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1、 抛物线(学案)B一、 知识梳理：1. 抛物线的定义 定义的理解：定点在直线上,轨迹是： .2. 抛物线的标准方程及性质(见下表)图形顶点对称轴焦点准线离心率焦半径焦点弦公式x轴x轴y轴y轴3、焦半径公式（1）y2=2px (p0) ， M(x0, y0) 为抛物线上任意一点。F为抛物线的焦点， |MF|=P2+x0 （2）、n=p1+cos , m=p1-cos 1m+ 1n = 2p 4、若抛物线y2=2px （p0）过焦点的弦AB，设A（x1，y1）B（x2，y2），则有下列结论：（1）、|AB|=p+x1+x2（2）、|AB|=2psin2( y2=2px (p0), |AB|=2pc
2、os2( x2=2py (p0)（3）、|AB|=2pcos2( x2=2py (p0)(通径是最短的焦点弦)（4）、x1x2=p24 , y1y2=-p2（5）、过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径：|AB|=2p（6）、焦点弦端点与顶点构成的三角形面积： SAOB=p22sin=12|AB|ON|=12|OF|A1 B1|=12|OF|yA-yB|（7）、以焦点弦为直径的圆与准线相切（8）、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论延伸：切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论发散：当弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴（9）、过抛
3、物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点。结论延伸：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径（10）、如图，AB是过抛物线（p0）焦点F的弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，过点A，B的切线相交于P点，PQ与抛物线交于点M（1）与是否有特殊的位置关系？结论：PAPB（2）与是否有特殊的位置关系？结论：PFAB（3）点M与点P、Q的关系，结论：M平分PQ（4）直线PA与A1AB，直线PB与B1BA的关系，结论：PA平分A1AB，PB平分B1BA（5）与的大小比较，结论：（6）的最值问题：结论： 课下思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时，有无与上述结论类似结果则
4、，PA平分A1AB，同理PB平分B1BA点M平分PQ【练习】（2006年重庆高考（文）22）对每个正整数n，是抛物线上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点，（1）试证：（n1）（2）取，并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点，求证：（n1）【作业】（1）、证明上述问题中的结论发散（2）、已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且（0），过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，（1）证明：的值；（2）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值（3）、已知抛物线C的方程为，焦点为F，准线为l，直线m交抛物线于两点A，B；1/ 过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D
5、，求证：；2/ 若直线m过焦点F，分别过点A，B的两条切线相交于点M，求证：AMBM，且点M在直线l上5、直线与抛物线的关系（1）、KAByM=p（2）、直线与抛物线的公共点的情况6、二次函数y=ax2+bx+c(a0) 按向量m=(b2a,-4ac-b24a) 平移得到y=ax2，其中平移后坐标系下的焦点坐标为（0，14a），平移前的焦点坐标为（(-b2a,1-4ac+b24a）7、抛物线的焦点的位置的判断：看方程中的一次项，一次项是哪个变量，焦点就在哪个变量对应的坐标轴上，而且正系数在正半轴，负系数在负半轴；8、A、B两点都在抛物线上，且OAOB，则x1x2=4p , y1y2=-4p2二
6、、题型探究探究一：抛物线的标准方程例1：根据下列条件求出抛物线的标准方程（1）、焦点到准线的距离是2；（2）、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是X轴，抛物线上的点A（-3，y）到焦点的距离是5，探究二：抛物线的几何性质例2：过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和为5，则这样的直线（）（A） 有且只有一条（B）有且仅有两条（C）有无数条 （D）不存有例3：已知点P是抛物线y2=2x上任意一点，F为抛物线的焦点，点A（3，2），则|PA|+|PF|的最小值为 ，此时P的坐标是 探究三：直线与抛物线的关系例4：已知A，B是抛物线上两点，O为原点，且OAOB，求证：
7、（1）A，B两点的横坐标之积和纵坐标之积都是常数；（2）、直线AB过定点。三、方法提升：1、抛物线的定义是对抛物线考察的重点，往往从几何代数两个方面考察：2、关于直线与抛物线的交点问题，相对于椭圆与双曲线来说，由于其方程的特点，直接设交点的坐标解决问题简便易行；直线方程也可以根据方程的特点，灵活设为y=kx+b或者x=my+a四、反思感悟 五、课时作业1过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（A）10 （B）8 （C）6 （D）42已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）63过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的长
8、分别是、，则=（ ） （A） （B） （C） （D）4顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（）(A) x28y (B) x24y (C) x22y (D) 5抛物线y28x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A) （2，4） (B) （2，4） (C) （1，） (D) （1，）6过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是 _ 7抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为8抛物线y26x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 9以双曲线的右准线为准线，以坐标原点O为顶点的抛物线截双曲
9、线的左准线得弦AB，求OAB的面积 10正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长11正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形外接圆的方程12已知的三个顶点是圆与抛物线的交点，且的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程 13已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，（1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求点在线段上的射影的轨迹方程 14已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，原点在直线上的射影为，求抛物线的方程 （答案：）15已知抛物线与直线相交于、两点，以弦长为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程 （答案：）16已知直线与抛物线相交于、两点，若，（为坐标原点）且，求抛物线的方程 （答案：）17顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程（ 答案：或）