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1、3-5 线性系统的稳定性分析,稳定性的基本概念 线性系统稳定的充要条件 Routh Hurwitz 稳定判据 Routh Hurwitz 判据的特殊情况 Routh Hurwitz 判据的应用,第三章 线性系统的时域分析法,2,1. 稳定性的基本概念,例2. 曲面波,例1. 单摆,稳定平衡点 不稳定平衡点,小范围稳定,系统状态,稳定的 临界稳定 不稳定,稳定性：扰动作用 偏离平衡状态 产生初始偏差 扰动消失 恢复到原平衡状态,胡p110,1892-李雅普诺夫Lyaponov,系统在初始扰动的影响下，动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零,大范围稳定,稳定,系统自身的固有特性,第三章 线性系统的时
2、域分析法,3,2. 线性系统稳定的充要条件,BIBO 与平衡点稳定性,有界输入有界输出稳定性 BIBO：零状态下，系统对有界输入信号的响应是有界的。 零状态稳定 平衡点稳定性Lyaponov渐进稳定 ：零输入情况下，系统在初始条件作用下能回到原工作条件状态。 零输入稳定,系统完全响应,零状态响应C0S(s),零输入响应C0i(s),零极点对消：闭环系统的零点可对消位于右半s平面的极点，使其它的极点都位于左半平面，则系统稳定。,胡p111,第三章 线性系统的时域分析法,4,3. Routh1877 Hurwitz1895 稳定代数判据,（1） Hurwitz 稳定判据稳定的必要条件,特征方程,稳
3、定的必要条件:,系统稳定 多项式所有系数必须符号相同且不为零,系统不稳定,系数均为正数系统稳定!,胡p111,第三章 线性系统的时域分析法,5,3. Routh1877 Hurwitz1895 稳定代数判据,（1） Hurwitz 稳定判据稳定的充要条件,系统稳定 多项式所有系数主行列式及顺序主子式全部为正,胡p112,第三章 线性系统的时域分析法,6,Hurwitz 稳定判据例题,系统不稳定,3. Routh1877 Hurwitz1895 稳定代数判据,第三章 线性系统的时域分析法,7,3. Routh1877 Hurwitz1895 稳定代数判据,（2） Routh 稳定判据稳定的充要条
4、件,闭环系统稳定 Routh表第一列系数均为正,特征方程,Routh判据 Q(s)的正实部根的数目同 判据表中第一列的系数符号变化次数相同。,Routh判据与Hurwitz 稳定判据实质是一致的,卢p52；胡p112,第三章 线性系统的时域分析法,8,4. Routh Hurwitz 稳定判据一般情况,情况1：首列中没有元素为零,稳定的二阶系统 特征多项式的系数全为正或全为负,第三章 线性系统的时域分析法,9,4. Routh Hurwitz 稳定判据一般情况,情况 1：首列中没有元素为零,三阶系统稳定的充要条件,全部系数同号；a2a1 a0a3,系数同号，且a2a1= a0a3,系统临界稳定
5、,第三章 线性系统的时域分析法,10,4. Routh Hurwitz 稳定判据一般情况,情况 1：首列中没有元素为零,首列元素出现了2次符号变化 Q（s）有2个根在右半平面,第三章 线性系统的时域分析法,11,4. Routh Hurwitz 稳定判据特殊情况,情况2：首列中有零元素，且零元素所在的行中存在非零元素,用一个很小的正数 来代替零元素参与计算， 再令0 即可得到真正的判定表,（4 -12）/ -12/ -,(6c1-10 )/c1 6,2次符号变化 Q（s）有2个根在右半平面，系统不稳定。,解决方法,例6,第三章 线性系统的时域分析法,12,4. Routh Hurwitz 稳定
6、判据特殊情况,情况2：首列中有零元素，且零元素所在的行中存在非零元素, (K)/ -K/ ,对于任何K，系统不稳定,-K/ 0 K0,稳定,例7,第三章 线性系统的时域分析法,13,4. Routh Hurwitz 稳定判据特殊情况,情况3：首列中有零元素，且零元素所在行的其它元素均为零,系统不稳定，有一个正实部的根 令F(s)=0得：s=+2，-2，+j，-j,用零行的上一行构成一个辅助多项式，并进行求导后的系数代替该零行，继续下面的计算。,解决方法,例8,Hurwitz 稳定判据必要条件判断:s4 s1的系数小于零，系统不稳定,第三章 线性系统的时域分析法,14,4. Routh Hurw
7、itz 稳定判据特殊情况,情况3：首列中有零元素，且零元素所在行的其它元素均为零,8-K/ 20 K0,K=8，s1行均为零元素，虚轴上有两个根，系统是临界稳定，且响应为持续振荡。,0K8，系统稳定,借助辅助多项式U(s)来掌握特征根分布情况。辅助多项式U(s)对应于Routh判定表中零元素的前面一行，一般为偶数多项式，其阶数表示了对称根的对数。,求特征根,例9,第三章 线性系统的时域分析法,15,4. Routh Hurwitz 稳定判据特殊情况,情况4：特征方程在虚轴上有重根,令Q(s)=0得：s=+j2， - j2，-2j，2j 即两对在虚轴上的单根。故系统临界稳定。,特征方程在虚轴上仅
8、有单根，系统响应是持续的正弦振荡，称为临界稳定。,例10,Hurwitz 稳定判据必要条件判断: s3及s1的系数为零，系统不稳定,卢p54,第三章 线性系统的时域分析法,16,4. Routh Hurwitz 稳定判据特殊情况,情况4：特征方程在虚轴上有重根,在虚轴上有重根，系统则不稳定。, 0 系统临界稳定,重根！,系统不稳定,例11,4 4,2,第三章 线性系统的时域分析法,17,Routh 判据主要用于判断系统的稳定性 Routh 判据不能表明系统特征根在s平面上相对于虚轴的距离 系统不稳定，判据不能直接指出使系统稳定的方法；系统稳定，判据也不能保证系统具备满意的动态性能。 Routh
9、 判据可应用于判定给定稳定度下的系统稳定性 为了使稳定的系统具有良好的动态响应，常希望在s左半平面上系统特征根的位置与虚轴之间有一定的距离。因此可在s左半平面上作s=-a的垂线，用新变量s1=s+a代入原系统方程，得到以s1为变量的新特征方程，应用Routh判据，可以判定系统的特征根是否全部位于s=-a垂线之左 Routh 判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响，即确定一个或两个使系统稳定或使系统特征根全部位于s=-a垂线之左的参数取值范围,5. Routh Hurwitz 判据的应用,第三章 线性系统的时域分析法,18,5. Routh Hurwitz 判据的应用,例12,例题胡p117,第三章 线性系统的时域分析法,19,5. Routh Hurwitz 判据的应用,例题胡p117,第三章 线性系统的时域分析法,20,5. Routh Hurwitz 判据的应用,例题 13（ 314）,例题胡p135,