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1、4.3 Kalman滤波器,状态空间方程：,状态(转移),观测方程,已知:,假设:,Kalman 滤波问题 (一步预报)：,已知含噪数据 ，求 无噪声的估计值:,新息方法：,新息 (innovation),称 为 的新息过程向量。,性质1: (正交),是不同于 的新过程,性质2: ， 是个白噪声过程,性质3: （一一对应关系) 保留有 的所有信息,估计,状态向量估计误差：,相关矩阵：,：Kalman 增益矩阵,校正项,：Kalman 增益矩阵,：Kalman 新息,例： 是一个时不变的标量随机变量， 为 观测数据,其中 为白噪声。若用 Kalman 滤波器自适应估计 ，设计 Kalman 滤波
2、器。,设计过程： 构造状态空间方程； 设计x(n)的更新公式,状态方程,观测方程,4.4 LMS自适应算法,随机优化问题,LMS: Least Mean Squares,Wiener 滤波器:,最陡下降法,真实梯度,最陡下降法的改进:,牛顿法:,确定性优化 也称随机逼近最优化。求解的方法称为随机逼近方法。,后验估计误差：,先验估计误差：,梯度向量,维纳滤波器：,缺点：真实梯度含数学期望，不易求得。,梯度下降算法：,真实梯度,步长参数, 学习速率,改进：,梯度估计,瞬时梯度：,先验估计误差,基本的LMS算法：,最陡下降法 LMS算法,渐近无偏估计,瞬时梯度分析：,均值收敛：,均方收敛：,梯度下降
3、法要求不同时间的梯度向量(搜索方向)线性独立。,LMS算法的独立性要求：,代入上式，可得,其中,若 的所有对角元素绝对值1，即,则极限 (等比级数求和),结论：,(均值收敛条件),均方收敛条件：,收敛为维纳滤波器，且收敛与初始值w(0)选择无关,由于迹 ，故两条件可合并为,和极限,均方收敛 均值收敛,偏小 收敛慢 跟踪性能好,缺点： 偏大 收敛快 跟踪性能差, 固定学习速率： (常数),自适应学习速率参数, 时变学习速率： (递减)，模拟退火法则, “换档变速”方法：固定+时变,例1. (先搜索，后收敛), 自适应学习速率：“学习规则的学习”,例2. (先固定，后指数衰减),和 正的常数,LM
4、S算法的改进,归一化 LMS (NLMS) 算法 解相关 LMS 算法,时， 比 合理,4.5 RLS算法,矩阵求逆引理：,增益向量,即,RLS算法：,非平稳，,R(0), 越小越好,统计性能分析：,权误差向量,权误差向量的相关函数矩阵,均方误差,最小均方误差,剩余均方误差,当 时，称 为稳态剩余均方误差,算法的收敛速率,算法的跟踪性能,LMS、RLS、Kalman滤波算法的统计性能比较：, 均方误差曲线,跟踪能力越好，曲线稳态越接近横轴, 均值、离差,多次实验统计结果,均方误差,样本个数,收敛点,稳态剩余误差,三种滤波算法的比较: (LMS, RLS, Kalman), 计算复杂度：LMSRLSKalman 相差不大,下的Kalman滤波算法, RLS算法是“无激励”状态空间模型, 收敛速率比较,LMS: 越大，学习步长越大，收敛越快,RLS: 遗忘因子 越大，遗忘作用越弱，收敛越慢,时变学习速率、时变遗忘因子,Kalman无收敛问题，无收敛参数, 跟踪性能,希望LMS算法的 越小越好,跟踪好坏：LMS RLS Kalman,希望RLS算法的 越大越好,习 题,题4.16 (Kalman滤波) 题4.19 (Kalman滤波) 题4.20 (LMS算法),