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1、充分必要条件常见题型 山东 胡大波一、 直接判断型直接判断型即利用充分必要条件的定义，其思路为：（1）首先分清条件是什么，结论是什么；（2）然后尝试用条件推结论，或用结论推条件；（举反例说明其不成立是常用的推理方法） （3）最后再指出条件是结论的什么条件。 例1、 “a1”是“函数在区间上为增函数”的（ ）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 解：当a1且时，x1，显然函数f（x）x1在区间上为增函数，而当时，函数xa在区间为增函数，故选A.点评：在判断充分条件、必要条件、充要条件时，首先应弄清哪一个是“条件”，哪一个是“结论”，因为同样是AB，如果A是
2、条件，B是结论，则A是B成立的充分条件；如果B是条件，A是结论，则B是A成立的必要条件，其次，再判断是条件蕴含结论，还是结论蕴含条件，即判断到底向哪一边推结论才成立，明确了这两点，就不难对问题作出正确的判断。二、集合判断型例2、设p：，q：，则p是q的（ ）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 解：由或，即；由，即，显然，则p是q的充分不必要条件，故选A.点评：充要条件可以从集合的包含关系的角度来理解它们之间的对应关系，设满足条件p的对象组成集合p，满足条件q的对象组成集合Q.（1）若，则p为q的充分条件，其中当时，p为q的充分不必要条件。（2）若，则p
3、为q的必要条件，其中当时，p为q的必要不充分条件。（3）若，且，即PQ，则p为q的充要条件。（4）如果以上三种关系均不成立，即P、Q之间没有包含或相等关系（PQ且QP）此时或P、Q既有公共元素，也有非公共元素，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件。三、传递法判断型若，则，即A是D的充分条件，利用这一结论可研究多个命题之间的充要关系。例3、已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，你们s，r，p分别是q的什么条件？解析：用箭头符号“”画出表示题设条件的图形（如图），由图，知srq，所以sq，又qs，所以s，即s是q的充要条件。由rq，qsr，得rq，即r是q的充要条件
4、。由qsrp，得qp，故p是q的必要条件。 四、条件证明型 关键是弄清条件与结论之间的关系，分两步证明，即证明充分性和必要性。 例4、设a，b，c为ABC的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是 分析：区分条件与结论，证明充分性是由条件结论，证明必要性是由结论条件。 证明：充分性：因为，所以于是方程可化为，所以，所以，该方程有二根， 同样另一方程也可化为，即，也有二根，可以发现，所以方程有公共根。必要性：设是方程的公共根，则 由（1）（2）得 代入（1）并整理可得所以，所以结论成立。点评：对论证充要条件要分清“充分性”和“必要性”，然后分别作出相应的证明。五、条件探索型探求充要条件的问题一般有
5、两种处理方法，一是将题意等价转化，进而化简求得，二是先由题意求出条件，再证明充分性。例5、已知关于x的一元二次方程（）， 求方程和的根都是整数的充要条件分析：根据方程和有实根且实根为整数，先求出整数m，然后再确定它是否具有充分性。解：方程有实数根的充要条件，解得所以，而，故m1或m0或m1当m1时，方程为，无整数根；当m0时，方程为，无整数根；当m1时，方程为，方程，和均有整数根。从而，和均有整数根m1；反之，1，方程为，方程为，和均有整数根，所以和均有整数根的充要条件是1. 点评：对于求充要条件问题，一般地要先求出必要条件后，再证明具有充分性。 （注：素材和资料部分来自网络，供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）