相平分（3） 判定：定义：两组对边分别平行的四边形叫
3、做平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。两组对角分别相等的四边形是平行四边形。对角线互相平分的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4） 面积 = 底高（5） 平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。2、 矩形（特殊的平行四边形）（1） 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。（2） 性质：四个角都是直角对角线相等（3） 判定：对角线相等的平行四边形是矩形。有三个角是直角的四边形是矩形。（4）面积 = 长X宽（5）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形
4、的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。3、 菱形（特殊的平行四边形）（1） 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。（2） 性质：四条边都想等两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角（3） 判定：A对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边相等的四边形是菱形。（4） 菱形ABCD的对角线是AC、BD，则菱形的面积公式是：S底高，S（5） 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。4、两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离。5、 三角形的中位
5、线定理：平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。6、 直角三角形性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。三、学生易错点和容易混淆的地方1.易把性质与判定搞混，常会用性质代替判定，直接解题。2.证明特殊平行四边形时常忘记可以先证图形为平行四边形。3.遇到已知图形是矩形、菱形、正方形的题，常忽略它们是特殊的平行四边形，也有平行四边形的性质。4.“菱形的对角线平分每组对角”这一性质，学生误以为“对角线平分对角的四边形为菱形”。5.在证明线段和角相等时，只会用全等的思维，不懂得运用平行四边形的特殊平行四边形的性质解决。6.因为受外面个别补习班的影响，很多学生一遇到觉得不会做的题（通常是不会做辅助
6、线），就会用截长补短的方法乱做。7.证明题的书写，学生不懂得其因果关系，常想到什么就写什么。因此对于证明题的书写步骤要重视。因为本学期的几何是重点，也是转折期，很多好学生因不会从条件出发思考问题，导致有掉队现象。为此，回归课本还是很有必要的，要在重视基础的前提，再去适当的提高。四、涉及的数学思想1转化、化归的思想（1）连接对角线，把平行四边形化归为两个全等的三角形；三角形的问题转化为平行四边形的性质进行解决。例如，直角三角形斜边中线等于斜边一半，把直角三角形转到矩形中的问题。（2）遇到梯形，可以把它转化为平行四边形和三角形的问题进行处理。2.方程的思想，遇到求角和线段的未知量，可以通过设未知数
7、，构造方程进行解答。3.数形结合的思想。五、常见考题考点1 平行四边形的性质1. （2014宿迁）如图，ABCD中，BC=BD，C=74，则ADB的度数是( )A.16 B.22 C.32 D.68【解析】C。四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADB=DBC,又BD=BC,BDC=C=74,ADB=180-2C=32. 2. （2015连云港）已知四边形ABCD,下列说法正确的是 （ ）A. 当AD=BC,ABDC时，四边形ABCD是平行四边形B. 当AD=BC,AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形来源:Z|xx|k.ComC. 当AC=BD,AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D.
8、当AC=BD,ACBD时，四边形ABCD是正方形【解析】B。“两组对边分别平行”或“两组对边分别相等”或“一组对边平行且相等”都可以证明一个四边形是平行四边形，但是当一组对边相等，另一组对边平行时，这个四边形也有可能是等腰梯形，不是平行四边形.在进行特殊四边形的判定时，一定要准确掌握其判定方法. 考点2 平行四边形的判定与三角形中位线3. （2014宿迁）如图，在ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高.（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：DHF=DEF.【思路分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EFAB，DEAC，再
9、根据平行四边形的定义证明即可.（2）根据平行四边形的对角相等可得DEF=BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得DAH=DHA，FAH=FHA，然后求出DHF=BAC，等量代换即可得到DHF=DEF.考点3 平行四边形的性质与判定4. （2014徐州）已知：如图，在ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF.求证：四边形BEDF是平行四边形. 【思路分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证明结论.考点4 矩形的性质与判定5. 在平行四边形ABCD中,点E为平行四边形ABCD 外一点， A
10、EC=BED=90.求证:四边形ABCD是矩形. 【思路分析】如图连接EO，用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可解决。 解图 6. （2015泰州）如图，矩形ABCD中，AB8，BC6，P为AD上一点，将ABP沿BP翻折至EBP，PE与CD相交于点O，且OEOD，则AP的长为_. 【解析】。如解图，根据题意得，APEP，ODOE，显然ODPOEF，则OPOF，设OEa，OPb，BF8-(6-a-b)2+a+b，FC8-(a+b)，在RtBCF中，根据勾股定理得，BF2=CF2+BC2，即(2+a+b)2=8-(a+b)2+62，解得a+b，AP的长为.命题点5 菱形的性质与判定7.（2015徐
11、州）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于 （ ）A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14 【解析】A。本题考查了菱形的性质，由于菱形的周长是28，而它的四边都相等，所以每条边都是7，而菱形的对角线互相垂直，E为AD的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可得OE=7=3.5.8. 已知:如图,在平行四边形ABCD中, BAD的平分线与BC交于E, ABC的平分线交AD于F,AE,BF相交于O,则四边形ABEF是菱形. 【思路分析】利用平行四边形性质和角平分线，得到ABF和AEF为等腰三角形，由此可利用邻边相等的平行
12、四边形为菱形得证。考点6 正方形的性质与判定9. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且BAE=22.5，EFAB,垂足为F，则EF的长为 （ ）A. 1 B. C. 4-2 D. 3-4【解析】C在正方形ABCD中，ABD=ADB=45，BAE=22.5，DAE=90-BAE=90-22.5=67.5，在ADE中，AED=180-45-67.5=67.5，DAE=AED，AD=DE=4，正方形的边长为4，BD=4,BE=BD-DE=4-4,EFAB，ABD=45，BEF是等腰直角三角形，EF=BE=(4-4)=4-2.10. （2013南京）如图，在四边形ABCD中，AB=BC,对角线BD平分ABC,P是BD上一点，过点P作PMAD,PNCD,垂足分别为M、N.（1）求证：ADB=CDB;（2）若ADC90，求证：四边形MPND是正方形.【思路分析】（1）要证明ADB=CDB，只需证明ABDCBD，由已知条件利用“边角边”法判定ABDCBD.（2）要证明四边形MPND是正方形，只需证明四边形MPND是矩形且有一组邻边相等，结合题目条件可证明四边形MPND有三个直角，再利用角平分线定理得到PM=PN.6