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1、1 第一型曲线积分,本节将研究定义在平面或空间曲线段上的第一型曲线积分.此类积分的典型物理背景是求非均匀分布的曲线状物体的质量.,二、第一型曲线积分的计算,一、第一型曲线积分的定义,返回,一 第一型曲线积分的定义,的质量.,段时物体的质量的计算问题.,时, 上述和式的极限就应是该物体的质量.,由上面看到, 求物质曲线段的质量, 与求直线段的质,量一样, 也是通过“分割、近似求和、取极限”来得,到的. 下面给出这类积分的定义.,的第一型曲线积分, 并且记作,量可由第一型曲线积分 (1) 或 (2) 求得.,都存在, 则,也存在, 且,则,且,使得,6. 第一型曲线积分的几何意义,上定义的连续非负
2、函数. 由第一型曲线的定义, 易见,的部分的面积就是,二 第一型曲线积分的计算,定理20.1 设有光滑曲线,的连续性与积分中值定理, 有,所以,这里,则有,令,现在证明,都有,上一致连续, 即对任给的,使当 时,从而,所以,因此当在(4)式两边取极限后, 即得所要证的(3)式.,上有连续的导函数时, (3)式成为,再由定积分定义,上有连续导函数时, (3)式成为,试计算第一型曲线积分,解,试计算第一型曲线积分,解,其计算公式为:,被平面 所截得的圆周.,解 由对称性知,所以,解 由对称性知,其中,而内摆线的参数方程为,因此,包围部分的面积 A.,解 图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分,在第一卦限部分正是以曲线 L 为准线母线平行于 z,积分的几何意义可知它的面积为,L 的参数方程为:,因此,曲线状物体对于 x , y 轴的转动惯量分别为,注 由第一型曲线积分的,对于 y 轴的转动惯量.,解,和,复习思考题,使得,其中 s 是曲线 L 的弧长.,其中,3. 证明以下第一型曲面的轮换对称性:,