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1、 导数的综合应用 题号参数范围及恒成立问题1、5、7、8、9不等式问题2、4、10实际应用题3、6一、选择题1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( )(A)m-22(B)m-22 (C)m1,则不等式exf(x)ex+1的解集为( )(A)x|x0(B)x|x0 (C)x|x1(D)x|x-1或0x13.如图所示,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S(t)的图象大致为( ) 4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f(x)的图象如
2、图所示.若两正数a,b满足f(a+2b)0),为使耗电量最小,则速度应定为 .7.关于x的方程x3-3x2-a=0有三个不同的实数解,则实数a的取值范围是 .8.(2013天津模拟)函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值,则a的取值范围是 .三、解答题9.(2013银川模拟)设函数f(x)=aln x-bx2(x0),(1)若函数f(x)在x=1处与直线y=-12相切,求实数a,b的值; 求函数f(x)在1e,e上的最大值.(2)当b=0时,若不等式f(x)m+x对所有的a0,32,x(1,e2都成立,求实数m的取值范围. 10.设a为实数,函数f(x)=ex-2
3、x+2a,xR.(1)求f(x)的单调区间与极值;(2)求证：当aln 2-1且x0时,exx2-2ax+1. 答案；1.B. 2.解析：构造 g(x)=exf(x)-ex, g(x)=exf(x)+exf(x)-ex=exf(x)+f(x)-exex-ex=0,g(x)=exf(x)-ex为R上的增函数.又 g(0)=e0f(0)-e0=1,所以原不等式转化为g(x)g(0),解得x0.故选A.3.解析:由导数的定义知,S(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S(t)
4、也应逐渐增大;当露出的是区域时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S(t)0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A.4.解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b)f(4),又由f(x)0,得f(x)为增函数,所以a+2b4,而a,b为正数,所以a+2b4所表示的区域为如图所示的直角三角形AOB(不包括边界),其中A(0,4),B(2,0),a+2b+2可
5、看成是直线PM的斜率,其中P(-2,-2),M(b,a)在直角三角形AOB的内部(不包括边界),所以kPBkPMkPA,而kPA=4-(-2)0-(-2)=3,kPB=0-(-2)2-(-2)=12,所以12kPM2或a0,h(a)在a0,32上单调递增,h(a)min=h(0)=-x,m-x对所有的x(1,e2都成立.1xe2,-e2-xln 2-1时,g(x)的最小值为g(ln 2)=2(1-ln 2+a)0.于是对任意xR,都有g(x)0,所以g(x)在R内单调递增.于是当aln 2-1时,对任意x(0,+),都有g(x)g(0).而g(0)=0,从而对任意x(0,+),g(x)0,即ex-x2+2ax-10,故exx2-2ax+1.