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1、 直线与圆锥曲线的位置关系(教案)A一、 知识梳理：1. 直线与圆锥曲线位置关系问题转化为研究方程组的实数解的问题或利用数形结合方法解决.几何角度： 直线与圆锥曲线位置关系,从几何角度可分为三类：无公共点,.仅有一个公共点及有两个相异公共点.代数角度： 直线与圆锥曲线位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组办法来研究,设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线C的方程为F(x,y)=0,联立方程组Ax+By+C=0F(x,y)=0,消去y (或消去x)得到一个关于变量x的一元二次方程：ax2 +bx+x=0(1)方程的判别式方程组的实数解的个数交点的个数位置关系022相交(2)当a=0时,
2、得到一个一元一次方程,则直线l与圆锥曲线相交,且只有一个交点,此时若C为双曲线,则直线与双曲线的渐近线平行,若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴平行或重合,所以直线与抛物线,直线与双曲线有一个公共点是直线与抛物线,双曲线相切的必要条件,但不是充分条件.2. 常用方法及公式(1).把研究直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为研究方程组的实数解的问题;(2).当根不易求解时一般用韦达定理建立参数与根的关系,同时要注意用判别式检验根存有性;(3).能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得弦长的相关问题.弦长公式：设A(x1,y1),B(,y2),则|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =1+k
3、2|x1-x2|(方程是x的方程); |AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =1+1k2|y1-y2|(方程是y的方程),当直线斜率不存有时,可求出交点坐标,直线计算弦长,另外,过焦点的弦长还可根据定义求解.(4).处理弦的中点问题时,用点差法较为方便,能直接体现弦的斜率和中点的坐标之间的关系,但不易验证根的存有.二、题型探究探究一：直线与圆锥曲线的交点个数问题例1：直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的右支有两个不同的公共点,求实数k的取值范围.探究二：弦长问题例2： 已知直线y=kx+b与椭圆x2+4y2=4交于A,B两点,记AOB的面积为S,(1) 在k=0,0bb1)在同一坐
4、标系中的图形可能是（ ）答案：C解析：a0,b0,直线y=ax+b过一、三象限且在y轴上的截距为正，排除B、D，又直线过点（0,b），（-,0）,b|-|.3.设A为双曲线=1的右支上一动点，F为该双曲线的右焦点，连AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点（ ）A.（，0） B.（，0） C.（4，0） D.（，0）答案：A解析：（特殊法）设A（5,）,则B（5,-）,C(,-).故kAC=，直线AC为y-=(x-5),即：10x-4y-41=0，与x轴交点为（，0），排除B、C、D，选A.4.对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y024x0的点M（x
5、0,y0）在抛物线的内部，若点M（x0,y0）在抛物线的内部，则直线l:y0y=2(x+x0)与C（ ）A.恰有一个公共点 B.恰有两个公共点C.没有公共点 D.可能有一个公共点也可能有两个公共点答案：C解析：联立方程组消去x,得y2-2y0y+4x0=0,=4y02-16x0=4(y02-4x0),M（x0,y0）在抛物线内，y024x0.0)的焦点F作一条直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、n，则等于( )A.2a B.4a C. D.答案：D解析：(特殊法)令ABx轴，则xa=xb=,m=n=|ya|=.二、填空题（每小题5分，共15分）8.设P1、P2是抛物线x2=
6、y的一条弦，如果P1P2的垂直平分线的方程为y=-x+3，那么弦P1P2所在的直线方程是_.答案：y=x+2解析：设P1（x1,y1），P2(x2,y2),显然=1,则P1P2所在直线方程为y=x+b,由有x2-x-b=0,于是x1+x2=1,则P1P2的中点是P（）,P1P2所在直线方程又可为y-=x-. 又点P在直线y=-x+3上,即+3. 当代入得y=x-(x1+x2)+3=x+2.9.直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆=1总有公共点，则m的取值范围是_.答案：1，5）解析：由焦点在x轴上，故0m5,又数形结合知m1，故1m5.10.如果实数b不论取何值，直线y=kx+b与双曲线x2-
7、2y2=1总有公共点,那么k的取值范围是_.答案：-k解析：将y=kx+b代入x2-2y2=1,得（1-2k2）x2-4kbx-2b2-1=0.(*)当1-2k2=0即k=时，4kbx+2b2+1=0不能使任意bR都有解.1-2k20.方程（*）对bR恒有解，0，即16k2b2+4(1-2k2)(2b2-1)0恒成立，即8k28b2+4恒成立，8k24,k2.又k2，k2,-kb0),直线l1:=1被椭圆C截得的弦长为2，过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截得的弦长是椭圆长轴长的，求椭圆C的方程.解析：由l1被C截得的弦长为2,得a2+b2=8, 设l2：y=(x-c)，代入C的方程
8、化简得（b2+3a2）x2-6a2cx+a2(3c2-b2)=0,x1+x2=,x1x2=.|x1-x2|=,由弦长公式得,即a2=3b2, 联立得a2=6,b2=2.故C的方程为=1.12.已知双曲线C:=1（a0,b0）,B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴的正半轴，且满足|、|、|成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.（1）求证：=；（2）若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围.解析：（1）l:y=-(x-c),P().由|、|、|成等比数列得A（,0）,=(0,-), =(,), =(-,).=.（2）b2x2-(x-c)
9、2=a2b2.即(b2-)x2+2cx-(+a2b2)=0,0恒成立.x1x2=a4,即b2a2.c2-a2a2e.13.已知点P（2,1）在双曲线=1，且它和双曲线一个焦点F的距离是1，（1）求双曲线的方程；（2）过点F的直线l，交双曲线于A、B两点，若弦长|AB|不超过4，求l的倾斜角范围.解析：（1）设焦点F（c,0），由题意得（-c）2+1=1,c=,则点F的坐标为（,0），a2+b2=2. 又P（,1）在双曲线上，=1. 由得a2=1或a2=4（舍去），b2=1.从而双曲线方程为x2-y2=1.(2)当直线l斜率存在时，设l:y=k(x-)代入双曲线方程得：（1-k2）x2+2k2x-2k2-1=0.|AB|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=42.即-22,解得k2或k23.-k或k-或k.0或,或0,即m1.(2)设A（y12,y1）,(y22,y2),P(y02,y0),由kAB=,得y1+y2=-2,kPA=,kPB=，假设在抛物线上存在定点P使得直线PA与PB的斜率互为相反数，即：,即：2y0=-(y1+y2)=2,得y0=1.存在定点P（1，1）使得直线PA与PB的斜率互为相反数.