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1、数学归纳法的几种变式及其应用,专业： 数学与应用数学 姓名： 导师：,目录,1.引言 2.数学归纳法 3.数学归纳法的变式 4.数学归纳法和反证法的关系 5.关于数学归纳法的若干说明 6.总结,1.引言,数学归纳法是一种完全归纳法。它是一种常用于证明与正整数集有关命题的重要论证方法，在几何证明和代数证明中都有着广泛的应用。,2.数学归纳法,第一类数学归纳法（数学归纳法）,第一类数学归纳法的基本形式为：,第二类数学归纳法,第二类数学归纳法又称串值归纳法，它的基本形式为：,例2.3.2 证明可以仅用4分和5分邮票来组成 等于和超过12分的每种邮资。,两类数学归纳法是等价的,第一数学归纳法和第二数学
2、归纳法是等价的，即用第一数学归纳法证明的 可以用第二数学归纳法证明，反之亦然。,3.数学归纳法的变式,1 跳跃归纳法 跳跃归纳法的基本形式为：,反归纳法的基本形式为： 设 是一个关于自然数n的命题，如果 (1) 对无穷多个自然数成立； (2) 假设 对于自然数k正确，就能推出命题对自然数k-1正确； 那么， 对任意自然数n都成立。,2 反归纳法（倒推归纳法）,例 求证n个正实数的算术平均值大于或等于这n个数的几何平均值，即,证明：(1)当n=2时， 因此命题对n=2正确。 当n=4时， 因此命题对n=4正确。 同理可推出命题对 都正确（s为任意自然数）。,(2)设命题对n=k正确，令 则 由归
3、纳假设命题对n=k正确， 所以 所以 即,命题对n=k-1也正确，由反归纳法原理知，命题对一切自然数成立。,第一类数学归纳法的关键是：由 成立往后推出 也成立；而反归纳法的关键恰是：由 成立往前推出 成立。,双归纳法的基本形式为： 设命题P与两个独立的自然数对m与n有 关，若 (1) 命题P对m=1与n=1是正确的； (2) 从命题对自然数对（m,n）正确就能推 出该命题对自然数对（m+1,n）正确，和对 自然数对（m,n+1）也正确； 则命题P对一切自然数对（m,n）都正确。,3 双归纳法（二元归纳法）,跷跷板归纳法的基本形式为： 有两个命题 , 如果 (1) 正确； (2) 假设 正确，那
4、么 也是正确的； (3) 假设 正确，那么 也是正确的； 那么，对于任意自然数n, 命题 都是正确的。,4 跷跷板归纳法与螺旋式上升归纳法,例 已知数列1，3，7，12，19，27，37，48，61设 为其第n项， 为其前n项的和，其中 求证：,(2) 假设 那么 即，假设 是正确的，那么 也正确。,因此， 对任何自然数都是正确的。,说明：作为“跷跷板归纳法”的推广，还可能要使用若干结论螺旋式上升的证明方法，这种方法的基本形式为： 有五个命题 ，如果 (1) 是正确的； (2) 那么，这五个命题都是正确的。,数学归纳法和反证法的关系,凡是用数学归纳法证明的命题 都可以用反证法来证明，因而数学归
5、纳法在使用上可以用反证法来代替，反之不然。,每一种形式的数学归纳法都有两个步骤，第一步是验证步骤，第二步是归纳步骤。这两步相辅相成，缺一不可。 下面这个例子就是很好的说明。,5.关于数学归纳法的若干说明,例 二项式 曾引起数学家们的极大兴趣，最使数学家们感性趣的是把它分解为具有整系数因子的乘积。,对许许多多特殊n的值，考查 的分解式。数学家们发现：在分解式中，x的各次幂的所有系数的绝对值都不超过1。实际上，,这表明它不具有所说的性质。,所有次数小于105的二项式都具有所说的性质，但当n=105时， 的一个分解因子是,许多证明起来比较复杂的数学命题与公式，利用数学归纳法很容易就可以证明出来。 通过数学归纳法，我们可以从个别事实中找出一般规律性。正如华罗庚先生在其数学归纳法一书中指出的那样：“数学归纳法正是体现了人的认识从有限到无限的飞跃。”,总 结,