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1、第一章 数与代数第一节 数的认识一、基础知识（一）整数：1.整数的读法和写法例：“3121700”读作：三百一十二万一千七百2.整数的近似数“四舍五入”3.整数的运算加法：减法：乘法：除法：四则混合运算：4.自然数：5.数的整除：整数a除以整数b(b0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。如果数a能被数b（b0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。个位上是0或5的数，都能被5整除。一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能
2、被9整除。 能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。偶数、奇数一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。注意：1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中
3、最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质。当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。（二）小数：1.小数的读法和写法:2.小数的分类：纯小数、带小数有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数；无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限.循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个
4、数叫做循环小数。（三）分数：1.分数的意义把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。2.分数的分类真分数：假分数：带分数：3.约分和通分把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。4.百分数表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。百分数通常
5、用%来表示。百分号是表示百分数的符号。（四）常见的量1.时间2.长度3.面积4.体积5.容积6.质量二、能力训练1一个九位数，最高位是是奇数中最小的合数，百万位上是最小的质数，万位上是最大的一位数，千位上是同时能被2和3整除的一位数，百位上是最小的合数，其余各位上都是最小的自然数，这个数写作_，读作_。2.三个连续奇数的和是645。这三个奇数中，最小的奇数是_。3.在一条长50米的大路两旁，每隔5米栽一棵树（两端都要栽），一共可栽_棵树。4.被减数减去减数，差是0.4，被减数、减数与差的和是2，减数是_。5.两个数的积是45.6，一个因数扩大100倍，另一个因数缩小到原来的,积是_。6.的分数
6、单位是_，它含有_个这样的单位，它的倒数是_。7.的分子加上12，要使分数的大小不变，分母应加上_。8.一个三位小数，保留两位小数取近似值后是5.60，这个三位小数最小是_，最大是_。9.5是8的_%，8是5的_%，5比8少_%，8比5多_%。10.自然数按因数的个数分，可以分为（ ）.A.奇数和偶数B.素数和合数C.奇数、偶数和1D.素数、合数、0和111.已知a+b=5，（a、b均为自然数），则a和b两个数的最大公因数是（ ）。A.5B.bC.aD.112.分数单位是1/11的最大真分数和最小假分数的和是（ ）。A21/11B.2C.20/11D.113.下面各组数，一定不能成为互质数的一
7、组是（ ）。A.质数与合数B.奇数与偶数C.质数与质数D.偶数与偶数 14.把210分解质因数是（ ）。A.21027351B.2102521C.2103527D.210=2521115.两个奇数的和（ ）。A.是奇数B.是偶数C.可能是奇数，也可能是偶数D.一定不是奇数16.一个合数至少有（ ）个约数。A.1B.2C.3D.417.有4、5、7、8这四个数，能组成（ ）组互质数。A.3B.4C.5D.618.四位数“3AA1”是9的倍数，则A=_。19.能同时被2，3，5整除的最大三位数是_。20.所有能被3整除的两位数的和是_。三、拓展提高1.在10以内任意选两个不同的素数，就可以写一个分
8、数，其中最小的是_。2.如果A和B是自然数，并且AB=5.那么A和B的最小公倍数是_，5是_的因数。3.两个素数的和是31，这两个素数的积是_。4.将循环小数和转换成分数。5.有三十个数：1.64,1.64+，1.64+，1.64+，1.64+，如果取每个数的整数部分（例如：1.64的整数部分是1,1.64+的整数部分是2）。并且将这些的整数相加，那么它们的和是多少？6.设一个五位数，其中d-b=3，若这个数能被11整除，则a的范围是_，c=_。7.能同时被2,5,7整除的最大五位数是_。8.六位数X2010Y能被88整除，则X、Y的取值分别为多少？A.X=9，Y=4B.X=7，Y=4C.X=
9、9，Y=8D.X=8，Y=49.有一大筐苹果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到这样的两堆，其苹果数之和与梨数之和都是偶数，最少要把这些苹果和梨分成_堆。10.有两个容器，一个容量为27升，一个容量为15升，如何利用他们从一桶油中倒出6升油来？第二节 比与比例一、基础知识1.比的意义和性质（1）比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项（比的后项不能是零）。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。根据分数与除法
10、的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。（2）比的性质：比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。（3）求比值和化简比求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。（4）比例尺数值比例尺：图上距离：实际距离=比例尺线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。2.比例的意义和性质（1）比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项
11、，中间的两项叫做内项。（2）比例的性质在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。（3）解比例根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。3.正比例和反比例（1）成正比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示y/x=k(一定）（2）成反比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比
12、例关系。用字母表示xy=k(一定)二、能力训练1.在比例中，两个内项的积是6，其中一个外项是，另一个外项_。2.如果y=5x，那么x和y成_比例。3.一幅地图上用5厘米表示实际距离20千米，这幅地图的比例尺是_。4.1.2千克250克化成最简整数比是_，比值是_。5.一个三个角形三个内角度数的比是141，这是一个_三角形。6.如果7x=8y，那么xy=_。7.男生人数比女生多20，则女生人数与男生人数的比是_，女生比男生少_。8.已知甲数的1/6相当于乙数的1/5，那么甲数的一半相当于乙数的_。9把一堆化肥装入麻袋，麻袋的数量和每袋化肥的重量（ ）A成正比例B成反比例C不成比例10和一定，加数
13、和另一个加数（ ）A成正比例B成反比例C不成比例11在汽车每次运货吨数，运货次数和运货的总吨数这三种量中，成正比例关系是（ ），成反比例关系是（ ）A汽车每次运货吨数一定，运货次数和运货总吨数B汽车运货次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数C汽车运货总吨数一定，每次运货的吨数和运货的次数三、拓展提高1.把280棵树苗栽在两块长方形地上，一块长15米，宽8米；另一块长12米，宽4米，如按面积大小分配栽种，这两块地分别要栽多少棵？2.配制一种农药，其中药与水的比为1150。要配制这种农药755千克，需要药和水各多少千克？有药3千克，能配制这种农药多少千克？如果有水525千克，要配制这种农药，需要放进
14、多少千克的药？第三节 计算和巧算一、基础知识1.运算定律（1）加法交换律：a+b=b+a。（2）加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c)。（3）乘法交换律：ab=ba。（4）乘法结合律：(ab)c=a(bc)。（5）乘法分配律：(a+b)c=ac+bc。（6）减法的性质：a-b-c=a-(b+c)。2.运算顺序（1）小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。（2）分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。（3）没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。（4）有括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。（5）第一级运算：
15、加法和减法叫做第一级运算。（6）第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。二、能力训练1.有13个自然数，小红计算它们的平均数精确到百分位是12.56，老师说最后一个数字写错了，那么正确的答案应该是_。2.直接写出得数：（1）_（2）8.50.01=_（3）0.199-0.1=_（4）_（5）27.25427.254=_（6）7779+11137=_（7）10.625=_（8）_3.计算下列各题：（1）123+234+345+456+567+678（2）789788788-788789789（3）1627+2701825（4）0.88812573+9993（5）67896789-67906788三
16、、拓展提高1.（1）（2）2.（1）（2）第二章 空间与图形第一节 平面图形一、基础知识1长方形（1）特征：（2）计算公式：c=2(a+b)；s=ab。2正方形（1）特征：（2）计算公式：c=4a，s=a。3三角形（1）特征：（2）计算公式：s=ah/2。（3）分类：按角分锐角三角形：直角三角形：钝角三角形：按边分不等边三角形：等腰三角形：等边三角形：4平行四边形（1）特征：（2）计算公式：s=ah。5梯形（1）特征：（2）计算公式：s=(a+b)h/26圆（1）圆的认识圆心：半径：直径：（2）圆的画法：（3）圆的周长：C =d，C=2r（d是直径，r是半径）（4）圆的面积：s=r27扇形（1
17、）扇形的认识：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。圆上AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。(2)扇形面积计算公式：。8环形(1)特征：由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。(2)计算公式：s=(R-r）。9轴对称图形特征：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴。等腰三角形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴。等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴。菱形有4条对称轴，扇形有一条对称轴。二、能力训练1.一个平行四边形底缩小10倍，高扩大10倍，这个平行四边
18、形的面积( )。A.大小与原来相等B.缩小10倍C.扩大10倍D.扩大100倍2.将一个长方形拉成一个平行四边形（四条边长度不变），它的面积( )。A.比原来小B.比原来大C.与原来相等D.无法比较3.两个完全一样的直角三角形，不可能拼成一个（ ）。A.梯形B.正方形C.三角形D.平行四边形4.在面积为42平方米的平行四边形内画一个最大的三角形，这个三角形的面积是（ ）。A.21B.30C.14D.425.周长都相等，（ ）的面积最大。A.正方形B.长方形C.圆D.一样大6.面积都相等，（ ）的周长最大。A.正方形B.长方形C.圆D.三角形7.下列叙述中，正确的是( )A只有一组对边平行的四边
19、形是梯形B矩形可以看作是一种特殊的梯形C梯形有两个内角是锐角，其余两个角是钝角D梯形的对角互补8等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则底角的度数是( )A30和150B45和135C60和120D都是909菱形和矩形一定都具有的性质是（ ）A对角线相等B对角线互相平分C对角线互相垂直D每条对角线平分一组对角10下列说法正确的是（ ）A对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B对角线互相垂直的平行四边形是菱形C对角线互相平分且相等的四边形是菱形D对角线相等的四边形是菱形三、拓展提高1.将一个平行四边形拼成一个长方形，面积_，周长_；将一个平行四边形拉成一个长方形，面积_，周长_。（填“增大”或者
20、“减小”）A变大B.变小C.不变D.无法比较2.能拼成一个平行四边形的两个三角形必须具备( )。A.面积相等B.形状相同C.完全一样D.任意两个均可3.周长相等的一个正方形，一个长方形，一个平行四边形，( )面积最大。A.正方形B.长方形C.平行四边形D.无法比较4.把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形的( )总是相等的。A.高B.面积C.上、下底的和D.无法确定5.一个三角形和一个平行四边形底相等，面积也相等，如果平行四边形的高是6厘米，那么三角形的高是( )厘米。A.6B.3C.12D.186.一个梯形的上底长36dm，如果补上一块底为64dm，面积为64dm2的三角形， 就变成
21、了一个平行四边形，这个梯形的面积是( )。A.200dm2B.136dm2C.272dm2D.68dm2第二节 空间图形一、基础知识（一）长方体1特征：2.计算公式：s=2(ab+ah+bh)，V=sh，V=abh（a表示长，b表示宽，h表示高）。（二）正方体1.特征：2.计算公式：S表=6a，v=a（a表示棱长）。（三）圆柱1.圆柱的认识：圆柱的上下两个面叫做底面。圆柱有一个曲面叫做侧面。圆柱两个底面之间的距离叫做高。2.计算公式：S表=S侧+S底2，V=sh/3。（四）圆锥1.圆锥的认识：2.计算公式：V=sh/3。二、能力训练1.一个正方体的底面周长与高分别与一个圆柱体的底周长和高相等，
22、那么体积比较（ ）A.正方体大B.圆柱体大C.两者一样大D.无法判断2.一个圆锥的底面半径和高都扩大2倍，体积扩大了（ ）A12倍B.8倍C.4倍D.6倍3.一个底面积为24平方厘米的圆锥体和一个棱长为4厘米的正方体的体积相等，圆锥的高是（ ）。A.3厘米B.4厘米C.8厘米D.12厘米4.圆柱底面直径是圆锥底面直径的1/2，如果高相等，那么圆锥的体积是圆柱体积的（ ）A.B.C.D.5.把一个棱长2分米的正方体锯成两个长方体，表面积总和（ ）。A.不变B.增加4平方分米C.增加8平方分米D.不一定第三章 统计与可能性一、基础知识（一）统计：1.条形统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数
23、量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。优点：很容易看出各种数量的多少。2.折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。3.扇形统计图：用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。4.平均数：中位数：众数：（二）可能性：随机事件的概率二、能力训练1.从标有1，2，3，4的四张卡片中任抽一张。（1）抽到卡片“1”的可能性是_。（2）抽到卡片“2”、“4”的可能性是_。（3）抽到数字小于4的
24、卡片的可能性是_。2.口袋里有大小相同的6个球，1个红球，2个白球，3个黄球，从袋中任意摸出一个球。（1）摸出什么颜色的球的可能性最大，是多少？（2）摸出什么颜色的球的可能性最小，是多少？（3）摸出不是红球的可能性是多少？3.盒子装有15个球，分别写着115各数。如果摸到是2的倍数，小刚赢，如果摸到不是2的倍数，小强赢。（1）这样约定公平吗？为什么？（2）小强一定会输吗？4.某商品举行促销活动，前100名的购买者可以抽奖，一等奖20个，二等奖30个，三等奖50个。（1）这次抽奖活动，中奖的可能性是_。（2）第一个人抽奖中一等奖可能性是_，中二等奖的可能性是_，中三等奖的可能性是_。（3）抽奖到
25、一半，已经有8人中一等奖，15人中二等奖，24人中三等奖。这里李明第51个抽奖，中一等奖的可能性是_，中三等奖的可能性是_，中三等奖的可能性是_。5.下面记录的是五（3）班第1组女生的一次跳远成绩。（单位：m）2.83 3.32 2.75 3.17 2.58 2.65 3.24 3.29 3.41 3.26 2.98 3.52（1）这组数据的中位数，平均数各是多少？（2）用哪个数代表这个组数据的一般水平更合适？（3）如果2.80m以上为及格，有多少名同学及格了，超过半数了吗？6.8个数的平均数是2.1，前3个数的平均数为2.6，后4个数的平均数为1.4，第四个数是多少？第四章 实践与综合应用一
26、、基础知识1.归一问题含义：在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题数量关系：总量份数1份数量1份数量所占份数所求几份的数量另一总量（总量份数）所求份数解题思路：先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。2.归总问题含义：解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。数量关系：1份数量份数总量总量1份数量份数总量另一份数另一每份数量解题的思路和方法：先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。3.和差问题含义
27、：已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。数量关系：大数（和差）2小数（和差） 2解题思路和方法：简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。4.和倍问题含义：已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。数量关系：总和（几倍1）较小的数总和较小的数较大的数较小的数几倍较大的数解题思路和方法：简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。5.差倍问题含义：已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。数量关系：两个数的差（几倍1）较小的
28、数较小的数几倍较大的数解题思路和方法：简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。6.倍比问题含义：有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。数量关系：总量一个数量倍数另一个数量倍数另一总量解题思路与方法：先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。7.相遇问题含义：两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。数量关系：相遇时间总路程（甲速乙速）总路程（甲速乙速）相遇时间解题思路和方法：简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。8.追及问题含义：两个运动物体在不同地点同时
29、出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。数量关系：追及时间追及路程（快速慢速）追及路程（快速慢速）追及时间解题思路和方法：简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。9.植树问题含义：按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。数量关系：线形植树棵数距离棵距1环形植树棵数距离棵距方形植树（端点不植树）棵数距离棵距4三角形植树（端点不植树）棵数距离棵距3面积植树棵数面积（棵距行
30、距）解题思路和方法：先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。10.年龄问题含义：这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。数量关系：年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。解题思路和方法：可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。11.行船问题含义：行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水
31、速之差。数量关系：（顺水速度逆水速度）2船速（顺水速度逆水速度）2水速顺水速船速2逆水速逆水速水速2逆水速船速2顺水速顺水速水速2解题思路和方法：大多数情况可以直接利用数量关系的公式。12.列车问题含义：这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。数量关系：火车过桥：过桥时间（车长桥长）车速火车追及：追及时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）火车相遇：相遇时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）解题思路和方法：大多数情况可以直接利用数量关系的公式。13.时钟问题含义：就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相
32、类比。数量关系：分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为。通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。解题思路和方法：变通为“追及问题”后可以直接利用公式。14.盈亏问题含义：根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。数量关系：一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数（盈亏）分配差如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数（大盈小盈）分配差参加分配总人数（大亏小亏）分配差解题思路和方法：大多数情况可以直接利用数量关系的公式。15.工程问题含义：工程问题主要研究工作量、
33、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。数量关系：解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量工作效率工作时间工作时间工作量工作效率工作时间总工作量（甲工作效率乙工作效率）解题思路和方法：变通后可以利用上述数量关系的公式。16.正反比例问题含义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中
34、相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。数量关系：判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。解题思路和方法：解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。17.
35、按比例分配问题含义：所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。数量关系：从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数比的前后项之和解题思路和方法：先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。18.百分数问题含义：百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分
36、，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。数量关系：掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：百分数比较量标准量标准量比较量百分数解题思路和方法：一般有三种基本类型：（1）求一个数是另一个数的百分之几；（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：增长率增长数原来基数100%合格
37、率合格产品数产品总数100%出勤率实际出勤人数应出勤人数100%出勤率实际出勤天数应出勤天数100%缺席率缺席人数实有总人数100%发芽率发芽种子数试验种子总数100%成活率成活棵数种植总棵数100%出粉率面粉重量小麦重量100%出油率油的重量油料重量100%废品率废品数量全部产品数量100%命中率命中次数总次数100%烘干率烘干后重量烘前重量100%及格率及格人数参加考试人数100%19.“牛吃草”问题含义： “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。数量关系：草总量原有草量草每天生长量天数解题思路和方法：解这类题的关键是求出草每天
38、的生长量。20.鸡兔同笼问题含义：这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。数量关系：第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数（实际脚数2鸡兔总数）（42）假设全都是兔，则有鸡数（4鸡兔总数实际脚数）（42）第二鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数（2鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）假设全都是兔，则有鸡数（4鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）解题思路和方法：解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设
39、都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。21.方阵问题含义：将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。数量关系：（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数（每边人数1）4每边人数四周人数41（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数每边人数每边人数空心方阵：总人数（外边人数）（内边人数）内边人数外边人数层数2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数（每边人数层数）层数4解题思路和方法：方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况
40、确定。22.商品利润问题含义：这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。数量关系：利润售价进货价利润率（售价进货价）进货价100%售价进货价（1利润率）亏损进货价售价亏损率（进货价售价）进货价100%解题思路和方法：简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。23.存款利率问题含义：把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。数量关系：年（月）利率利息本金存款年（月）数100%利息本金存款年（月）数年（月）利率本利和本金利息本金1年（月）利率存款年（月）数解题思路和方法：简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。二、能力训练1.东西两城相距75千米，小东从东向西而走，每小时6.5千米；小希从西向东而走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西而行，每小时走15千米。三人同时动身，途中小辉遇见了小希即折回向