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1、2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：1评阅试卷时，请依据本评分标准填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。） 1设集合，则E的真子集的个数为 2已知函数的最大值为，则实数 3若，则使函数为奇函数的的个数为 4在中，已知的平分线交AC于K若BC=2，CK=1，则的面积为 5数列满足：，且记的前项和为，则 6已知，过
2、作直线的垂线，垂足为若，则 7已知实数满足，则的最小值为 8将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9已知二次函数的图象经过点，且不等式对一切实数都成立（1）求函数的解析式；（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围10已知数列中，且（1）求数列的通项公式； （2）求证：对一切，有11设，求使为完全平方数的整数的值2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）1 15 2 5 3 3 45 89 6 -2 7 1
3、2 8 26 9 解:（1）由题设知， 令，解得，由题意可得，即，所以，即 由、可得 4分又恒成立，即恒成立，所以，且，即，所以，从而因此函数的解析式为 8分（2）由得，故 当即时，此不等式对一切都成立的充要条件是，此不等式组无解当即时，矛盾 12分当即时，此不等式对一切都成立的充要条件是，解得综合可知，实数的取值范围是 16分10解: （1）由已知，对有 ，两边同除以n，得 ，即， 5分于是， 即 ，所以 ，又时也成立，故 10分（2）当，有,15分所以时，有又时，故对一切，有 20分11设，求使为完全平方数的整数的值解: 所以，当时，是完全平方数 5分下证没有其它整数满足要求（1） 当时，有，又，所以此时不是完全平方数10分（2）当时，有令，则，即，所以 ，即解此不等式，得的整数值为，但它们对应的均不是完全平方数综上所述，使为完全平方数的整数的值为10. 20分4