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1、第二章 原子结构,本章我们运用量子力学基本原理研究原子的性质，其中最重要的是能级和角动量。,2.1 类氢离子的薛定谔方程,2.2 类氢离子波函数和轨道能级,2.3 多电子原子的结构,2.4 原子光谱项,2.1 类氢离子的薛定谔方程,2.1.1 引言 2.1.2 变数分离 2.1.3 求解F方程 2.1.4 Q方程的解 2.1.5 R方程的解,1885-1910年间发现氢原子的线状光谱,原子结构认识的实验基础,1897年Thomson发现电子,1909-1911年间Rutherfold的散射实验,“葡萄丁”模型,“行星绕日”模型,“玻尔”模型,2.1.1 引言,类氢离子的薛定谔方程：,总能量=原
2、子核动能+电子动能+核与电子静电作用,两体（原子核和电子）问题可以简化为一体问题,经典力学中，将两体问题化为一体问题,两体：指只含有两个质点的孤立系统，一个质点所受的力一定是由另一个质点施加的，且受力方向在两个质点的连线上，即：,质心位置向量和相对位置向量为,由牛顿第二定律：,分别对质心向量和相对位置向量关于时间求两次导数，并将牛顿第二定律代入以消去r1和r2得：,上述方程表明两体问题可以简化为两种运动的复合： 1 质心不受力，作匀速直线运动或静止。 2 质量为约化质量的假想体作加速运动，其所受的力 就是原来的两个质点之间的作用力，运动时的位移 就是原来两个质点之间相对位移。动能、动量等物 理
3、量都是指假象体所具有的。总动能为质心动能加 上假象体动能，其他物理量类似。,量子力学中，与经典力学类似方法,质心位置向量和相对位置向量为,用计算偏微分的链式法则，将关于x1, x2等的偏微分化为关于X，x等的偏微分：,采用新自变量后的哈密顿算符为：,只与XYZ有关,只与xyz有关,这样的薛定谔方程可以用分离变量法化为两个方程：,令：,量子力学中，两体问题化为一体问题的结果与经典力学中的类似，运动也分为两部分： 1 自由部分指质心不受力（即自由）。这个方程的解就是平面波，也就是最简单的波简谐行波。显然这部分运动的规律是简单清楚的，一般不考虑。 2 相对部分指电子和原子核之间的相对运动。这部分就是
4、我们要关注的。,书中28页第3行的叙述不妥！不考虑整体运动是因为它是平动，与经典力学中的匀速直线运动类似。参阅：徐光宪、黎乐民，量子化学（上），第一版，第三章第1节和第四章第1节。,将相对运动部分改用球坐标表示：,方程左边只与r有关，而右边只与角度有关，所以方程两边必须都为常数，记这个常数为2。,2.1.2 变数分离,先看角度部分：,方程两边再同时除以,上述方程中各项可以分为两类，一类只和有关，另一类只和f有关，即,记常数为m2，得到两个变量已经分离的方程,径向部分为：,关于上述方程的详细求解，可以参考：,徐光宪，黎乐民，量子化学第一版（上），第四章，科学出版社，1981。（程度较深）,2.1
5、.3 求解F方程,方程有两个线性独立解，通解为它们的叠加。由于其他原因（见2.2节课件），我们取解为：,边界条件：,由归一化条件：,完整的解为：,2.1.4 Q方程的解,求解这个方程，得：,令l=k+|m|，则l=0,1,2, 显然|m|l，l称为角量子数,2.1.5 R方程的解,求解这个方程，得：,n称为主量子数,结果小结：,能量本征函数：,能量本征值：,n，l，m是解薛定谔方程时得到的量子数，都取整数，且满足如下关系：,n = 1, 2, ; l = 0, 1, , n-1; m = 0, 1, , l,球坐标系复习（必须掌握）：,积分计算：,体积微元：,积分表达式：,物理量的计算：,某物理量A，归一化波函数记为,解：,