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1、2020 北京怀柔高三数学一模理科试卷数学理科2018.3本试卷分第一卷 选择题 和第二卷 非选择题 两部分， 第一卷 1 至 2 页，第二卷 3 至 8 页，共 150 分考试时刻 120 分钟考试终止，将本试卷和答题卡一并交回第一卷 选择题共 40 分本卷须知：1答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目等涂写在答题卡上2每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案不能答在试卷上一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合 P x1 x2， Q x x 10，那么
2、 PQA x | 1 x 1B x |1 x 2C x | 1 x 2D x | x12假设向量 a= 1， 1， b= 1，1， c=5， 1，那么 c+a+b =A aB bC cD a+b3抛物线 y4 x2的准线方程是A x1B x 1C y 1D y116164 a 1 ，复数 z(a21)(a 2)i (a, bR) ，那么 a1 是 z 为纯虚数的A 充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件5如图，是CCTV 青年歌手大奖赛上某位选手得分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为47A B 963880CD 776如图，水平放置的三棱柱的侧棱长
3、和底面边长均为2，且侧棱 AA 1底面 A 1B 1C1，主视图是边长为2 的正方形，该三棱柱的左视图面积为A 4B 2 3C 22D 37一只小蜜蜂在一个棱 3 的正方体内自由 行，假 蜜蜂在 行 程中始 保持与正方体6 个表面的距离均大于1，称其 安全 行，那么蜜蜂安全 行的概率 8126A BC2727278如 ，一个粒子在第一象限运 ，在第一秒内，它从原点运 到 平行方一直回运 即 (0,0) (0,1) (1,1) (1,0) (2,0) 么第 2018 秒 ，那个粒子所在的位置 A 16,44B 15,44C14,44D 13,4415D27(0,1)，然后接着按 所示在 x ，
4、y ，假 每秒运 一个 位 度，那y第二卷非选择题共 110 分本卷须知： 用黑色签字笔将答案写在答题卡上规定的区域内二、填空题：本大题共6 小题，每题5 分，共 30 分把答案填在题中横线上9函数 y sin x cos x 的最小正周期为.10通过极点，圆心在极轴上，且半径为1 的圆的极坐标方程为_.1111的值的一个程序框11如图，是运算46202图，其中判定框内应填入的条件是.12假设函数 f ( x)x3cx2 (cR) ，那么f / ( 3) 、 f / ( 1) 、 f / (0)的大小关系是A2O ._.13如图，圆 O 和圆 O 相交于 A， B 两点， AC 是圆 O 的切
5、线， AD 是圆 O 的切线，假设BC2， AB 4，那么 BD_.C Bx 2bx c, x0，假设 f ( 1)1 ， f (0)2 ，那么函数 g( x)14函数 f ( x)02, x点个数为_.三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解承诺写出文字讲明，演算步骤或证明过程15本小题共 12 分12 cos(2x)函数 f (x)4sin(x)2求函数f (x) 的定义域；求f ( x) 在区间 ,) 上的最大值与最小值42.O Df ( x)x 的零16本小题总分值14 分如图，四棱锥SABCD 的底面 ABCD 是矩形， M、 N 分不是 CD 、 SC 的中点， SA底面 ABC
6、D ，SA=AD=1，AB =2 I求证： MN平面 ABN； II 求二面角 ABN C 的余弦值17本小题总分值13 分函数 f xax33x213(a R ,且 a0) ，求 f ( x) 及函数 f (x) 的极大值与极小值a18本小题总分值13 分甲、乙两人同时参加奥运理想者选拔赛的考试，在备选的答对其中的8 道题规定每次考试都从备选题中随机抽出10 道题中，甲能答对其中的6 道题，乙能3 道题进行测试，至少答对2 道题才能入选 I求甲答对试题数的分布列及数学期望； II 求甲、乙两人至少有一人入选的概率19本小题总分值14 分椭圆 C 的中心在坐标原点，离心率 e33,0 ，一个焦
7、点的坐标为2 I求椭圆 C 方程；1m与椭圆 C 交于 A ， B 两点，线段 AB 的垂直平分线交x 轴于点 T当 m 变化 II 设直线 l : yx2时，求TAB 面积的最大值20本小题总分值14 分当 p1 , p2 , pn 均为正数时， 称n为 p1, p2 , pn 的均倒数 数列 an的各项p1 p2pn均为正数，且其前n 项的均倒数为12n1试求数列an 的通项公式；设 cnan，试判定并讲明cc n N* 的符号；2n1n1n bntan (t0)，记数列 b的前 n 项和为 Sn ，试求 Sn 1的值；nSn设函数f ( x)x 24xan1，是否存在最大的实数，使当 x
8、时，关于一切正整数n ，2n都有 f ( x)0 恒成立？怀柔区 20182018 学年度第二学期高三数学期中练习参考答案及评分标准(理科 )2018.3一、 ：本大 共8 小 ，每 5 分，共40 分 . 号12345678答案BCDADBBC二、填空 ：本大 共6小 ，每 5分，共 30分 .9.10.2cos11.n 2012.f / (0) f / (1) f / ( 3)13.814.32三、解答 ：本大 共6小 ，共80分 .15. 本小 共 12 分解：由 意sin(x) 02xk ,kZxk , k Z22故所求定 域 x | xk,kZ 4 分2 f (x)12 cos(2x
9、4)1cos2 xsin 2x2 cos2 x2 sin x cos xcos xcos xsin(x)22 cos x2sin x22 sin( x)9 分4x,0x3，10 分4442 当 x40 即 x ， f ( x)min0 ；4当 x4即 x4 ， f ( x) max22 12 分216本小 分 14 分解： I以 A 点 原点， AB 为 x ， AD 为 y ， AD 为 z 的空 直角坐 系，如下 . 那么依 意可知相关各点的坐 分不是：A 0， 0， 0， B2 ， 0， 0， C 2 ， 1， 0 ， D 0， 1， 0， S 0， 0， 1 ( 略 )2211M (,
10、1,0), N (, ).22222 分MN (0, 1, 1), AB ( 2 ,0,0), AN( 2 , 1, 1 ). 4 分22222MN AB0, MNAN0.MNAB, MN AN. MN 平面 ABN.7 分 II 平面 NBC 的法向量 n (a, b, c),则nBC, nSC. 且又易知BC(0,1,0), SC(2,1,1)nBC0,b0,b0,即2abc 0.c2a.nSC0,令 a=1，那么 n(1,0, 2). 11 分明 ， MN(0,1 , 1 ) 确 是平面 ABN 的法向量 .22cosn, MNnMN3 .| n | MN |3由 形知，二面角BN C
11、是 角二面角12 分A二面角 ABNC的余弦值是3 . 14 分317本小 分 13 分解： 由 知 a 0,f (x) 3ax 26x3ax(x2 ) 2 分a令 f( x)0得 x2 4 分0或 xa当 a0 ，随 x 的 化， f / x与 fx 的 化如下：x,002220,a,aaf ( x)+0-0+f (x)极大极小fx 极大f03， fx 极小2431f21 8 分aaaa当 a0 ，随 x 的 化， f x与 fx 的 化如下：x, 222 ,000,aaaf (x)-0+0-f (x)极小极大f xf013 ， fxf24311 2 分极大a极小aa2a 上，当 a0 ，
12、fx极大当 a0 ， fx极大13 ， fx431；a极小a 2a13 ， fx431.1 3 分a极小a 2a18本小 分 13 分解： I依 意，甲答 数的可能取 0,1,2,3， 1 分那么 P(0)C431 ,C10330P(1)C61C423 ,C10310P(2)C62 C411C103,2P(3)C631.5 分C1036的分布列 0123P13113010266 分甲答 数的数学期望 E1132119. 7 分010235306 II 甲、乙两人考 合格的事件分不 A 、B ，那么P( A)P(2)P(3)2 ,3P( B)C82 C21C8356 5614.9 分C10312
13、015因 事件 A 、 B 相互独立，甲、乙两人考 均不合格的概率 P( AB) P( A)P( B)2141. 11 分1131545甲、乙两人至少有一人考 合格的概率 P 1P( A B)1144 .454544答：甲、乙两人于少有一人考 合格的概率 13 分.45另解：甲、乙两人至少有一个考 合格的概率 P P( A B)P( AB)P( A B)3111421444 .21531531545答：甲、乙两人于少有一人考 合格的概率 44 .4519本小 分 14 分解法一： I依 意， C 的方程 x2y21 (a b 0)a2b2c3, ec3a2a2, 3 分b2a 2c 21,4
14、分椭圆 C 的方程是 x2y2145 分x2y21 II 由41y x m2得x24( 1 xm)24,即 x22mx2m2202令0,得84m20,2 m2.分7设 A x1 , y1 , B x2 , y2 ， AB 中点 M x0 , y0则x1x22m, x1 x2 2m22ABx22y2y12x1524x1 x25 2 m2 9x1 x24111x02x1x2m, y02 x0m2 m,Mm, 1 m 10 分2设Tt,0 ,01m 1MTAB,kMTk AB2t1m 2解得 t3 m,T3 m,0441 1 分| MT |1 m 21 m 25 | m | .1644S TAB1
15、| AB | MT |15(2m 2 )5 | m |2245( m21) 21.1 3 分82m2 ，当2，即 ，取得最大 5m1m1S TAB.8解法二： I同解法一1 4 分x2y21 II 由41 xym2得x24( 1 xm)24,即 x22mx2m2202令0,得84m20,2 m2.分7设 A x1 , y1 , B x2 , y2 ， AB 中点 M x0 , y0x1x22m, x1 x2 2m2 2 8 分x01x1 x2m, y01 x0 m1 m,222M m, 1 m 2 10 分MTAB3 mMT 的方程 y2x2令 y 0 ，得 x3T3 m,0m ，449 分设
16、 AB 交 x 与点 R,那么 R2m,0| TR |5 | m | .1 1 分4S TAB1 | TR | y1y2 |1 | TR | | x1 x2 |241 | TR | ( x1 x2 ) 24x1 x245 m2 (2 m2 )85m 2(2m2 )5 ,1 3 分828当m21，即m1S TAB取得最大 5. 14分 ，820本小 分 14 分解： a1a2an 1an n(2n 1) ,a1 a2an 1(n1)(2n1) ，两式相减，得 an4n 1( n2) . cncn 1又 1 a1 anan2n1an 12n31，解得 a12114n1( nN ) .4n1232n
17、12n,312,2n33 4 1 1 , 4 分 cn 1cn32n3 0 ， 即12n3cn 1 cn . 7 分 bnt ant 4n 1 (t 0) , Snb1b2bnt 3t 7t4 n 1 ，当 t1 时 , SnnSn1n1,Sn; 8 分n当 t 0 且 t1 时,Snt 3(1t 4n ) ，Sn 11t4n4. 10 分1t 4S1t 4nnSnn1, t11n 11 分 上得，1t 4n 4Sn, t0,t11t4 n由知数列cn是 增数列 , c1 1 是其的最小 ，即cnc11假 存在最大 数,使当 x时 ,关于一切正整数n ,都有 f ( x)x24xan0恒an2n1成立， 那么x24 x1cn (nN) 只需x24 xc11，即 x24x10 2n解之得 x23或 x23 因此 ,可取23 14 分