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1、24.3 正多边形和圆 1.知道正多边形和圆的关系,知道正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.2.能使用正多边形的知识解决圆的相关计算问题.3.会用量角器等分圆,会用尺规作图作圆内接正方形和正六边形.4.重点：能用正多边形的知识解决问题;会用量角器等分圆周;会用尺规作图作圆内接正方形和正六边形. 【旧知回顾】各边 相等 、各角也 相等 的多边形叫做正多边形.知识点 正多边形的相关概念及计算阅读教材本课时第一个“练习”前面的内容,解决下列问题.1.正多边形和圆有的关系非常密切,只要把一个圆分成 相等 的一些弧,就能够作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是正多边形的 外接圆 .2.由教材中证明
2、五边形ABCDE是正五边形的思路可知,证明这个多边形是正n边形的证明思路：弧相等弦相等圆周角相等多边形各边相等多边形各角相等多边形是正多边形.3. 正多边形的外接圆的圆心 叫做这个多边形的中心; 外接圆的半径 叫做正多边形的半径; 正多边形每一边所对的圆心角 叫做正多边形的中心角; 中心到正多边形一边的距离 叫做正多边形的边心距.【归纳总结】分别计算半径为R的圆内接正三角形、正方形、正五边形的相关数据,填写下表：图形中心角边心距边长周长面积正三角形120Rcos 602Rsin 606Rsin 6032R2sin 60正方形90Rcos 452Rsin 458Rsin 452R2sin 90正
3、五边形72Rcos 362Rsin 3610Rsin 3652R2sin 72正n边形360nRcos180n2Rsin180n2nRsin180nn2R2sin360n 【预习自测】若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍,则正多边形的边数是(C)A.4 B.6 C.8 D.10知识梳理 圆内接正多边形的画法阅读教材本课时两个“练习”之间的内容,解决下列问题.1.同圆中相等的圆心角所对的 弧 相等,所以作相等的 圆心角 就能够等分圆周,从而得到相对应的正多边形.我们能够用量角器将一个圆n(n3)等分,依次连接各等分点得 正n 边形.2.对一些特殊的正多边形,能够用圆规和直尺来作,如先画出
4、两条互相垂直的 直径 ,将圆 四 等分,依次连接各分点得 正方 形;用圆规从圆上一点顺次截取等于半径的 弦 ,依次连接各分点得 正六 边形.在此基础上,可作正八、十二、十六、二十四边形.【预习自测】下列正多边形,通过直尺和圆规不能作出的是(C)A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形互动探究1：如图,PQR是O的内接三角形,四边形ABCD是O的内接正方形,BCQR,则DOR的度数是(D)A.60B.65C.72D.75互动探究2：画一个半径为2 cm的正五边形,再作出这个正五边形各条对角线,画出一个五角星.解：画法(1)以O为圆心,OA=2 cm为半径画圆;(2)以O点为顶点,OA为一边
5、作角AOB=72,再依次作BOC=COD=DOE=72,分别与圆交于点B、C、D、E;(3)分别连接AB,BC,CD,DE,EA.则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形;(4)分别作出此正五边形的对角线,得到一个五角星.(如下图)互动探究3:如图,ABC是O的内接等腰三角形,顶角BAC=36,弦BD、CE分别平分ABC、ACB,求证:五边形AEBCD是正五边形.证明:ABC是等腰三角形,BAC=36,ABC=ACB=72.又BD、CE分别平分ABC、ACB,ABD=DBC=ACE=BCE=36=BAC,BC=CD=AD=AE=BE,BC=CD=AD=AE=BE.又ACD=ABD=36,BCD
6、=108,同理可证EBC=AEB=DAE=ADC=108,故五边形AEBCD是正五边形.【方法归纳交流】要说明一个多边形是正多边形,即要说明这个多边形的每个角都相等,也要说明每条边也相等.互动探究4:如图1、2、3、n,M、N分别是O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、正n边形ABCDE的边AB、BC上的点,且BM=CN,连接OM、ON.(1)求图1中MON的度数;(2)图2中MON的度数是90,图3中MON的度数是72;(3)试探究MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).解:(1)连接OB、OC,等边ABC内接于O, OBM=OCN=30,BOC=120, BM=CN,OB=OC,OBMOCN, BOM=CON,MON=BOC=120.(3)MON=360n.