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1、课时作业(二十六)(第一次作业)1下列概率模型中，几何概型的个数为()从区间10，10内任取出一个数，求取到1的概率；从区间10，10内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；从区间10，10内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率A1B2C3 D4答案B解析不是几何概型，虽然区间10，10有无限多个点，但取到“1”，只是一个数字，不能构成区域长度；是几何概型，因为区间10，10和1，1上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；不是几何概型，因为区
2、间10，10上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都等可能被投到，故满足无限性和等可能性2在线段0，3上任投一点，则此点坐标小于1的概率为()A. B.C. D1答案B3在区间1，1上任取两数x和y，组成有序数对(x，y)，记事件A为“x2y21”，则P(A)等于()A. B.C D2答案A4一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随意飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个面的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全若始终保持与正方体玻璃容器6个表面
3、的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是()A. B.C. D.答案C解析蜜蜂的飞行区域是棱长为30的正方体内部V30327 000，蜜蜂安全飞行的区域是棱长为30101010的正方体内部V1031 000，所以蜜蜂飞行是安全的概率是.5欧阳修卖油翁中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是()A. B.C. D
4、.答案D6.如图所示，在半径为R的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆内接正三角形内(阴影部分)的概率是()A. B.C. D.答案D解析S圆R2，S三角形3R2sin120R2，落在圆内接正三角形内的概率是.7平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是()A. B.C. D.答案B解析如图，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故概率为.8已知实数x，y，可以在0x2，0y2的条件下随机取数，那么取出的数对(x，y)满足(x1)2(y1)21的概率是()A. B.C. D.答案A解析0x2，
5、0y2表示图形为正方形及内部点，(x1)2(y1)21表示圆及内部点，此图内切于正方形，由几何概型概率计算公式知，概率值等于面积比即.9点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为_答案解析圆周上使弧的长度为1的点M有两个，设为M1，M2，则过A的圆弧的长度为2，B点落在优弧上就能使劣弧的长度小于1，所以劣弧的长度小于1的概率为.10.如图所示是一个边长为1米的正方形木板，上面画着一个边界不规则的地图，板上的点为雨点打上的痕迹，且雨点打在图形上的概率为，则这个地图的面积约为_平方米答案 解析雨点落在何处是等可能的，因此由P，知S地图S正方形929
6、.地图的面积约为平方米11从集合(x，y)|x2y24，xR，yR内任选一个元素(x，y)，则x，y满足xy2的概率为_答案解析集合为一个圆及其内部，其面积为4，集合内满足xy2条件的面积为2，因此x，y满足xy2的概率为.12设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点与A连接，求弦长超过半径的倍的概率解析如图所示，在O上有一定点A，任取一点B与A连接，则弦长超过半径的倍，即为AOB的度数大于90，而小于270.记“弦长超过半径的倍”为事件C，则C表示的范围是AOB(90，270)则由几何概型的概率公式，得P(C).13国家安全机关监听录音记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从
7、开始30 s处起，有10 s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了那么由于按错了键使包含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？答案课时作业(二十七)(第二次作业)1设点x在6，3中随机出现，记事件A表示“点x1，2”，则P(A)等于()A1B.C. D.答案C2函数f(x)x2x2，x5，5，那么任取一值x05，5，使f(x0)0的概率是()A1 B.C. D.答案C解析由f(x0)0，得x01，2设f(x0)0的事件为A，则事件A构成区域的长度是3，全部结果构成的区域长度是
8、10，P(A).故选C.3已知点P是边长为4的正方形内任一点，则点P到四个顶点的距离均大于2的概率是()A. B1C. D.答案B解析如图所示，边长为4的正方形ABCD，分别以A，B，C，D为圆心，都以2为半径画弧截正方形ABCD后剩余部分是阴影部分则阴影部分的面积是42422164，所以所求概率是1.4.一只小虫子在如图所示的地板砖(各小方格的大小完全相同)上爬来爬去，它最后随意停留在标有字母的地板砖上的概率是()A. B.C. D.答案D5有如下四个游戏盘，撒一粒黄豆，若落在阴影部分，则可中奖小明希望中奖，则他应选择的游戏盘是()答案A解析选项A，P1；选项B，P2；选项C，P3；选项D，
9、P4，则P1最大6某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是_答案解析候车时间不超过3分钟的概率是.7已知集合Ax|1x5，B，在集合A中任取一个元素x，则事件“xAB”的概率是_答案解析由题意得Ax|1x5，Bx|2x3，由几何概型知，在集合A中任取一个元素x，则xAB的概率为.8某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为，那么该台每小时约有_分钟的广告答案69一个路口的信号灯，其红灯亮的时间间隔为30秒，绿灯亮的时间间隔为40秒，如果你到达路口时，遇到红灯的概率为，那么黄灯亮的时间间隔为
10、_秒. 答案510已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，则VPABCVSABC的概率是_答案11设m在0，5上随机地取值，求方程x2mx0有实数根的概率解析方程有实数根m240m1或m2.又m0，5，方程x2mx0有实数根的m的取值范围是2，5方程x2mx0有实数根的概率为P.12取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长度都不小于1 m的概率为多大？思路从哪个位置剪断绳子是任意的，而且剪断位置有无限多个，而且发生的可能性是一样的因此，事件发生的可能性只与剪断位置所处的绳子段的长度有关解析如图所示，记A剪得的两段绳长都不小于1 m，把绳子三等
11、分，于是当剪断点处在中间一段时，事件A发生由于中间一段的长度为31(m)，所以事件A发生的概率为P(A).13.如图所示，平面上一长12 cm，宽10 cm的矩形ABCD内有一半径为1 cm的圆O(圆心O在矩形对角线交点处)把一枚半径为1 cm的硬币任意掷在矩形内(硬币完全落在矩形内)，求硬币不与圆O相碰的概率思路本题是几何概型，可用面积比求概率解析由题意可知：只有硬币中心投在阴影部分时才符合要求，所以不与圆相碰的概率为1.14正方体ABCDA1B1C1D1，棱长为a，在正方体内随机取一点M.(1)求M落在三棱柱ABCA1B1C1内的概率；(2)求M落在三棱锥BA1B1C1内的概率；(3)求M
12、与面ABCD的距离大于的概率；(4)求M与面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于的概率解析V正方体a3，(1)V三棱柱a2aa3，所求概率P1.(2)V三棱锥SA1BB1B1C1a2aa3，所求概率P2.(3)P3.(4)P4.1.如图所示，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，求此点取自阴影部分的概率？解析如图所示，设扇形OAB的半径为2a，则S1S2S3S4S扇形OAB(2a)2a2.因为S1S2与S2S3的和恰好为一个半径为a的圆，所以S1S2S2S3a2.，得S2S4.由右图可知S2(S扇形EODS扇形COD)S正方形OEDCa2a
13、2.所以S阴影a22a2.所以此点取自阴影部分的概率为1.2已知ABC是边长为4的正三角形(1)若一只蚂蚁在ABC的边上爬行，求某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率；(2)若一只蚂蚁在ABC的边上及其内部爬行，求某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率解析记事件A表示“蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1”(1)如图1所示，当蚂蚁在线段A1B1，B2C1，C2A2上爬行时，距离三角形的三个顶点的距离均超过2.所以构成事件A的区域长度为d2226，试验的全部结果所构成的区域长度为D44412，所以P(A).(2)如图2所示，当蚂蚁在图2所示的阴影部分爬行时，蚂蚁距离
14、三角形的三个顶点的距离均超过1.所以试验的全部结果所构成的区域面积为ABC的面积S4，构成事件A的区域为图中阴影部分，其面积S14124.所以P(A)1.3已知关于x的一元二次方程x22xb0.(1)若a0，1，2，3，b0，1，2，求方程x22xb0有实根的概率；(2)若a0，3，b0，2，求方程x22xb0有实根的概率思路对于上述两问，用(a，b)表示a，b取相应值时所对应的一个一元二次方程，则a，b在各自的取值集合内，取每一个值都是等可能的，即取每一组(a，b)的值都是等可能的在(1)中，a，b的取值都是有限的，所以(a，b)的组数是有限的，是古典概型；在(2)中，a，b的取值都是无限的
15、所以(a，b)的组数是无限的，是几何概型，需要通过构造区域面积来求解解析用(a，b)表示a，b取相应值时所对应的一个一元二次方程要使x22xb0有实根，则(2)24b0，即ab.(1)(a，b)的所有可能取值有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中满足ab的有9个故方程x22xb0有实根的概率为.(2)设事件A表示“一元二次方程x22xb0有实根”，则(a，b)的所有可能取值构成的区域为(a，b)|0a3，0b2，这是一个长方形区域，面积为236；构成事件A的区域为(a，b)|
16、0a3，0b2，ab，如图中阴影部分，面积为23224.故方程x22xb0有实根的概率为.1(2019课标全国，文)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.B.C. D.答案D解析将两位男同学分别记为A1，A2，两位女同学分别记为B1，B2，则四位同学排成一列，情况有A1A2B1B2，A1A2B2B1，A2A1B1B2，A2A1B2B1，A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1，B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1，A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1，B1B2A1A2
17、，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1，B1A1B2A2，B1A2B2A1，B2A1B1A2，B2A2B1A1，共有24种，其中两位女同学相邻的有12种，所以所求概率P.故选D.2(2019课标全国，文)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A. B.C. D.答案B解析设其中做过测试的3只兔子为a，b，c，剩余的2只为A，B，则从这5只中任取3只的所有取法有a，b，c，a，b，A，a，b，B，a，c，A，a，c，B ，a，A，B，b，c，A，b，c，B，b，A，B，c，A，B，共10种其中恰有2只做过测
18、试的取法有a，b，A，a，b，B，a，c，A，a，c，B，b，c，A，b，c，B，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为.故选B.3(2018课标全国)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则()Ap1p2 Bp1p3Cp2p3 Dp1p2p3答案A解析方法一：设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域的面积即ABC的面积，为S1bc，区域的面积S2(c2b
19、2a2)bcbc，所以S1S2，由几何概型的知识知p1p2.故选A.方法二：不妨设ABC为等腰直角三角形，ABAC2，则BC2，所以区域的面积即ABC的面积，为S1222，区域的面积S2122，区域的面积S322.根据几何概型的概率计算公式，得p1p2，p3，所以p1p3，p2p3，p1p2p3，排除选项B、C、D，故选A.4.(2017课标全国，理)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A. B.C. D.答案B解析由题意可知，圆中黑色部分面积与白色部分面积相等设正方形的
20、边长为a，则S正方形a2，S圆a2，S黑a2.p，故选B.5(2017天津)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A. B.C. D.答案C解析从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：红、黄，红、蓝，红、绿，红、紫，黄、蓝，黄、绿，黄、紫，蓝、绿，蓝、紫，绿、紫而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红、黄，红、蓝，红、绿，红、紫，共4种，记“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”为事件A，则P(A).6(2017课标全国，文)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随
21、机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A. B.C. D.答案D解析方法一：当第一张卡片上的数为1时，不存在符合题意的第二张卡片当第一张卡片上的数为2时，第二张卡片上的数可以为1.当第一张卡片上的数为3时，第二张卡片上的数可以为1，2.当第一张卡片上的数为4时，第二张卡片上的数可以为1，2，3.当第一张卡片上的数为5时，第二张卡片上的数可以为1，2，3，4.总事件数为25，满足条件的事件数为10.故所求概率p.方法二：两次放回抽样共有25种情况，满足条件的事件可用坐标表示为(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2
22、)，(5，3)，(5，4)，共10种，故所求概率p.7(2016天津改编)甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则甲获胜的概率和甲不输的概率分别为()A.， B.，C.， D.，答案C解析“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率P1.设事件A为“甲不输”，则A可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A).(或设事件A为“甲不输”，则A可看作是“乙胜”的对立事件所以P(A)1)8(2016课标全国，文)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的
23、概率是()A. B.C. D.答案C解析由题意得，输入前两位密码共有3515种结果，成功的结果只有一种，由古典概型概率公式得P.9(2015课标全国，文)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A. B.C. D.答案C解析基本事件的总数为10，其中能构成一组勾股数的只有3，4，5，所求概率为，选C.10(2016四川)从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是_答案解析结果有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，2)，(3，8)，(3，9)，(
24、8，2)，(8，3)，(8，9)，(9，2)，(9，3)，(9，8)，共12种，其中log283，log392为整数，所以logab为整数的概率为.11(2016山东)在1，1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为_答案解析圆(x5)2y29的圆心为C(5，0)，半径r3，故由直线与圆相交可得r，即3，整理得k2，得k.故所求事件的概率P.12(2017江苏)记函数f(x)的定义域为D.在区间4，5上随机取一个数x，则xD的概率是_答案解析由题意得6xx20，所以(x2)(x3)0，所以2x3，所以P.13.(2016山东，文)某儿童乐园在“六一”儿童节推
25、出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：若xy3，则奖励玩具一个；若xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由解析用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间与点集S(x，y)|xN，yN，1x4，1y4一一对应因为S中元素的个数是4416，所以基本事件总数n16.(1)记“xy3”为事件A，则事件A包含的基本事件共5个，即(1，
26、1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)所以P(A)，即小亮获得玩具的概率为.(2)记“xy8”为事件B，“3xy，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率14(2015山东，文)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率解
27、析(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有453015(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，A4，B1，A4，B2，A4，B3，A5，B1，A5，B2，A5，B3，共15个根据题意，这些基本事件的出现是等可能的事件“A1被选中且B1末被选中”所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共2个因此A1被选中且B1未被选中的
28、概率为P.1(2013四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A. B.C. D.答案C解析本题考查几何概型的计算设第一串彩灯闪亮时间为x，第二串彩灯闪亮的时间为y.0x4，0y4.闪亮时间相差不超过2秒，即|xy|2.如图所示P1.两个变量的几何概型通常为面积比2(2014课标全国，文)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_答案解析甲、乙两名运动员各自
29、等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种故所求概率为P.3(2013湖北文)在区间2，4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_答案3解析由几何概型，得m3.4(2013福建)利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为_答案解析P.对于概率的求值问题，首先要分清概率模型，再按照公式计算5(2015天津，文)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人
30、数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛用所给编号列出所有可能的结果；设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率解析(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.(2)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共15种编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为A1，A5，A1，A6，A2，A5，A2，A6，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共9种因此，事件A发生的概率P(A)