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1、线 性 代 数,主讲：刘 群,海口经济学院继教学院,2014.5.11-2014.6.22,目 录,第一章 行列式,第二章 矩 阵,第三章 向量空间,第四章 线性方程组,第五章 特征值与特征向量,第六章 实二次型,第一章 行列式,行列式是为了求解线性方程组而引入的，但在线性代数和其它数学领域以及工程技术中，行列式是一个很重要的工具。本章主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法。,1.1 行列式的定义,一、二阶行列式,主对角线,次对角线,（口诀：叉叉相乘来相减）,例如,（4）行列式的本质是数.,二、三阶行列式,可用下面的对角线法则计算。,例1,解,按对角线法则，有,解,a210当且仅当|a|1,因
2、此可得：,所以，当|a|1时，,练习题,2.计算,1.计算,三、n阶行列式的定义,三阶行列式,定义,n,2,称为n阶行列式.,个数aij (i j1 2 n)组成的记号,由,说明,（4）一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆.,（5）行列式的本质是数.,四、几个特殊的行列式,例1计算下列行列式的值,解：,1.2 行列式按行（列）展开,一、余子式与代数余子式,叫做元素 的代数余子式,（A）,解：,二、行列式展开定理,结论：三阶行列式的值等于任一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和.,例1 计算行列式,解一：对角线法则；,解二：展开法则.,总结：1. 利用展开法则计算行列式时，应选择还有 零
3、元素最多的行（列）展开.,2. 如果行列式的某一行（列）只有一个非零元，则行列式等于该非零元与其代数余子式的乘积.,例2 计算行列式,例3 计算行列式,例4 计算行列式,例4 计算行列式,解:按照第一列展开,练习题,1.3 行列式的性质与计算,一、行列式的性质,n阶行列式共有n!项 因此定义计算n阶行列式是较为困难的 只有少数行列式用定义计算比较方便 我们已经知道三角行列式的值就是主对角线上各元素的乘积 因此我们想到能否把一般的行列式化成三角行列式来计算 这就需要研究行列式的性质,例,转置行列式,将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置 行列式 记为DT或D 即如果,则,性质1 行列式
4、与它的转置行列式相等.即D=DT.,例,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 所以只需研究行列式有关行的性质，其所 有结论对列也是自然成立的.,性质2 用数k乘行列式D的某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于k D. 这也就是说，行列式可以按行（列）提出公因数.,注意必须按行或按列逐次提出公因数,证明：,例1 计算行列式,例3 计算反对称行列式,例2 计算行列式,结论：奇数阶反对称行列式的值为零,例如,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,例如,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,
5、证明,因为第一行与第二行对应元素成比例 根据性质4 得：,解,例4 计算行列式,例5 解方程,解,性质5若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和.,则D 等于下列两个行列式之和：,例如,注意应当逐行、逐列拆开,例6 计算行列式,例7 已知,，求,的值.,性质把行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式不变,例如,例8 计算行列式,二、行列式的计算,1、对角线法则（只适合于二阶、三阶行列式）,a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31,注意：对角线法则对四阶及四阶以上的行列式不再适用.,
6、2、化三角形法,注意： （1）在互换两行或两列时，必须在新的行列 式的前面乘上（1） ； （2）在按行或按列提取公因子k时，必须在新 的行列式前面乘上k； （3）避免分数运算.,例9 计算行列式,例10 计算行列式,例11 计算行列式,3、降阶法,思想：把某一行（列）化成只有一个非零元，然后按该行（列）展开.,例12 计算行列式,例13 计算行列式,特征： 每一行、每一列元素之和为6.,做法：先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因数，再将后三行都减去第一行.,例14 计算行列式,练习题,P23. 2, 4(1), 6(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、,1.4 克拉默
7、法则,用消元法解二元线性方程组,方程组的解为,前者称为非齐次线性方程组 后者称为齐次线性方程组,一、线性方程组的概念,二、克拉默法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为,例1 求解方程组,解：,齐次线性方程组的相关定理,定理1.4.3如果齐次线性方程组 的系数行 列式 则它只有零解：,注：n个方程n个未知量的齐次线性方程组只有零解当且仅当它的系数行列式不等于零；它有非零解当且仅当它的系数行列式等于零。这是一个非常重要的结论。,例2 判断下列线性方程组是否只有零解.,例3 当k为何值时，下列齐次线性方程组只有零解？,用克拉默法则求解线性方程组有两个前提条件：,1.方程个数与未知量个数相等；,2.方程组的系数行列式不等于零.,缺点:计算量大.在实际解线性方程组时一般不用 克拉默法则.,问 取何值时，齐次方程组,有非零解？,练习题,