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1、 数 列 求 和 学习目标： 1熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法 1.公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和等差数列的前n项和公式：Snna1d.等比数列的前n项和公式：Sn2. 分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减如若数列an的通项公式为an2n2n13. 倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的4.并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结
2、合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)5 050.5裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项能够相互抵消，从而求得其和如下形式(1)； (2)； (3).6错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项 和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的1求Sna2a23a3nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得你认为该说法准确吗？为什么
3、？提示：不准确当a0，且a1时，可用错位相减法求解2如果数列an是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么SkmmSk.你认为该说法准确吗？提示：准确 1数列an的通项公式是an，前n项和为9，则n( )A9 B99 C10 D100解析：选B an.2若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为( )A2nn21 B2n1n21C2n1n22 D2nn2解析：选C 3若数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10( )A15 B12 C12 D15解析：选A 例1已知数列an的前n项和为Sn且ann2n，求Sn Sn(n1)2n12.例2(2013山东高
4、考)(12分)设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足1，nN*，求bn的前n项和Tn. 解 (1)设等差数列an的首项为a1，公差为d.由S44S2，a2n2an1，得 2分解得a11，d2 4分因此an2n1，nN*. 5分(2)由已知1，nN*， 当n1时，； 6分当n2时，1，7分所以，nN*. 8分由(1)知an2n1，nN*，所以bn，nN*. 9分又Tn，Tn，10分两式相减，得Tn， 11分 所以Tn3. 12分例3在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San.(1)求Sn的表达式；(2)设bn，
5、求bn的前n项和Tn.思维启迪第(1)问利用anSnSn1 (n2)后，再同除Sn1Sn转化为的等差数列即可求Sn.第(2)问求出bn的通项公式，用裂项相消法求和.解(1)San，anSnSn1 (n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由题意得Sn1Sn0，式两边同除以Sn1Sn，得2，数列是首项为1，公差为2的等差数列.12(n1)2n1，Sn.(2)bn，Tnb1b2bn(1)()().思维升华利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.小结：方法与技巧非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.失误与防范1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.2.在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号.3.在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.