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1、我国农村居民消费水平时间序列模型及预测中国科技论文在线 / 我国农村居民消费水平时间序列模型及预测 12杨杰，张宇 1. 辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新（123000） 2. 辽宁工程技术大学土木与交通学院，辽宁阜新（123000） 8E-mail：yang06110101221264 摘 要：时间序列分析是经济领域应用研究最广泛的工具之一，它用恰当的模型描述历史数据随时间变化的规律，并分析预测变量值。ARMA模型是一种最常见的重要时间序列模型，它被广泛应用到经济领域预测中。本文给出 ARMA模型的实现方法，然后结合我国农村居民消费水平数据揭示其规律性，并运用 ARMA模型对农村居民消费水平
2、进行预测。 关键词：时间序列分析；ARMA模型；消费水平；预测 中图分类号：F126.1 1. 引言 预测未来是从古至今人类不段探索的课题，在预测实践中，预测者们发现和总结出了许多行之有效的预测理论和方法，但以概率统计理论为基础的预测方法目前仍然是最基本和最1常用的方法。研究某一现象或若干现象在不同时刻上的状态所形成的数据和它反映的现象2以及现象之间的关系的发展变化规律性的统计方法就是时间序列分析。目前，其理论和方法已被广泛应用到工程技术、气象、水文、地震、生物医学、经济管理以及军事科学等诸多3 4领域 。 消费水平是衡量一个国家和地区经济发展水平和综合经济实力的重要指标，它不仅考虑了经济总量
3、的大小，而且结合了人口多少的因素，在国际上它也是划分一个区域经济发展阶段的依据之一。我国农村经济是国民经济发展的重要组成部分，农村经济又有一定得独立性，所以许多经济学家把农村经济当做独立的研究对象。而农村居民消费水平直接反应了农村经济发展情况。因此，研究我国农村消费水平的统计规律及变动趋势具有重要的意义，为地方政策的制定提供了经济依据。 大多数经济时间序列存在惯性或者说是迟缓性，通过对这种惯性的分析可以由时间序列的当前值和过去值对未来进行预测。本文以我国19978-2007 年农村居民消费水平历史数据为样本，通过 ARMA 模型对样本进行统计分析，以揭示我国农村居民消费水平变化的内在规律性，并
4、进行后期预测。 2. 时间序列模型介绍 时间序列的研究对象是一系列随时间变化而又相互关联的动态数据博克斯（George Box）和詹金斯（Gwilym Jenkins）对时间序列的研究有独特贡献，1970年他们合著的时5间序列分析：预测与控制是这方面的权威著作。 2.1时间序列模型的分类 2.1.1自回归过程AR模型 如果时间序列y是它的前期值和随机项的线性函数，即可以表示为如下形式： ty=y+y+?+y+ t1t?12t?2pt?pt则称该时间序列y是p阶自回归序列，记为ARp。参数,?,称为回归系数，是()t12p - 1 -中国科技论文在线 / 2模型待估参数。随机项是相互独立的白噪音
5、，服从均值为0，方差为的正态分布，白tt噪音与y,y,?,y相互独立。 tt?1t?2t?p2.1.2 移动平均过程MA模型 如果时间序列y是随机项的线性组合，即可以表示为如下形式： ty=? tt1t?12t?2qt?q则称时间序列y是q阶移动平均序列，记为MAQ，实参数,?, 为移动平均系数，()t12q也是模型的待估参数。 2.1.3 自回归移动平均过程ARMA模型 如果时间序列是它的随机项和前期项的线性函数，可以写成如下形式： y=y+y+?+y+? t1t?12t?2pt?pt1t?12t?2qt?q则称该序列y是自回归移动平均时间序列，上式为p,q阶自回归移动平均模型，记为()tA
6、RMAp,q，参数,?,称为回归系数，参数,?,为移动平均系数。显然()12p12qARp和MAq都是ARMAp,q的特殊情况。如果ARMAp,q模型中q=0，则变()()()()5成ARp，如果p=0则变成MAq。 ()()2.2 ARMA建模流程 (1)数据的预处理，判断该序列是否为平稳非纯随机序列。若为非平稳序列，对该序列行处理使其符合 ARMA 模型建模的条件，即处理后的序列是平稳序列； (2)计算出观察值序列的样本自相关系数（ACF）和样本偏自相关系数（ACPF）的值； (3) 根据样本自相关系数和偏自相关系数，选恰当的ARMA模型进行拟合； (4)估计模型中的未知参数； (5)检验
7、模型的有效性。如果拟合模型通不过检验，转向骤 3，重新选择模型再拟合； (6)模型优化。如果拟合模型通过检验，仍然转向步骤 2，充分考虑各种可能，建立多个拟合模型，从所有通过检验的模型中选择最优模型； (7)利用拟合的模型，预测序列的将来走势 3. 3 建立农村消费水平时间序列模型 3.1 问题与数据 在 ARMA 模型中，时间序列是由一个零均值的平稳随机过程产生，即其过程的随机性质具有时间上的不变性，在图形上表现为所有样本点都在某一水平线上下随机波动。对于非平稳时间序列，需要预先对时间序列进行零均值和差分平稳化处理。以我国农村居民消费水平历史数据(19782007)为样本进行分析，数据见表
8、1。 表1 我国农村居民消费水平历史数据(19782007) 消费水平 消费水平 消费水平 年份 年份 年份 绝对数/元 绝对数/元 绝对数/元 - 2 -中国科技论文在线 / 1978 138 1988 509 1998 1730 1979 159 1989 549 1999 1766 1980 178 1990 560 2000 1860 1981 201 1991 602 2001 1969 1982 223 1992 688 2002 2062 1983 250 1993 805 2003 2103 1984 287 1994 1038 2004 2301 1985 349 1995
9、1313 2005 2560 1986 378 1996 1626 2006 2847 1987 401 1997 1722 2007 3210 3.2数据平稳性检验及处理 对表1的数据进行可视化分析，结果如图1 。可见，随着我国改革开放和人民生活水平的不断提高, 我国农村居民消费水平虽然有波动, 但在总体上呈现出不断增长的趋势。因此该居民消费水平序列为一非平稳时间序列。 (横轴：时间(年份)，纵轴：消费水平(元) ) 图 1 消费水平趋势图 对序列取对数，得到结果如图2所示，可以看出此时序列有明显的线性上升趋势。然后再进行一阶差分。 - 3 -中国科技论文在线 / (横轴：时间(月份)，纵轴
10、： l n yt ( yt 消费水平) ) 图 2 对数化后的趋势图 用 Eviews3.1 软件对一阶差分序列序列进行 ADF（单位根）检验，结果ADF统计量分别大于1%，5%，10%水平的三个临界值，即接受=0的原假设，一阶差分序列是一个非平稳序列；再继续进行二阶差分，结果ADF统计量分别小于三个显著水平的临界值，即必须拒绝接受=0的假设，可知二阶差分序列是一个平稳序列，可以进行模型识别。检验的结果如表2所示。 表 2 ADF检验结果 一阶差分 ADF Test Statistic 一阶差分 ADF Test Statistic -3.032688 -4.906379 1% 5% 10%
11、1% 5% 10% -3.6959 -2.9750 -2.6265 -3.7076 -2.9798 -2.6290 3.3 模型定阶和参数估计 对于ARMA（p，q）模型，可以利用其样本的自相关函数和样本的偏自相关函数的截尾性判定模型的阶数。若平稳时间序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，则此序列适合 AR 模型；若平稳时间序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定此序列适合 MA 模型；若平稳时间序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则此序列适合 ARMA模型。 使用Eviews3.1计算二次差分后时间序列的20阶自相关系数和偏自相关系数，结果如表3。 - 4 -中
12、国科技论文在线 / 表 3 二阶差分的AC和PAC表 可以看出，此序列为平稳纯随机序列。二次差分的相关系数没有出现截尾的特性，而是表现出大体衰减，二者均表现出拖尾的性质，因此此差分序列适合构造ARMA（p，q）模6型。 本文采用 AIC 准则进行定阶，并从中选择最优模型。AIC 准则可以在模型极大似然的基础上，对模型的阶数和相应参数同时给出一种最佳估计。但它仍需要根据平稳序列的自相关和偏自相关函数的特性，初选一些可供参考的阶数，然后计算不同阶数的 AIC 值，选择使 AIC 达到最小的一组阶数作为理想阶数。需要强调的是，虽然通常用 AIC 值选择合适的 ARMA 模型，但 AIC 值最小化并不
13、是得出最优ARMA 模型的充分条件。本文采用的方法是先通过最小 AIC值建立模型，对估计结果进行参数显著检验和残差随机性检验。如果通过检验，则此模型可以看为最优模型；如果不能通过，则选取次小的 AIC 值并进行相关的统计检验，依此类推，直至选到合适的模型为止。对处理过的样本数据进行 1-4 阶自回归移动平均预估计，结果如表3所示。通过使用Eviews3.1进行AIC准则判定，选定模型为ARMA（3，1），并通过t统计量检验。 表3 ARMA 模型AIC 数值表 MA阶数 1 2 34 AR 1-2.6009 -3.2587 -2.5921 -3.1370 阶数 2 -2.3262-3.1580
14、-2.9840-2.90503-2.2063 -2.4284 -2.3976 -2.37360 4 -2.3482-2.8686-2.8031-2.72633.4 参数估计和模型建立 模型参数估计的方法有矩估计法、极大似然法、非线性最小二乘法等。矩估计法比较简单但精度较低；极大似然法比较精确，但是要求对样本的分布函数已知。非线性最小二乘法过程包含运筹学中的迭代搜索技术，具有较高的准确度。所以本例采用Eviews3.1中的最小 - 5 -中国科技论文在线 / 二乘拟合。拟合模型的具体表达式为： y=2.707934y2.567784y+0.878967y+?0.989944tt?1t?2t?3t
15、t?1 3.5 模型的检验 对所得模型的残差序列进行平稳性和随机性检验。如果残差序列是白噪音，则可以接受这个具体的拟合；如果不是，那么残差序列可能还存在有用信息没被提取，需要进一步改进模型。 因此，对残差序列进行ADF检验，检验值小于5%显著水平下的临界值，则可认为此残差序列是平稳的；又根据输出的残差的Q统计量判断得出残差为白噪声序列。可知残差序列是一个纯随机过程。 4. 根据模型预测检验 利用所建立的模型对2005年、2006年及2007年我国农村居民消费水平进行预测，预测值与实际值得比较如表4. 表4 2005年、2006年2007年预测值与实际值比较 年份 预测值 实际值 误差 相对误差
16、 2005 2583.54 2560 -23.54 0.91% 2006 2895.61 2847 -48.61 1.7% 2007 32.6059 3210 3.414 0.11% 预测误差分别在0.91%、1.7%和0.11%左右，说明此模型预测比较精确，短期预测可信。 5. 结论 由于本时间序列模型是经过二阶差分才平稳，且模型由有限个数据拟合而成，所获得的模型反映的是短期变化关系，而不是长期变化关系，因此只适合进行短期预测。 从预测的结果来看，我国农村居民消费水平有望继续保持高速平稳增长，这正是我国近年来实施新农村建设的成效，新农村建设提出了千方百计增加农民收入的要求，政府近来又推出“家
17、电下乡”等一系列惠农政策，相信我国农村消费水平将会继续保持高速增长的趋势。 参考文献 1唐焕文，何明峰.数学建模引论M.北京:高等教育出版社,2006. 2 何书元.应用时间序列分析M.北京：北京大学出版社,2003 3 潘红宇.时间序列分析M.北京:对外经济贸易大学出版社,2006. 4 张树京,齐立心.时间序列分析简明教程M.北京:清华大学出版社,2003. 5 张树德.金融计算教程M.北京:清华大学出版社,2007 6 广西科学Guangxi Sciences 2008, 15 (4) : 386 388 - 6 -中国科技论文在线 / The Time Series and Forec
18、ast of Consumption Level of Rural Residents of China 1Yang Jie, Zhang Yu2 College of Science, Liaoning Technical University, Fuxin, Liaoning (123000) Institute of Civil Engineering and Transportation, Liaoning Technical University, Fuxin, Liaoning (123000) Abstract Time series analysis is one of the
19、 most widly used tools in the economic application research field.It describes the rule of history data with the appropriate model, and analysis the value of the forecasted variables. ARMA model is the most common and important time series model and it is widely used in the forecast of economic field. In this paper, the author gives implementations of the ARMA model ,shows the rules of of consumption level of rural residents of China, and then uses the model to forecast the consumption level. Keywords: time series ;ARMA model ;Consumption level;forecast - 7 -