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1、140920解析几何专题与讲义一、选择填空题1、 “”是“直线和直线平行”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件2、已知双曲线的渐近线为，焦点坐标为（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）AB CD3、直线xy10被圆(x1)2y23截得的弦长等于（ ）A. B. 2 C.2 D. 44、圆心在曲线 上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（）A BC D 5.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是（ ）ABC D6设分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于两点，且成等差数列，则的长为（ ）A B1 C D7、已知的椭圆的两个焦点，若椭圆上
2、一点满足，则椭圆的离心率 8、设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一点， ,原点到直线的距离为，则椭圆的离心率为（ ）A、 B、 C、 D、9.点A是抛物线C1：y2=2px(p0)与双曲线C2：(a0，b0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（ ）A. B. C. D.10、过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为E，延长FE交曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为（ ）ABC D解析几何解答题的基本步骤解析几何在高考中经常是两小题一大题：两小题经常是常规求值类型，一大题中的第一小题也经常是常规求值问题，故常用方程思想先设后求即可。解决第二小题时常
3、用韦达定理法结合以上各种题型进行处理，常按照以下七步骤：一、设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为y=kx+b与x=my+n的区别）二、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）三、则联立方程组,消元得到关键方程；（提醒:一定要考虑二次项系数与0）四、则韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五、根据条件转化；常有以下类型：“以弦AB为直径的圆过点0” （提醒：需讨论K是否存在） “点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题” 0；“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）；“共线
4、问题”（如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）；“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；六、则化简与计算；七、则细节问题不忽略； 判别式是否已经考虑； 抛物线问题中二次项系数是否会出现0.二、解答题：考点一、曲线（轨迹）方程的求法常见的求轨迹方程的方法：（1）单动点的轨迹问题直接法（五步曲）+ 待定系数法（定义法）；（2）双动点的轨迹问题代入法；（3）多动点的轨迹问题参数法 + 交轨法。例1、设上的两点，满足，椭圆的离心率短轴长为2，0为坐标原点. （1）
5、求椭圆的方程；（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（3）试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 解析：本例（1）通过，及之间的关系可得椭圆的方程；（2）从方程入手，通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理；（3）要注意特殊与一般的关系，分直线的斜率存在与不存在讨论。 答案：（1）椭圆的方程为 （2）设AB的方程为由由已知 2 （3）当A为顶点时，B必为顶点.SAOB=1 当A，B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+b所以三角形的面积为定值. 点评：本题考查了直线与椭圆的基本概念和性质，二次方程的根与系数的关系
6、、解析几何的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。练习1、如图，ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且ODAB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(II)过点B的直线与曲线C交于M、N.两点，与OD所在直线交于E点，证明：为定值.【解析】（）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴， O为原点，建立平面直角坐标系，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变且点Q在曲线C上,|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2|AB|=4 3分曲线C是为以原点为中心，
7、A、B为焦点的椭圆设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,a=,c=2,b=1 4分曲线C的方程为+y2=15分【法1】（）：设点的坐标分别为，易知点的坐标为且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交 ， ， 7分 将M点坐标代入到椭圆方程中得：，去分母整理，得 9分同理，由可得： 10分 ，是方程的两个根11分 12分【法2】（）：设点的坐标分别为，易知点的坐标为且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交显然直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程是 6分将直线 的方程代入到椭圆 的方程中，消去 并整理得 ， 8分 又 ， 则，同理，由，10分 12考点二
8、、圆锥曲线的几何性质圆锥曲线中的基本元素：长短轴，焦距，渐近线，离心率等，在自身多处综合就会演变成中档题，要求熟练掌握其关系，灵活运用图形帮助分析。圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.例2、如图，F为双曲线C：的右焦点 P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点 已知四边形为平行四边形， （）写出双曲线C的离心率与的关系式；（）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程 分析: 圆锥曲线的几何性质结合其它图形的考查是重点。注意灵活应用第二定义。解：四边形是
9、，作双曲线的右准线交PM于H，则，又， （）当时，双曲线为四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，又，由得：，解得，则，所以为所求 点评：本题灵活的运用到圆锥曲线的第二定义解题。 考点三、 有关圆锥曲线的定义的问题利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.例3、设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线 （）求椭圆的方程；（）设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点， 若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明：点在以为直径的圆内 2x00，0，则MBP为锐角，从而MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内 解法2：由（）得A（2，0），B（2，0）
10、 设M（x1，y1），N（x2，y2），则2x12，2x22，又MN的中点Q的坐标为（，），依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差(2）2（）2(x1x2)2(y1y2)2 （x12) (x22)y1y1 又直线AP的方程为y，直线BP的方程为y，而点两直线AP与BP的交点P在准线x4上，即y2 又点M在椭圆上，则，即 于是将、代入，化简后可得 从而，点B在以MN为直径的圆内 考点四、 直线与圆锥曲线位置关系问题（1）求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法。 （2）注意韦达定理的应用。 弦长公式：斜率为k的直线被圆锥曲线
11、截得弦AB，若A、B两点的坐标分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)则 （3）注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用。（4）有关中点弦问题 已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用韦达定理。 有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“差分法”可简化运算。例4、已知双曲线的两个焦点为 在曲线C上. （）求双曲线C的方程； （）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若OEF的面积为求直线l的方程解：()依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0a24），将点（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a22，故
12、所求双曲线方程为()解：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得(1k2)x24kx6=0.直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,k()(1,).设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由式得x1+x2=于是|EF|=而原点O到直线l的距离d,SOEF=若SOEF，即解得k=,满足.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和考点五、圆锥曲线综合应用平面解析几何与平面向量都具有数与形结合的特征，所以这两者多有结合，在它们的知识点交汇处命题，也是高考命题的一大亮点.直线与圆锥曲线的位置关系问题是常考常新、经久不衰的一个考查重点，另外，圆锥曲线中参数的取值范围问题、最
13、值问题、定值问题、对称问题等综合性问题也是高考的常考题型.解析几何题一般来说计算量较大且有一定的技巧性，需要“精打细算”，近几年解析几何问题的难度有所降低，但仍是一个综合性较强的问题，对考生的意志品质和数学机智都是一种考验，是高考试题中区分度较大的一个题目，有可能作为今年高考的一个压轴题出现.圆锥曲线的有关最值问题：圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决。 若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。圆锥曲线的
14、有关范围问题：设法得到不等式，通过解不等式求出范围，即：“求范围，找不等式”。或者表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出范围；圆锥曲线中的存在性问题：存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立.例5、已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过()求椭圆C的方程，()直线交椭圆C与A、B两点，求证：【解析】设椭圆C 的方程为由椭圆C过点得：解得椭圆C的方程为（）设，由消去y整理得，由韦达定理得，则由两边平方整理可得只需证明， 而故恒成立三、课后巩固练习： 1已知是直线上的动点，是圆的
15、切线，是切点， 是圆心，那么四边形面积的最小值是( ). AB C D2设F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则=（ ）A9B6C4D33已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为，P到直线的距离为，则的最小值为（ ）ABCD4、在直角坐标平面中，ABC的两个顶点为 A（0，1），B（0, 1）平面内两点G、M同时满足 , = = （1）求顶点C的轨迹E的方程（2）设P、Q、R、N都在曲线E上 ，定点F的坐标为（, 0） ，已知 , 且= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值. 解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表达点特征；（2）要把握好直线与椭圆的
16、位置关系，弦长公式，灵活的运算技巧是解决好本题的关键。 答案：（1）设C ( x , y )， ,由知,G为 ABC的重心 ， G(,) 由知M是ABC的外心，M在x轴上 由知M（，0），由 得 化简整理得：（x0）。 （2）F（，0 ）恰为的右焦点 设PQ的斜率为k0且k，则直线PQ的方程为y = k ( x )由设P(x1 , y1) ，Q (x2 ,y2 ) 则x1 + x2 = , x1x2 = 则| PQ | = = = RNPQ,把k换成得 | RN | = S =| PQ | | RN | = =) 2 ， 16 S 2 ， (当 k = 1时取等号)又当k不存在或k = 0时S
17、 = 2综上可得 S 2 Smax = 2 ， Smin = 点评：本题考查了向量的有关知识，椭圆与直线的基本关系，二次方程的根与系数的关系及不等式，转化的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。5、已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4。 （I）求椭圆的标准方程；（II）过椭圆的右顶点作直线交抛物线于A、B两点，（1）求证：OAOB；（2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明|OM|为定值。【解析】（）由得，故所以，所求椭圆的标准方程为4分（2）设、，直线的方程为，代入，得于是从而，代入，整理得原点到直线的距离为定值（13分）6、已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.（）求椭圆的方程；（）已知动直线与椭圆相交于、两点.若线段中点的横坐标为，求斜率的值；已知点，求证：为定值.【解析】（）因为满足， 2分。解得，则椭圆方程为4分（）（1）将代入中得6分，7分因为中点的横坐标为，所以，解得9分（2）由（1）知，所以 11分12分14分