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1、数量金融建模Emanuel Derman在十届全球风险年会上的讲演Emanuel Derman是高盛公司数量策略部门的董事总经理。这篇文章是他在第十届全球风险年会上的讲演。 在被交易的证券的现实世界中，Black,Scholes和Merton的假设很少能被严格满足。但是他们把复合衍生品看作股票和债券的组合的观点抓住了真理的核心，为模型的健壮性提供了基础。 同样的策略-把一些复杂的东西看作简单事物的非线性组合-是收益率曲线模型的基础，在这种思路下，可以把互换看作一些债券组合的逼近。同样，隐含树模型认为奇异期权是不同交割价和到期日的vanilla期权组合的逼近。 期权理论能够很好的运作是因为它是相
2、对地而不是绝对地定价。一个必要条件就是被学术界蔑视的对价格调整的主张：没有使得衍生品价格和基础证券的价格在一些条件下相符合的努力,价格的相对性就没有基础。 基准证券和线性 股票期权可以和分子由不可见的原子组成相类比，我们用这个原理来理解基本的化学和合成过程。这里，股票是原子：衍生品的不可约的组成部分。 但这种相似性也是有限的。在物理学中，我们有对原子物理基本原则的深刻了解从而来支持化学，但是在金融学中，我们了解期权的原理-分子化学-更多于对股票原理的理解。这并非没有先例，19世纪的化学领先于20世纪的物理学。在现在，我们的股票模型缺少深刻的结构和坚实的原理。于是，大部分的传统的权益模型专注于数
3、据之上。 但在债券上，情况有所不同。虽然他们是固定收益市场的基础，利率从债券价格中获得。但是人们把利率看作基准证券，把债券价格看作非线性衍生品种。于是，即使最简单的金融工具也是非线性的，需要利用数学来近似逼近。那就是为什么在固定收益领域有比在权益市场中多得多的数量建模员和计算机科学家。 传统模型的局限性 传统模型能在哪里使用？“理论”，在自然科学中，意即，找出基本变量，并且利用他们之间的基本动态关系来描述世界的其他部分。 但是自然科学理论是人和上帝的游戏，利用一些显见的变量，例如位置和动量，及一些基本原理，如Newtons，我们相信独立于人类的存在，永远正确。我不相信这种独立性象看上去那么显然
4、，最近的宇宙学理论说我们的宇宙有很多小宇宙所构成*，每一个都是收缩的，并且每一个都有不同的原理。 *译者注：超弦理论认为物质最小单位不是原子，夸克，而是尺度更小的弦，弦的运动形成了很多个小宇宙，也就是数学上的Calabi-Yau流形，每一个这样的流形都是卷曲的，由于很小所以并不能看到，我们在现实世界中只能观察到三个维度，如果再加上时间，就是四维。 在金融世界中，相反的，是人与人之间的游戏。但是人类的金融变量很清楚并不是普适：他们是一些数量-期望收益和期望风险-不可能独立于人而存在；只有人才会有期望。并且这些变量常常是隐藏的或者观察不到-他们是只能从一些其他交易的数量所观察到的隐含变量的理论的一
5、部分。但是人的期望和策略都是暂时的，不象物理学家的永恒的上帝。因此金融模型从来不能提供象物理学中8位精度那样的预测。 工程上的进步常常跟随着科学理解上的进步。工业革命起于力学和热力学。计算机革命需要布尔代数和固态物理。刚刚开始的基因工程和免疫学的生物工程革命，需要DNA结构和基因密码。 最后，我不认为物理学和基因学是金融和经济学可以适用的模型。物理学有不可交换法则，有通过数学形式表达的很强的预测力量。你一般会预期物理学的教科书纯粹和严格。金融学有很少的动态原理和很弱的预测能力，你大概预期它的教科书将会有些粗略。 那么为什么现在金融学书常常看上去象纯数学，充满了公理，而物理学看上去更象是应用数学
6、？公理化的程度看上去和实用型成反比。这种不自然的不均衡让我想起了倒转收益率曲线，或者权益市场中固定不变的偏度：如果不隐含着崩溃，那么它能够持续多久？ Black,Scholes和Merton是衍生品领域中的牛顿。他们不仅创造了，而且完备了整个领域，金融学中唯一以原理而成熟的工业革命。我们现在生活在牛顿之后的世界，还要等很久爱因斯坦才能出现。我们还将不断地看到衍生品模型的扩展和相对定价的发展。我们还有什么可以预测？ 有效想法的扩展 期权定价理论用到了以下几个原理：（1）一价定律；（2）期权复制的动态策略；（3）基准证券的对数正态发展；（4）模型对已知市场价格的调整。我们能期望这些原则有什么扩展？
7、 *理性胜于巫术。期权理论是理性和谨慎的，在逻辑的基础上建立。它非常数学化，但数学是第二位的。数学是表达动态的语言。还有许多交易员，甚至期权交易员，对数学-对奇怪的数字-魔术，模式，曲线拟合和预测有一种没有理由的品味。我想我们还会不断见到关于依赖真实世界想法的用数学形式表达的成功模型，而不仅仅只是数学公式。 *更好的根据真实世界调整理论。真实世界违背大部分的期权定价原则。流动性问题和交易费用削弱了一价定律。波动性是随机的。复制既不是连续也不是免费的。结果是，当你重新对冲，允许小的，但是不可避免的，现实和对冲波动律之间的不一致。模拟可以说明无风险对冲期权的损益有令人惊奇的大的方差。你或许会奇怪，
8、期权交易怎样获得利润。 我想真相就是大部分的交易员并不是完全了解他们利润和损失的来源。我期望可以有更多的关于现实环境中期权损益表实际的分析。Leland 1985年的关于交易费用的文章是一个好的开始。更近的，Ajay Gupta(July 1997,page 37)在风险杂志上的一篇文章开始研究隐含波动率和现实波动率之间不一致的影响，在精神上和我们在高盛做的分析一致。 * 远期作为基础。过去20年中模型的进步和利用远期价格而不是即时价格作为模型的数学基础有很多的关系。这是heath,Jarrow和 Morton(1992)对收益率曲线建模的本质，同样的想法能应用到波动率上面。最近 Brace,
9、Gatared&Musiela(1997),Jamshidian(1996)和其他一些关于利率的市场模型与这个概念有很近的联系。 *调整(Calibration)。一个好的交易模型必须既和已知流动证券的价格符合，又能实际地反映未来市场变量的变动范围。很少有模型满足这一点。学术界偏好那些理想的发展模型 ，但是对冲的实务者不能没有很好拟合数据的模型。用一个错误估计债券价格的模型给债券期权定价没有什么好处。如果我一定要选择，我认为确定性更好-先得到证券的正确价格-并且希望对随机的估计误差有一定的鲁棒性。显然，这不太完美。我希望看到在构建既和市场价格拟合又有现实发展的模型方面有进展。 * 隐含变量的智
10、慧。在金融中，很少有对未来价格的知识。隐含价格是使模型符合市场的理性预期，提供了最好（有时候是唯一）的对人们预期的洞察。在最近的股票市场调整中，崩溃前不同交割价的期权的隐含波动率给出了崩溃后评价隐含波动率水平和方差的一个很好的指标。我希望看到基于隐含变量-隐含远期利率，相关系数和信用跃迁-模型继续在实用性和复杂性上面发展。 *交易变量作为随机因子。几年以前，有一股倾向，在数据中出现的任何主要成分上建立随机模型，不管它们有多么地不自然。现在的情况是，对那些有代表性的交易工具进行建模，我们可以感觉到这些倾向。利率的市场模型在这方面的发展是有吸引力的一步。他们直接对可交易的，离散的证券的发展建立模型
11、，并且直觉地验证简单的定价公式。我喜欢那些可以掌握透彻的随机因子的模型。金融学还没有成熟到可以依赖一些深奥的动态变量。 *计价单位变换(change of numeriare)。这种方法，最早由Margrabe(1978)提出。当我们以另外一种货币的角度观察的时候，可以简化复杂的问题为简单的，已经被解决的问题。这种技巧已经一再地得到使用。 价值有限的技术 * 优化。优化对那些不在这个行业里面生活的人听上去很有活力，但是在现实的金融中，我没有发现它的作用。我有些尴尬的承认在我们高盛的权益期权小组中很少使用优化程序。在工程上-一些原则可以很清楚地得到理解，或者在类似旅行者-推销员-类型问题上- -
12、其中一条路经由所有可能的路径，每一条路径的长度都知道-优化有明显的作用。 在金融理论中，相反，每一个情景都不是准确的-有一个粗糙的利率模型，一个粗糙的提前支付模型和其他一些错误的模型。虽然平均起来能够去除其中许多错误。但是使用优化却有可能加强这些错误。所以我个人很怀疑优化在金融中的应用，虽然并不是说他永远没有意义，只是应该被谨慎的使用。 *资本资产定价模型。提供了最早得到Black-Scholes方程的框架，关于风险和回报的想法渗透近交易的所有想法中，但是在现实中，我们很少用它。 * 高维问题。金融理论看上去在用到那些小维度的问题上有更高的成功性。 新的方向 *基准（Underlyer）模型。
13、我们需要高级的基准模型，但是我们缺少除了对数正态之外的更好的一般的规律。在现实世界中，有胖尾，跳跃，汇率带和其他一些异常现象，经典物理从一个粒子的确定运动开始，并且渐渐发展到统计现象。在金融中，即使一个股票也存在着不确定性。最广阔的理论发展将是一些关于基准的新理论：可能有一种方法“衍生化 ”基准为一些更加基本的变量。但我现在不知道会是什么，从行为金融学到混沌理论，都在寻找实际应用。 * 计算机和电子市场。计算机还将是金融市场发展的推动力。高速计算机允许电子市场象交易股票一样交易期权。期望更快的交易，更少的中间化，更直接的资本连接。交易系统不得不适应这些变化。在电子市场中快速接触信息变得更加重要
14、。有限的人工智能模型将会在大信息量和逻辑简单的领域找到应用。规则系统将会很好地工作。与模型相比，更容易看到计算机能力的优势。计算机提升了显示和检验多维风险情况的价值。 *在模型世界中最近的一些社会文化变化。你不需要再为在电梯中讨论数学而道歉，因为这已然成为一种很酷的表现。 金融理论看上去正在从各个方向走出大学中的商学院。一面走向科学，一面走向实践。另外，高级金融研究正在华尔街蓬勃地发展，和大学相比，甚至有过之而无不及。有大量的金融理论学术研究者投入银行业。即使是实务者写的教科书也会引用各种理论。另一方面，金融理论正在成为应用数学的一门课程。数学系提供金融工程学位，数学家写了很多关于期权定价的书
15、本。使得应用数学家不需要很多努力就可以获得期权定价的博士学位。 期权定价模型正在变得商品化，很便宜就可以得到。开发风险管理系统的公司将会变得更加普遍。风险咨询将会变得平常和普通。大的公司还是愿意自己来完成这一切，但对一些小一点的公司而言，可以在市场上买到大部分他们所需要的服务 结论从和交易员一起工作的角度，我认为模型就象是量子物理学家所用的思想实验。在脑子里面，或是在纸上，对物理世界，现实世界做想象的压力测试，从而获得对世界认识的一些矛盾看法。爱因斯坦,在思考狭义相对论的时候，考虑这样一个问题：如果他坐在光线上，将会发生什么？ 薛定鄂对量子力学的深刻思考使得他考虑下面这个问题：想象一只关在封闭
16、盒子中的放射原子猫（薛定鄂猫），你的观察使得它会触发一个计数器从而释放毒气。 我想这才是金融中数学模型的正确用法。大部分时候，世界的运作并不和模型相一致，模型是为了和现实做逼近，用一些你能想到的可观察的变量。因此，你可以问自己，如果波动性变化或者收益率曲线变化，会发生什么？你会获得一个你可以理解并描述的数字。 当你观察用数量模型来对复杂的证券进行定价和对冲时，你必须要有好奇心，而且必须是一个怀疑论者。考虑一个抵押债券：你用一个半接近现实的利率发展模型和一个粗糙的模型来模拟提前支付，模拟上千次的未来情景来对抵押债券的曲率进行估价。然后你按照这个价格支付。这即使不算非常荒谬，也有一点令人惊奇。相信这个模型的最强烈的理由，只是因为这个模型是基于理性和深刻地思考，而且没有比更好的方法。这种情况还会继续，但我想这其实是一个好消息。10