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1、第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（初二组）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将 表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。）2 2 2 2 21已知 a + b = 5 ，则 a- a b + b +ab + ab 等于（）。a + ab + bA. 5 B.【答案】A【解析】52C.2D. 2 5a2 - a2b2 + b2 + 2ab a2 + b2 + 2ab + a2b + ab2+ ab =a + ab + b a + ab + b= (a + b)(a + ab + b) = a + b = 5a + ab + b2如右
2、图，已知 AE = DE = 5, AB = CD, BC = 4 ， E = 60o ，B CADA = D = 90o ，那么五边形 ABCDE 的面积是（）EA. 6 2 B. 6 3 C. 7 2 D. 7 3【答案】D【解析】连接 BE 、 EC ，延长 BC 交 EA 延长线和 ED 于 F , G 。过 E 作 EH BC 于 H 。由 题意得 DABE DDCE ，所以 EH 平分 FEG ，所以 DFEG 是等腰三角形，又因为AED = 60， 所以 DFEG 为 等 边 三 角 形 。 所 以 AF = DG 。 设 AF = DG = x ， 则FB = GC = 2x，
3、 此 时 有 4 + 4x = 5 + x 得 到x = 13。 代 入 可 得 面 积 为(5 + 1)(5 + 1) 3 - 2 1 13 3 3 33 = 7 3F B H C G A DE x + 2y = 13已知方程组： y + x = 2，其中x, y 分别表示不大于 x, y 的最大整数，则该方程组的解有（）个。A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由第二个式子可知 x 是整数，由第一个式子可知 y 的小数部分 y - y 为 0 或者 1 。2两式相减化简得到 y + ( y - y) = -1 ，所以 y = -1, - 3 代入验证后均符合题意，故此2方程组有 2 组
4、解4某超市以每件 10 元的进价购进 200 件玩具，销售人员预期最近的促销活动：单价是 19 元时只能卖出 100 件，而单价每降低 1 元则可以多卖出 20 件。那么单价是（ ）元时， 此次促销活动的预期获利最大。A.15B.16C.17D.18【答案】C【解析】设服装降价 x 元，此时可卖出100 + 20x ，此时服装的利润为(19 - x -10)(100 + 20x) = -20x2 + 80x + 900= -20(x - 2)2 + 980故 x = 2 时利润最大，此时单价是 17 元5如下图所示，韩梅家的左右两侧各摆了 3 盆花。韩梅每次按照以下 规则往家中搬一盆花：先选择
5、左侧还是右侧，然后搬该侧离家最近 的，要把所有的花搬到家里，共有（ ）种不同的搬花顺序。A.8B.12C.16D.20【答案】D【解析】 韩梅每次只能选择搬左侧或者右侧的花，左侧和右侧分别只能选择三次，我们将三个左和三个右组成的排列（例如：左左右左右右 是一种排列）分别对应一种搬花的顺序，并且 不同的排列对应不同的搬花的顺序。所以三个左和三个右组成的排列的个数与搬花顺序的个 数相同。故只需考虑所以三个左和三个右组成的排列的个数。对于这种排列只需要考虑在 66个位置中选择三个为左的个数，这样的个数一共有C3 = 20 。16已知 x + -x5 = 0 ，则 x16 - 46x8 - 6x4 -
6、 3x2= （）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由 x + 1 -x5 = 0 ，可得 x + 1 =x5 ， x2 + 1x2= 3 ， x4 + 1x4= 7 ， x8 + 1x8= 47化简得x4 - 3x2 = -1 ， x8 - 7x4 = -1， x16 - 47x8 = -1所以 | x16 - 46x8 - 6x4 - 3x2 |=| x16 - 47x8 + x8 - 7x4 + x4 - 3x2 |=| -1+ -1+ -1|= 3二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）ADE7如右图， ABCD 是长方形， AB = 1, BC = 2， EBC = 15o
7、 ，E 在 AD 的延长线上，则 CE 等于 。【答案】2【解析】15B C在 AE 上 去 一 点 K 使得 BK = 2， 连 接 BK ， 则AKB = 30， 所以 KBE = CBE = 15 ，所以 KBE = KEB = 15 ，于是有 EK = BK = 2 ，所以四边形KBCE 为平行四边形，所以 CE = BK = 2 。A K D EB C8如右图，乙是主河流甲的支流，水流流向如箭头所示，主流甲和支流的水流速度相等，船在主流和支流中的静水速度也相DCA乙等。已知 AC = CD ，船从 A 处经 C 开往 B 处需用 6 小时，B从 B 经 C 到 D 需用 8 小时，从
8、 D 经 C 到 B 需用 5 小时，则船从 B 经 C 到 A ，再从 A 经 C 到 D 需用 小时。【答案】12 13【解析】设 AC = CD = a ， CB = b ，静水速度为 v ，水流速度为 s 。由题意得a + b = 6v - s v + sa + b = 8v - s v - sa + b = 5v + s v + s由后两个式子可以得到1 =8 ， 1 =5 代入第一个式子化简得到 b = 2av - sa + bv + s a + b船从 B 经 C 到 A，再从 A 经 C 到 D 需用时： b + a + 2a = (2a + b) 8 + a 5 = 21a
9、+ 8b v - s v + s v - s a + b a + b a + b将 b = 2a 代入得到21a + 8b = 21a +16a = 37 = 12 1a + b a + 2a 3 39如右图，三角形 ABC 中， BD 平分 ABC ， AD 垂直于 BD ，三角形 BCD 的面积为45，三角形 ADC 的面积为 20，则三角形 ABD 的面积等于 。【答案】25【解析】延长 AD 交 BC 与 E ，由于 BD 是 DABE 的 BE 边上的高和角平分线。所以 AD = DE 。所以 SDACD = SDCDE = 20 ，SDABD = SDBDE ，所以 SDABD = SDBDE = SDBDC - SDCDE = 45 - 20 = 25ADB E C10已知 A, B, C, D, E 代表 1 至 9 中不同的数字，ABCD + EEE = 2015 ，则 ABCD EEE+的最大值等于 。【答案】961926【解析】首先，和一定时，差越小积越大，所以 EEE 越大，乘积越大。验证 E = 9, 8, 7 时均无解，而当 E = 7 时， ABCD = 1238 ， EEE = 777 ，此时符合题意且积最大，此时积为1238 777 = 961926 （注：素材和资料部分来自网络，供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）