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1、试验设计与数据处理（第三版）,Experiment Design and Data Processing,引 言,0.1 试验设计与数据处理的发展概况,20世纪20年代，英国生物统计学家及数学家费歇（RAFisher）提出了方差分析 20世纪50年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化 数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及的“优选法” 我国数学家王元和方开泰于1978年首先提出了均匀设计,0.2 试验设计与数据处理的意义,0.2.1 试验设计的目的: 合理地安排试验,力求用较少的试验次数获得较好结果 例：某试验研究了3个影响因素： A：A1，A2，A3 B：B1，B2，
2、B3 C：C1，C2，C3 全面试验：27次 正交试验：9次,0.2.2 数据处理的目的,通过误差分析，评判试验数据的可靠性； 确定影响试验结果的因素主次，抓住主要矛盾，提高试验效率； 确定试验因素与试验结果之间存在的近似函数关系，并能对试验结果进行预测和优化； 试验因素对试验结果的影响规律，为控制试验提供思路； 确定最优试验方案或配方。,第1章 试验数据的误差分析,误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进行客观的评定 误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实值在数值上的不一致 客观真实值真值 试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实验过程中,1.
3、1 真值与平均值,1.1.1 真值（true value） 真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值 真值一般是未知的 相对的意义上来说，真值又是已知的 平面三角形三内角之和恒为180 国家标准样品的标称值 国际上公认的计量值 高精度仪器所测之值 多次试验值的平均值,1.1.2 平均值（mean）,（1）算术平均值（arithmetic mean）,等精度试验值,适合：,试验值服从正态分布,（2）加权平均值(weighted mean),适合不同试验值的精度或可靠性不一致时,wi权重,加权和,（3）对数平均值（logarithmic mean）,说明： 若数据的分布具有对数特性，则宜
4、使用对数平均值 对数平均值算术平均值 如果1/2x1/x22 时，可用算术平均值代替,设两个数：x10，x2 0 ，则,（4）几何平均值（geometric mean）,当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称时，宜采用几何平均值。 几何平均值算术平均值,设有n个正试验值：x1，x2，xn，则,（5）调和平均值（harmonic mean）,常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值几何平均值算术平均值,设有n个正试验值：x1，x2，xn，则：,Excel在计算平均值中的应用,1.2 误差的基本概念,1.2.1 绝对误差（absolute error） （1）定义 绝对误差试验值真
5、值 或,（2）说明,真值未知，绝对误差也未知,可以估计出绝对误差的范围：,绝对误差限或绝对误差上界,或,绝对误差估算方法： 最小刻度的一半为绝对误差； 最小刻度为最大绝对误差； 根据仪表精度等级计算： 绝对误差=量程精度等级%,1.2.2 相对误差（relative error）,（1）定义：,或,（2）说明：,真值未知，常将x与试验值或平均值之比作为相对误差：,或,可以估计出相对误差的大小范围：,相对误差限或相对误差上界,相对误差常常表示为百分数（%）或千分数（）,1.2.3 算术平均误差 (average discrepancy),定义式：,可以反映一组试验数据的误差大小,1.2.4 标准
6、误差 (standard error),定义式：,表示当前样本对总体数据的估计；,表示样本均数与总体均数的相对误差； 样本个数n越大，标准误越小，表明所抽取的样本能够较好地代表总体样本,（1）定义：以不可预知的规律变化着的误差，绝对误差时正时负，时大时小 （2）产生的原因： 偶然因素 （3）特点：具有统计规律 小误差比大误差出现机会多 正、负误差出现的次数近似相等 当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零 可以通过增加试验次数减小随机误差 随机误差不可完全避免的,1.3.1 随机误差 （random error ）,1.3 试验数据误差的来源及分类,1.3.2 系统误差（systematic
7、error）,（1）定义： 一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用而形成的误差 （2）产生的原因：多方面 （3）特点： 系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的 它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的平均值而减小 只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进行校正，或设法消除。,1.3.3 过失误差 （mistake ）,（1）定义： 一种显然与事实不符的误差 （2）产生的原因： 实验人员粗心大意造成 （3）特点： 可以完全避免 没有一定的规律,1.4.1 精密度（precision）,（1）含义： 反映了随机误差大小的程度 在一定的试验条件下，多次试验值的
8、彼此符合程度 例：甲：11.45，11.46，11.45，11.44 乙：11.39，11.45，11.48，11.50 （2）说明： 可以通过增加试验次数而达到提高数据精密度的目的 试验数据的精密度是建立在数据用途基础之上的 试验过程足够精密，则只需少量几次试验就能满足要求,1.4 试验数据的精准度,（3）精密度判断,极差（range）,标准差（standard error，SD）,R，精密度,标准差，精密度,方差（variance）,标准差的平方： 样本方差（ s2 ） 总体方差（2 ） 方差，精密度,相对标准偏差（relative standard deviation，RSD）,也称变异
9、系数（coefficient of variation，简称CV） 定义式：,适用于两个或多个数据资料分散程度、变异程度或精密程度的比较,例1-5,1.4.2 正确度（correctness）,（1）含义：反映系统误差的大小 （2）正确度与精密度的关系：,精密度不好，但当试验次数相当多时，有时也会得到好的正确度,精密度高并不意味着正确度也高,（a）,（b）,（c）,1.4.3 准确度（accuracy）,（1）含义： 反映了系统误差和随机误差的综合 表示了试验结果与真值的一致程度 （2）三者关系 无系统误差的试验,精密度 ：ABC 正确度： ABC 准确度： ABC,有系统误差的试验,精密度
10、：A B C 准确度： A B C ，A B，C,Excel在计算误差中的应用,1.5.1 随机误差的检验,1.5 试验数据误差的统计假设检验,（1）目的：,对试验数据的随机误差或精密度进行检验。,（2）检验步骤：,计算统计量,查临界值,一般取0.01或0.05，表示有显著差异的概率,双侧（尾）检验(two-sided/tailed test) ：,检验,若,则判断两方差无显著差异，否则有显著差异,单侧（尾）检验(one-sided/tailed test) ： 左侧（尾）检验,则判断该方差与原总体方差无显著减小，否则有显著减小,右侧（尾）检验,则判断该方差与原总体方差无显著增大，否则有显著增
11、大,若,若,1.5.1.2 F检验(F-test),（1）目的： 对两组具有正态分布的试验数据之间的精密度进行比较 （2）检验步骤 计算统计量,设有两组试验数据：,都服从正态分布，样本方差分别为,和,和,，则,第一自由度为,第二自由度为,服从F分布，,查临界值 给定的显著水平,查F分布表,临界值,双侧（尾）检验(two-sided/tailed test) ：,检验,若,则判断两方差无显著差异，否则有显著差异,单侧（尾）检验(one-sided/tailed test) ： 左侧（尾）检验 （F1，即s12 s22）：,则判断该判断方差1比方差2无显著减小，否则有显著减小,右侧（尾）检验 （F
12、1 ，即s12 s22 ）,则判断该方差1比方差2无显著增大，否则有显著增大,若,若,（3）Excel在F检验中的应用,1.5.2 系统误差的检验,1.5.2.1 t检验法 （1）平均值与给定值比较 目的：检验服从正态分布数据的算术平均值是否与给定值有显著差异 检验步骤： 计算统计量：,给定值（可以是真值、期望值或标准值）,双侧检验 ：,若,则可判断该平均值与给定值无显著差异，否则就有显著差异,单侧检验,左侧检验,若, 且,则判断该平均值与给定值无显著减小，否则有显著减小,右侧检验,若, 且,则判断该平均值与给定值无显著增大，否则有显著增大,Excel在单样本t检验中的应用,（2）两个平均值的
13、比较 目的：判断两组服从正态分布数据的算术平均值有无显著差异 计算统计量： 两组数据的方差无显著差异时,s合并标准差：,两组数据的精密度或方差有显著差异时,服从t分布，其自由度为：, t检验,双侧检验 ：,若,则可判断两平均值无显著差异，否则就有显著差异,单侧检验,左侧检验：,若,且,则判断该平均值1较平均值2无显著减小，否则有显著减小,右侧检验：,若,且,则判断该平均值1较平均值2无显著增大，否则有显著增大,Excel在双样本t检验中的应用,（3）成对数据的比较 目的：试验数据是成对出现，判断两种方法、两种仪器或两分析人员的测定结果之间是否存在系统误差 计算统计量：,成对测定值之差的算术平均
14、值：,零或其他指定值, n对试验值之差值的样本标准差：,双侧检验 ：,若,则可判断两平均值无显著差异，否则就有显著差异,单侧检验,左侧检验：,若,且,则判断该平均值1较平均值2无显著减小，否则有显著减小,右侧检验：,若,且,则判断该平均值1较平均值2无显著增大，否则有显著增大,Excel在成对双样本t检验中的应用,1.5.2.2 秩和检验法（rank sum test）,（1）目的：两组数据或两种试验方法之间是否存在系统误差、两种方法是否等效等 ，不要求数据具有正态分布 （2）内容： 设有两组试验数据，相互独立 ，n1，n2分别是两组数据的个数 ，总假定 n1n2； 将这个试验数据混在一起，按
15、从小到大的次序排列 每个试验值在序列中的次序叫作该值的秩（rank） 将属于第1组数据的秩相加，其和记为R1 R1第1组数据的秩和（rank sum） 如果两组数据之间无显著差异，则R1就不应该太大或太小,查秩和临界值表： 根据显著性水平和n1，n2，可查得R1的上下限T2和T1 检验： 如果R1T2 或R1 T1，则认为两组数据有显著差异，若一组数据无系统误差，则另一组数据有系统误差 如果T1R1T2，则两组数据无显著差异，若一组数据无系统误差，则另一组数据也无系统误差,（3）例：,设甲、乙两组测定值为： 甲：8.6，10.0，9.9，8.8，9.1，9.1 乙：8.7，8.4，9.2，8.
16、9，7.4，8.0，7.3，8.1，6.8已知甲组数据无系统误差，试用秩和检验法检验乙组测定值是否有系统误差。（0.05）,解:（1）排序：,（2）求秩和R1 R1=7911.511.5141568 （3）查秩和临界值表 对于0.05， n1=6，n2=9 得 T1=33，T263， R1T2 故：两组数据有显著差异，乙组测定值有系统误差,（4）Excel在秩和检验中的应用,1.5.3 异常值的检验,可疑数据、离群值、异常值 一般处理原则为： 在试验过程中，若发现异常数据，应停止试验，分析原因，及时纠正错误 试验结束后，在分析试验结果时，如发现异常数据，则应先找出产生差异的原因，再对其进行取舍
17、 在分析试验结果时，如不清楚产生异常值的确切原因，则应对数据进行统计处理；若数据较少，则可重做一组数据 对于舍去的数据，在试验报告中应注明舍去的原因或所选用的统计方法,1.5.3.1 拉依达（ ）检验法,内容： 可疑数据xp ，若,则应将该试验值剔除。,说明：,计算平均值及标准偏差s 时，应包括可疑值在内,3s相当于显著水平0.01，2s相当于显著水平0.05,可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据 首先检验偏差最大的数 剔除一个数后，如果还要检验下一个数 ，应重新计算平均值及标准偏差 方法简单，无须查表 该检验法适用于试验次数较多或要求不高时 3s为界时，要求n10 2s为界时，要求n5,
18、有一组分析测试数据：0.128，0.129，0.131，0.133，0.135，0.138，0.141，0.142，0.145，0.148，0.167，问其中偏差较大的0.167这一数据是否应被舍去? （0.01）,解：（1）计算,例：,（2）计算偏差,（3）比较,3s30.011160.03350.027,故按拉依达准则，当0.01时，0.167这一可疑值不应舍去,（2）格拉布斯（Grubbs）检验法,内容： 可疑数据xp ，若,则应将该值剔除。,Grubbs检验临界值,格拉布斯（Grubbs）检验临界值G( ,n)表,说明：,计算平均值及标准偏差s 时，应包括可疑值在内 可疑数据应逐一检验
19、，不能同时检验多个数据 首先检验偏差最大的数 剔除一个数后，如果还要检验下一个数 ，应重新计算平均值及标准偏差 能适用于试验数据较少时 格拉布斯准则也可以用于检验两个数据偏小，或两个数据偏大的情况 例：例1-14,用容量法测定某样品中的锰，8次平行测定数据为：10.29，10.33，10.38，10.40，10.43，10.46，10.52，10.82（%），试问是否有数据应被剔除？（=0.05） 解： （1）检验10.82,由于10.82的偏差最大，故首先检验该数。,查得临界值,故10.82这个测定值应该被剔除。,（2）检验10.52 剔除10.82之后，重新计算平均值及标准偏差s ，此时1
20、0.52偏差最大，故检验之。,查得临界值,故10.52不应该被剔除。由于剩余数据的偏差都比10.52小，所以都应保留。,（3）狄克逊（Dixon）检验法,单侧情形 将n个试验数据按从小到大的顺序排列： x1x2xn-1xn 如果有异常值存在，必然出现在两端，即x1 或xn 计算出统计量D或D 查单侧临界值,检验,双侧情形 计算D和 D 查双侧临界值,检验,说明,适用于试验数据较少时的检验，计算量较小 单侧检验时，可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据 剔除一个数后，如果还要检验下一个数 ，应重新排序 例：例1-15，1-16,例：设有15个误差测定数据按从小到大的顺序排列为： 1.40，0.
21、44，0.30，0.24，0.22，0.13，0.05，0.06，0.10，0.18，0.20，0.39，0.48，0.63，1.01。试分析其中有无数据应该被剔除？（=0.05） 解：本例可应用狄克逊双侧情形检验 对于1.01和1.40，计算,临界值,，且,故判断最小值-1.40应该被剔除,剔除-1.04之后，对剩余的14个值（0.44，0.30，0.24，0.22，0.13，0.05，0.06，0.10，0.18，0.20，0.39，0.48，0.63，1.01） （n=14）进行双侧检验：,临界值,由于,所以不能继续检出异常值，只检出1.40为异常值。,，,1.6.1 有效数字（sign
22、ificance figure）,能够代表一定物理量的数字 有效数字的位数可反映试验或试验仪表的精度 数据中小数点的位置不影响有效数字的位数 例如：50，0.050m，5.0104m 第一个非0数前的数字都不是有效数字，而第一个非0数后的数字都是有效数字 例如： 29和29.00 第一位数字等于或大于8，则可以多计一位 例如：9.99,1.6 有效数字和试验结果的表示,1.6.2 有效数字的运算,（1）加、减运算： 与其中小数点后位数最少的相同 （2）乘、除运算 以各乘、除数中有效数字位数最少的为准 （3）乘方、开方运算： 与其底数的相同： 例如：2.42=5.8 （4）对数运算： 与其真数的
23、相同 例如ln6.841.92；lg0.000044,（5）在4个以上数的平均值计算中，平均值的有效数字可增加一位 （6）所有取自手册上的数据，其有效数字位数按实际需要取，但原始数据如有限制，则应服从原始数据。 （7）一些常数的有效数字的位数可以认为是无限制的 例如，圆周率、重力加速度g、1/3等 （8）一般在工程计算中，取23位有效数字,1.6.3 有效数字的修约规则,4：舍去 5，且其后跟有非零数字 ，进1位 例如：3.14159 3.142 5，其右无数字或皆为0时，“尾留双”： 若所保留的末位数字为奇数则进1 若所保留的末位数字为偶数则舍弃 例如：3.1415 3.142 1.3665
24、 1.366,1.7 误差的传递,误差的传递：根据直接测量值的误差来计算间接测量值的误差 1.7.1 误差传递基本公式 间接测量值y与直接测量值xi之间函数关系 ：,全微分,函数或间接测量值的绝对误差为：,相对误差为：,误差传递系数,直接测量值的绝对误差；,间接测量值的绝对误差或称函数的绝对误差。,函数标准差传递公式：,1.7.2 常用函数的误差传递公式,表1-5,1.7.3 误差传递公式的应用,（1）根据各分误差的大小，来判断间接测量或函数误差的主要来源： 例1-17 （2）选择合适的测量仪器或方法： 例1-18,秩和临界值表,统计量D计算公式,单侧狄克逊检验临界值表,双侧狄克逊检验临界值表,