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1、2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(山东卷)第卷(共60分)20(2013山东，文20)(本小题满分12分)设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足，nN*，求bn的前n项和Tn.20解：(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S44S2，a2n2an1得：解得a11，d2.因此an2n1，nN*.(2)由已知，nN*，当n1时，；当n2时，.所以，nN*.由(1)知an2n1，nN*，所以bn，nN*.又Tn，两式相减得，所以Tn.21(2013山东，文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)ax
2、2bxln x(a，bR)(1)设a0，求f(x)的单调区间；(2)设a0，且对任意x0，f(x)f(1)试比较ln a与2b的大小21解：(1)由f(x)ax2bxln x，x(0，)，得f(x).当a0时，f(x).若b0，当x0时，f(x)0恒成立，所以函数f(x)的单调递减区间是(0，)若b0，当0x时，f(x)0，函数f(x)单调递减当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.当a0时，令f(x)0，得2ax2bx10.由b28a0得x1，x2.显然，x10，x20.当0xx2时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当xx2时，f(x)0，
3、函数f(x)单调递增所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.综上所述，当a0，b0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；当a0，b0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是；当a0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)由题意，函数f(x)在x1处取得最小值，由(1)知是f(x)的唯一极小值点，故1，整理得2ab1，即b12a.令g(x)24xln x，则g(x)，令g(x)0，得x.当0x时，g(x)0，g(x)单调递增；当x时，g(x)0，g(x)单调递减因此g(x)11ln 40，故g(a)0，即24aln a2bln a0，即ln a2b.22(2
4、013山东，文22)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)A，B为椭圆C上满足AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设，求实数t的值22解：(1)设椭圆C的方程为(ab0)，由题意知解得a，b1.因此椭圆C的方程为y21.(2)当A，B两点关于x轴对称时，设直线AB的方程为xm，由题意m0或0m.将xm代入椭圆方程y21，得|y|.所以SAOB|m|.解得m2或m2.又(2m,0)(mt,0)，因为P为椭圆C上一点，所以1.由得t24或t2.又因为t0，所以t2或t.当A，B两点关于x轴不对称时，设直线AB的方程为ykxh.将其代入椭圆的方程y21，得(12k2)x24khx2h220，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由判别式0可得12k2h2，此时x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2h，所以|AB|.因为点O到直线AB的距离d，所以SAOB|AB|d.又SAOB，所以.令n12k2，代入整理得3n216h2n16h40，解得n4h2或n，即12k24h2或12k2.又(x1x2，y1y2)，因为P为椭圆C上一点，所以，即.将代入得t24或t2，又知t0，故t2或t.经检验，适合题意综上所得t2或t.2013 山东文科数学 第4页