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1、2020年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学（理科）本试卷共6页，23小题， 满分150分考试用时120分钟，注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型(A)填涂在答题卡的相应位置上2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效
2、 4考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的1设集合，则ABCD2若复数z满足方程，则ABCD3若直线与圆有公共点，则实数k的取值范围是ABCD4己知，则p是q的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件5设函数，若对任意都有成立，则的最小值为ABCD6己知直三棱柱的体积为V，若P，Q分别在AA1，CC1上，且，则四棱锥的体积为ABCD7为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾
3、和其他垃圾某班按此四类由10位同学组成了四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学，现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为ABCD8己知直线与x轴的交点为抛物线的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，则AB的中点到抛物线C的准线的距离为A8 B6 C5 D49等差数列的前n项和为Sn，己知，若，则n 的最小值为A8B9C10D1110己知点是曲线上的点，曲线C在点P处的切线方程与直平行，则ABC或D或11己知O为坐标原点，设双曲线的左，右焦点分别为F1，F2点P是双曲线C上位于第一象限上的点，过点
4、F2作的平分线的垂线，垂足为A，若，则双曲线C的离心率为ABCD212己知函数若在区间上有m个零点，则A4042B4041C4040 D4039二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等 边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个 几何体的体积为_，表面积为_14在的展开式中，x3的系数是15，则实数a=_15己知单位向量e1与e2的夹角为，若向量与的夹角为，则实数k的值为_16记数列的前n项和为Sn，己知，且，则的最小值为_三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第1721题为必考题， 每个试题考生都必须做答
5、第22、23题为选考题，考生根据要求做答（一）必考题：共60分17(12分)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c己知，且满足(1)求角C的大小；(2)求的最大值18(12分) 随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每月进行训练的天数xx55x20x20人数156025(1)以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松运动训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率，从
6、该市所有参与马拉松运动训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率； (2)依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y的分布列及数学期望E(Y)19(12分) 如图1，在边长为2的等边中，D，E分别为边AC，AB的中点将沿DE折起，使得，得到如图2的四棱锥，连结BD，CE，且BD与CE交于点H(1)求证：；(2)求二面角的余弦值20（12分）已知M过点，且与N：内切，设M的圆心M的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)设直线l不经过点且与曲
7、线C相交于P，Q两点，若直线PB与直线QB的斜率之积为，判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由21(12分)己知函数，(1)求函数在上的单调区间；(2)用表示m，n中的最大值，为的导数，设函数，若在区间上恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22选修44:坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为(为参数，且)(1)求曲线C1和C2的普通方程；(2)若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，求的最小值23选修4
8、5:不等式选讲（10分）己知函数(1)当时，解不等式；(2)若不等式对任意成立，求实数a的取值范围，数学（理科）参考答案评分说明:1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题不给中间分一、选择题题号123456789101112答案ADDBCBC
9、ACBCB二、填空题 13， 14 15 16说明：第13题中第1个空2分，第二个空3分三、解答题17解：（1）根据正弦定理， 得 因为，所以【或】 由余弦定理，得【或】，因为，所以 （2）由已知与（1）知，由正弦定理， 得， 所以 （其中，）因为，所以 所以时，取得最大值所以的最大值为 18解：（1）设从该市参与马拉松运动训练的人中随机抽取一个人，抽到的人刚好是“平均每月进行训练的天数不少于天”记为事件为，则设抽到的人是“平均每月进行训练的天数不少于天”的人数为，则 所以恰好抽到个人是“平均每月进行训练的天数不少于天”的概率为 （2）用分层抽样的方法从个马拉松训练者中抽取个，则其中“平均每月
10、进行训练的天数不少于天”有个 现从这12人中抽取个，则“平均每月进行训练的天数不少于天”的数量服从超几何分布，的所有可能的取值为， 则， 所以的分布列如下：所以 19（1）证明1：在图中，因为为等边三角形，且为边的中点，所以在中，所以因为分别为边的中点，所以在图中，有，所以因为，所以为直角三角形因为，所以在中，由余弦定理得，所以 在中，因为，所以 同理可证 因为,平面，平面，所以平面 证明2：在图中，因为为等边三角形，且为边的中点，所以 在中，所以 因为分别为边的中点，所以在图2中，有，所以 在中，在和中，因为,所以 所以所以 同理可证 因为,平面，平面，所以平面 （2）解法1：以为原点，所在
11、直线为轴，所在直线为轴，平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，, 设平面的法向量为，则取 设平面的法向量为，则取 所以 由图可知，二面角的平面角是钝角，故二面角的余弦值为 解法2：在四棱锥中，分别取，的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为，且平面，所以平面因为平面，所以因为点，分别为边，的中点，所以 所以 所以为所求二面角的平面角 在等边三角形中，因为，所以 在中， 在中，所以 所以 在中，由余弦定理得 所以二面角的余弦值为 20（1）解：设的半径为，因为过点，且与相切， 所以即 因为，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆 设椭圆的方程为， 则，且，所以， 所以曲线的方程为
12、（2）解法1：依题意，直线的斜率均存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线的方程为 由得， 解之得， 因此点的坐标为 因为直线的斜率为，所以可得点的坐标为 当时，直线的斜率为 所以直线的方程为， 整理得即 此时直线过定点 当时，直线的方程为，显然过定点综上所述，直线过定点 解法2：当直线的斜率不存在时，设直线的方程为： 设点，则点，依题意， 因为，所以因为，且，解得 此时直线的方程为 当直线的斜率存在时，设直线的方程为： 由 得 需要满足，即 设点， 则有， 因为， 所以 因为， 所以 即， 即 所以或 当时，满足，直线的方程为，恒过定点当时，满足，直线的方程为，恒过定点，不合题意 显然直线也过
13、定点， 综上所述，直线过定点 21（1）解：因为， 所以 当时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）解：由（1）可知，当时， 所以要使在区间上恒成立， 只需在区间上恒成立即可 因为 以下给出四种求解思路：思路1：因为，所以在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立 令，则 因为当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减 所以所以 所以实数的取值范围为 思路2：因为，则 若，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，由，解得此时实数不合题意 若，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，由，解得此时实数不合题意 若，则当时，当时，所以函数在上单调递减
14、，在上单调递增所以，由，解得 此时实数满足综上所述，实数的取值范围为 思路3：因为，则 因为在上恒成立， 则，即 因为在上单调递增， 因为，【或时，】 所以存在，使得 当时，当是， 所以函数在上单调递减，在上单调递增 所以 要使在上恒成立， 只要，解得 所以实数的取值范围为 思路4：因为，所以在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立 令，则，所以在上单调递增 而是经过原点的直线，设过原点的直线与相切于点， 则切线方程为，因为过原点，所以 因为，所以即切点为所以经过原点且与相切的直线方程为 所以满足的条件是，解得 所以实数的取值范围为 （3）证明1：由（2）可知，当时，有即 则， 同理， 所以 所以
15、 证明2：要证，即证，即证 先证明，事实上，设，则，当时，所以在上单调递增所以，所以 所以所以 22解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），消去参数，得所以曲线的方程为 因为曲线的参数方程为（为参数），则由，得，代入得， 消去参数，得 因为，所以所以曲线的方程为 （2）因为点，分别为曲线，上的动点，设直线与曲线相切，由消去得 所以，解得因为，所以 因为直线与间的距离为：所以的最小值 23（1）解：因为，所以 当时，由，解得，此时 当时，解得，此时 当时，解得，此时 综上可知，所以不等式的解集为 （2）解法1：由，得，因为，所以问题转化为对任意的恒成立， 所以【或】 所以 因为当时，所以实数的取值范围为 解法2：由，得，因为，所以问题转化为对任意的恒成立， 分别作出函数与函数的图像，如图所示，要使对任意的恒成立，则当时，函数的图像在函数的图像的上方 所以当时，需要满足且 因为当时， 所以实数的取值范围为 21