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1、二次函数 评卷人 得 分 一解答题（共50小题）1如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积2已知：如图，直线y=kx+2与x轴正半轴相交于A（t，0），与y轴相交于点
2、B，抛物线y=x2+bx+c经过点A和点B，点C在第三象象限内，且ACAB，tanACB=（1）当t=1时，求抛物线的表达式；（2）试用含t的代数式表示点C的坐标；（3）如果点C在这条抛物线的对称轴上，求t的值3如图，RtOAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，OAB=90，OA=4，AB=2，把RtOAB绕点O逆时针旋转90，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有
3、，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由4如图，已知抛物线经过A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足是M，是否存在点p，使得以P、M、A为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由5如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax23
4、ax4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（A点在B点左侧），顶点为D（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；（2）将ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A，试求A的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使BPC=BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由6已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性AMB恒为等腰三角形，我们规定：当AMB为直角三角形时，就称AMB为该抛物线的“完美三角形”（1）如图2，求出抛物线y=x2的“完美三角形”斜边AB的长；抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是
5、；（2）若抛物线y=ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；（3）若抛物线y=mx2+2x+n5的“完美三角形”斜边长为n，且y=mx2+2x+n5的最大值为1，求m，n的值7如图，已知抛物线y=k（x+2）（x4）（k为常数，且k0）与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，经过点B的直线y=x+b与抛物线的另一个交点为D（1）若点D的横坐标为x=4，求这个一次函数与抛物线的解析式；（2）在（1）问的条件下，若直线m平行于该抛物线的对称轴，并且可以在线段AB间左右移动，它与直线BD和抛物线分别交于点E、F，求当m移动到什么位置时，EF的值最大，最大值是多少？（3）问原抛物线在第一象限
6、是否存在点P，使得APBABC？若存在，请直接写出这时k的值；若不存在，请说明理由8如图，抛物线y=ax2+bx3a经过A（1，0）、C（0，3）两点，与x轴交于另一点B（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D的坐标（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使PCB=CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由9如图，A，B两点在x轴的正半轴上运动，四边形ABCD是矩形，C，D两点在抛物线y=x2+8x上（1）若OA=1，求矩形ABCD的周长；（2）设OA=m（0m4），求出四边形ABCD的周长L关于m的函
7、数表达式；（3）在（2）的条件下求L的最大值10如图，已知抛物线经过原点O和点A，点B（2，3）是该抛物线对称轴上一点，过点B作BCx轴交抛物线于点C，连接BO、CA，若四边形OACB是平行四边形（1）直接写出A、C两点的坐标；求这条抛物线的函数关系式；（2）设该抛物线的顶点为M，试在线段AC上找出这样的点P，使得PBM是以BM为底边的等腰三角形，并求出此时点P的坐标；（3）经过点M的直线把OACB的面积分为1：3两部分，求这条直线的函数关系式11如图，抛物线y=x4与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PDAC，交BC于点D，连接CP（1）直接写出A、B、C的
8、坐标；（2）求抛物线y=x4的对称轴和顶点坐标；（3）求PCD面积的最大值，并判断当PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形12如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4经过A（3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，D（44，0）动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）在第一象限的抛物线上取一点G，使得SGCB=SGCA，再在抛物线上找点E（不与点A、B、C重合），使得GBE=45，求
9、E点的坐标13如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若将此抛物线平移，使其顶点为点D，需如何平移？写出平移后抛物线的解析式；（3）过点P（m，0）作x轴的垂线（1m2），分别交平移前后的抛物线于点E，F，交直线OC于点G，求证：PF=EG14如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（3，0），B（0，3），C（1，0）（1）求此抛物线的解析式（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于
10、点E，作PDAB于点D动点P在什么位置时，PDE的周长最大，求出此时P点的坐标15如图，在直角坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx2的图象经过C点（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l当l移动到何处时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由16如图所示，二次函数y=2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C（1）求m的值及点B的坐标；（2）求ABC的面积；
11、（3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使SABD=SABC，请求出D点的坐标17在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2（m+n）x+n（m0）的图象与y轴正半轴交于A点（1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若ABO=45，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当3p0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围18如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、C（1，0），与y轴交于
12、点B（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB于点E，作PDAB于点D过点P在什么位置时，PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；连接PA，以PA为边作正方形APMN，当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标19如图，抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（1，0），C（0，2）（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点
13、E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标20如图1，已知抛物线y=x2+x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DHx轴于点H，过点A作AEAC交DH的延长线于点E（1）求线段DE的长度；（2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当CPF的周长最小时，MPF面积的最大值是多少；（3）在（2）问的条件下，将得到的CFP沿直线AE平移得到CFP，将CF
14、P沿CP翻折得到CPF，记在平移过称中，直线FP与x轴交于点K，则是否存在这样的点K，使得FFK为等腰三角形？若存在求出OK的值；若不存在，说明理由21在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（m1）x+4m的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），已知点E（0，1）（1）求m的值及点A的坐标；（2）如图，将AEO沿x轴向右平移得到AEO，连结AB、BE当点E落在该二次函数的图象上时，求AA的长；设AA=n，其中0n2，试用含n的式子表示AB2+BE2，并求出使AB2+BE2取得最小值时点E的坐标；当AB+BE取得最小值时，求点E的坐标22已知二次函数y=ax2+4amx（m0
15、）的对称轴与x轴交于点B，与直线l：y=交于点C，点A是该二次函数图象与直线l在第二象限的交点，点D是抛物线的顶点，已知AC：CO=1：2，DOB=45，ACD的面积为2（1）求抛物线的函数关系式；（2）若点P为抛物线对称轴上的一个点，且POC=45，求点P坐标23如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx+c（a0）相交于点A（1，0）和点D（4，5），并与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线与x轴交于另一点B（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点E是直线下方抛物线上的一个动点，求出ACE面积的最大值；（3）如图2，若点M是直线x=1的一点，点N在抛物
16、线上，以点A，D，M，N为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点M的坐标；若不能，请说明理由24如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧，A为（1，0），抛物线与y轴交于点C（0，4），对称轴为x=1，连接BC（1）计算a、b、c的值；（2）若点G为直线BC上方的抛物线上的一动点，试计算以A、B、G、C为顶点的四边形的面积的最大值；（3）若点H为对称轴上的一个动点，点P为抛物线上的一个动点，当以H、P、B、C四点为顶点的四边形为平行四边形时，求出点H的坐标25如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（1
17、，0），点C（0，2）（1）求抛物线的函数解析式；（2）若D是抛物线位于第一象限上的动点，求BCD面积的最大值及此时点D的坐标26如图，已知抛物线y=x2+bx+4与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）（1）求抛物线的解析式及其对称轴（2）连接AC、BC，试判断AOC与COB是否相似？并说明理由（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MNy轴，求MN的最大值；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由27如图，抛物线y=x2+bx+c与直线AB交于A（4，4），B（0，4）
18、两点，直线AC：y=x6交y轴于点C点E是直线AB上的动点，过点E作EFx轴交AC于点F，交抛物线于点G（1）求抛物线y=x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）在（2）的前提下，y轴上是否存在一点H，使AHF=AEF？如果存在，求出此时点H的坐标，如果不存在，请说明理由28如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（1，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为该抛物线上一个动点；动点P作y轴的垂线交直线AC于点D，点P的坐标是多少时，以O为圆心，OD的长为半径的O与AC相切？是否存在点P，使ACP为
19、直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由29抛物线y1=ax2+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P在抛物线上，过P（1，3），B（4，0）两点作直线y2=kx+b（1）求a、c的值；（2）根据图象直接写出y1y2时，x的取值范围；（3）在抛物线上是否存在点M，使得SABP=5SABM，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由30如图，抛物线y=ax2+x+c过A（1，0），B（0，2）两点（1）求抛物线的解析式（2）M为抛物线对称轴与x轴的交点，N为x轴上对称轴上任意一点，若tanANM=，求M到AN的距离（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，
20、使PAB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由31已知，如图，二次函数y=ax2+bx6的图象分别与x轴与y轴相交于点A（6，0）、点B，点C（6，6）也在函数图象上（1）求该二次函数的解析式（2）动点P从点B出发，沿着y轴的正方向运动，是否存在某一位置使得OAP+OAC=45？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）点Q为直线AC下方抛物线上一点，当以点A、B、C、Q为顶点的四边形的面积最大时，求出点Q的坐标32如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx5与x轴交于A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的函数表达式；（2）如
21、图2，CEx轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标；（3）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标33如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系（1）求点E坐标及经过O，D，C三点的抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒
22、2 个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由34如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且A（6，0），D（2，8）（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A、C重合，求过点P作x轴的垂线交于AC于点E，求线段
23、PE的最大值及P点坐标；（3）在抛物线的对称轴上足否存在点M，使得ACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由35求二次函数y=2x24x+1的顶点坐标，并在下列坐标系内画出函数的大致图象说出此函数的三条性质36抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上求一点P，使SPAB=SABC，写出P点的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QBC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由37如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，直线y=x1与抛物
24、线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2（1）求二次函数的解析式；（2）P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值38已知二次函数y=x2+bx3（b是常数）（1）若抛物线经过点A（1，0），求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P（m，n）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P，当点P落在该抛物线上时，求m的值；（3）在1x2范围内，二次函数有最小值是6，求b的值39在平面直角坐标系xOy中，点C是二次函数y=mx2+4mx+4m+1的图象的顶点，一次函数y=x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B（1）请你求出点A、B、C的坐标；（2）若二次函数
25、y=mx2+4mx+4m+1与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围40如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于A（1，0），B（5，0）两点，点P为抛物线的顶点（1）求该抛物线的解析式；（2）求PAB的正弦值；（3）如图2，四边形MCDN为矩形，顶点C、D在x轴上，M、N在x轴上方的抛物线上，若MC=8，求线段MN的长度41如图，经过原点的抛物线y=x2+2mx（m0）与x轴的另一个交点为A，过点P（1，m）作直线PAx轴于点M，交抛物线于点B记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（点B、C不重合），连接CB、CP（I）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；（II）当m1时，连接CA，若CA
26、CP，求m的值；（III）过点P作PEPC，且PE=PC，当点E落在坐标轴上时，求m的值，并确定相对应的点E的坐标42如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（3，0），点C为抛物线与y轴的交点（1）求抛物线的解析式；（2）若点E为直线BC上方抛物线上的一点，请求出BCE面积的最大值（3）在（2）条件下，是否存在这样的点D（0，m），使得BDE为等腰三角形？如果有，请直接写出点D的坐标；如果没有，请说明理由43在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c（b，c都是常数）的图象经过点（1，0）和（0，2）（1）当2x2时，求y的取值范围（2）已知点P（m，n）在该函数的图
27、象上，且m+n=1，求点P的坐标44如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c过原点O和B（4，4），且对称轴为直线x=（1）求抛物线的函数表达式；（2）D是直线OB下方抛物线上的一动点，连接OD，BD，在点D运动过程中，当OBD面积最大时，求点D的坐标和OBD的最大面积；（3）如图2，若点P为平面内一点，点N在抛物线上，且NBO=ABO，则在（2）的条件下，直接写出满足PODNOB的点P坐标45如图，抛物线y=ax2x2（a0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）（1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若
28、点M是线段BC下方的抛物线上一点，求MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标46在平面直角坐标系xOy中，已知点B（8，0）和点C（9，3）抛物线y=ax28ax+c（a，c是常数，a0）经过点B、C，且与x轴的另一交点为A对称轴上有一点M，满足MA=MC（1）求这条抛物线的表达式；（2）求四边形ABCM的面积；（3）如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，且ADBC，求点D的坐标47如图，直线y=kx3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，经过A，B两点的抛物线y轴交于点B，经过A，B两点的抛物线y=（x1）2+m与x轴负半轴交于点C（1）求m和k的值；（2）过点B作BDx轴交
29、该抛物线于点D，连接CD交y轴于点E，连结CB求BCD+OBC的度数；在x轴上有一动点F，直线BF交抛物线于P点，若ABP=BCD时，求此时点P的坐标48如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为二次函数的顶点，已知点（1，0），点C（0，3），直线DE为二次函数的对称轴，交BC于点E，交x轴于点F（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；（2）直线DE上是否存在点M，使点M到x轴的距离于到BD的距离相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）已知点Q是线段BD上的动点，点D关于EQ的对称点是点D，是否存在点Q使得EQD与E
30、QB的重叠部分图象为直角三角形？若存在，请求出DQ的长；若不存在，请说明理由49如图，二次函数的图象与x轴交于A（3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；（3）若直线与y轴的交点为E，连结AD、AE，求ADE的面积50如图，ABCD与抛物线y=x2+bx+c相交于点A，B，D，点C在抛物线的对称轴上，已知点B（1，0），BC=4（1）求抛物线的解析式；（2）求BD的函数表达式二次函数参考答案与试题解析一解答题（共50小题）1如图，关
31、于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积【分析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程组即可；（2）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当PBC为等腰三角形时分三种
32、情况进行讨论：CP=CB；BP=BC；PB=PC；（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2t，SMNB=（2t）2t=t2+2t，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=4，c=3，二次函数的表达式为：y=x24x+3；（2）令y=0，则x24x+3=0，解得：x=1或x=3，B（3，0），BC=3，点P在y轴上，当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，当CP=CB时，PC=3，OP=OC+PC=3+3或OP=PCOC=
33、33P1（0，3+3），P2（0，33）；当BP=BC时，OP=OB=3，P3（0，3）；当PB=PC时，OC=OB=3此时P与O重合，P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，33）或（0，3）或（0，0）；（3）如图2，设A运动时间为t，由AB=2，得BM=2t，则DN=2t，SMNB=（2t）2t=t2+2t=（t1）2+1，即当M（2，0）、N（2，2）或（2，2）时MNB面积最大，最大面积是1【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键2已知：如图，直线y=
34、kx+2与x轴正半轴相交于A（t，0），与y轴相交于点B，抛物线y=x2+bx+c经过点A和点B，点C在第三象象限内，且ACAB，tanACB=（1）当t=1时，求抛物线的表达式；（2）试用含t的代数式表示点C的坐标；（3）如果点C在这条抛物线的对称轴上，求t的值【分析】（1）把点A（1，0），B（0，2）分别代入抛物线的表达式，解方程组即可；（2）如图：作CHx轴，垂足为点H，根据AOBCHA，得到=，根据tanACB=，得到=，根据OA=t，得到点C的坐标为（t4，2t）（3）根据点C（t4，2t）在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上，得到t4=，即b=2t8，把点A（t，0）、B（0，2
35、）代入抛物线的表达式，得t2+bt+2=0，可知t2+（2t8）t+2=0，即t28t+2=0，据此即可求出t的值【解答】解：（1）t=1，y=kx+2，A（1，0），B（0，2），把点A（1，0），B（0，2）分别代入抛物线的表达式，得，解得，所求抛物线的表达式为y=x2x+2（2）如图：作CHx轴，垂足为点H，得AHC=AOB=90，ACAB，OAB+CAH=90，又CAH+ACH=90，OAB=ACH，AOBCHA，=，tanACB=，=，OA=t，OB=2，CH=2t，AH=4，点C的坐标为（t4，2t）（3）点C（t4，2t）在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上，t4=，即b=2t8
36、，把点A（t，0）、B（0，2）代入抛物线的表达式，得t2+bt+2=0，t2+（2t8）t+2=0，即t28t+2=0，解得t=4，点C（t4，2t）在第三象限，t=4+不符合题意，舍去，t=4【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及三角函数、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的性质等知识，难度较大3如图，RtOAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，OAB=90，OA=4，AB=2，把RtOAB绕点O逆时针旋转90，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，
37、分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据旋转的性质可求出C的坐标和A的坐标，又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出该抛物线的解析式；（2）四边形PEFM的周长有最大值，设点P的坐标为P（a，a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，所以EF=PM=42a，PE=MF
38、=a2+4a，则矩形PEFM的周长L=242a+（a2+4a）=2（a1）2+10，利用函数的性质即可求出四边形PEFM的周长的最大值；（3）在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，由（1）可求出抛物线的顶点坐标，过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N点坐标所以有x2+4x=4，解方程即可求出交点坐标【解答】解：（1）因为OA=4，AB=2，把AOB绕点O逆时针旋转90，可以确定点C的坐标为（2，4）；由图可知点A的坐标为（4，0），又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），
39、（4，0）代入，得，解得所以抛物线的解析式为y=x2+4x；（2）四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：由题意，如图所示，设点P的坐标为P（a，a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，EF=PM=42a，PE=MF=a2+4a，则矩形PEFM的周长L=242a+（a2+4a）=2（a1）2+10，当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，Lmax=10；（3）在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，理由如下：y=x2+4x=（x2）2+4可知顶点坐标（2，4），知道C点正好是顶点坐标，知道C点到x轴的距离为4个单位长度，过点C作x轴的平行线，与x轴没有
40、其它交点，过y=4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N点坐标所以有x2+4x=4 解得x1=2+，x2=2N点坐标为N1（2+，4），N2（2，4）【点评】本题考查了旋转的性质、利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的最大值问题和函数图象的交点问题，题目的综合性很强，对学生的综合解题能力要求很高4如图，已知抛物线经过A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足是M，是否存在点p，使得以P、M、A为
41、顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），把点A（2，0），B（3，3），O（0，0），代入求出a，b，c的值即可；（2）首先由A的坐标可求出OA的长，再根据四边形AODE是平行四边形，D在对称轴直线x=1右侧，进而可求出D横坐标为：1+2=1，代入抛物线解析式即可求出其横坐标；（3）分PMACOB和PMABOC表示出PM和AM，从而表示出点P的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值，从而确定点P的坐标【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），将点A（2，0），B（3，3），
42、O（0，0），代入可得：，解得：，所以函数解析式为：y=x2+2x；（2）AO为平行四边形的一边，DEAO，DE=AO，A（2，0），DE=AO=2，四边形AODE是平行四边形，D在对称轴直线x=1右侧，D横坐标为：1+2=1，代入抛物线解析式得y=3，D的坐标为（1，3）；（3）假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与BOC相似，设P（x，y），由题意知x0，y0，且y=x2+2x，由题意，BOC为直角三角形，COB=90，且OC：OB=1：3，若PMACOB，则=，即x+2=3（x2+2x），得x1=，x2=2（舍去）若PMABOC，=，即：x2+2x=3（x+2），得：x1=3，x2
43、=2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）故符合条件的点P有两个，分别（，）或（3，15）【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，同时也考查了学生分类讨论，数形结合的数学思想方法5如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax23ax4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（A点在B点左侧），顶点为D（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；（2）将ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A，试求A的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使BPC=BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将（0
44、，2）代入抛物线解析式求得a的值，从而得出抛物线的解析式，再令y=0，得出x的值，即可求得点A、B的坐标；（2）如图2，作AHx轴于H，可证明AOCCOB，得出ACO=CBO，由AHOC，即可得出AH的长，即可求得A的坐标；（3）分两种情况：如图3，以AB为直径作M，M交抛物线的对称轴于P（BC的下方），由圆周角定理得出点P坐标；如图4，类比第（2）小题的背景将ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A，以AB为直径作M，M交抛物线的对称轴于P（BC的上方），作MEAH于E，交对称轴于F，求得MF，在RtMPF中，由勾股定理得出PF得的长，从而得出点P的坐标即可【解答】解：（1）把C（0，2）代入y=ax23ax4a得4a=2，解得所以抛物线的解析式为令，可得：x1=1，x2=4所以A（1，0），B（4，0）（2）如图2，作AHx轴于H，因为，且AOC=COB=90，所以AOCCOB，所以ACO=CBO，可得ACB=OBC+BCO=90，由AHOC，AC=AC得OH=OA=1，AH=2OC=4；所以A（1，4）；（3）分两种情况：如图3，以AB为直径作M，M交抛物线的对称轴于