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1、专题八二次函数压轴题类型五平行四边形的存在探究试题演练2 21. (2019 岳阳 10 分 )如图，抛物线 y3x bxc 经过点 B(3，0)，C(0， 2)，直2 2线 l：y 3x3交 y 轴于点 E，且与抛物线交于 A，D 两点， P 为抛物线上一动点 (不与 A，D 重合 )(1)求抛物线的解析式；(2)当点 P 在直线 l 下方时，过点 P 作 PMx 轴交 l 于点 M，PN y 轴交 l 于点 N，求 PMPN 的最大值；(3)设 F 为直线 l 上的点，以 E，C，P，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点 F 的坐标；若不能，请说明理由2. (2019 临沂
2、13 分 )如图，抛物线 yax2bx3 经过点 A（2，-3），与 x 轴负半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，且 OC3OB.(1)求抛物线的解析式；(2)点 D 在 y 轴上，且 BDO BAC，求点 D 的坐标；(3)点 M 在抛物线上，点 N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由第 2 题图3. (2019 西宁 12 分 )如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴， y 轴的正半轴上，且 OA4，OC 3.若抛物线经过 O，A 两点，且顶点在 BC 边
3、上，对称轴交 BE 于点 F，点 D，E 的坐标分别为 (3， 0)，(0， 1)(1)求抛物线的解析式；(2)猜想 EDB 的形状并加以证明；第 1页(3)点 M 在对称轴右侧的抛物线上， 点 N 在 x 轴上请问是否存在以点A，F，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由第 3 题图答案试题演练2 21. 解： (1)把 B(3，0)，C(0， 2)代入 y3x bxc，得6+3bc0b- 4，c2，解得3c2224抛物线的解析式为y3x 3x2；2242222 24(2)设 P(a，3a3a2)，则 N(a， 3a 3)，M(
4、 a 2a2，3a3a 2)，222224 PM PN ( a 2a 2 a)3a3(3a 3a2)2222 24 aa23a 33a3a 25 2510 3a 3a 3 53(a12)2 154，当 a1时， PM PN 有最大值，最大值为15；24(3)当 EC 为平行四边形的一边时， PFEC，22422设 P(m，3m 3m 2)，则 F(m， 3m3)，24 EC 3( 2)3，2242222244 PF |(3m 3m2)( 3m3)|3m 3m3|3，2224 41 171 17当3m3m33时，解得 m12，m22，22244当3m3m33时，解得 m30(舍去 )， m41，
5、第 2页117 17 311717 34此时点 F 的坐标为 (2，3) 或(2，3)或(1，3)；当 EC 为平行四边形的对角线时，CP 平行且等于 EF，2设直线 CP 的解析式为 y 3xb，把 C(0， 2)代入得 b 2，2直线 CP 的解析式为 y 3x2，2242令3x3x2 3x2，则 x10(舍去 )， x21，8此时 P(1， 3)， CP212(832)2139，2 2设 F(n， 3n3)，222213则 EF n (3n) 9 ，解得 n1 1(舍去 )，n2 1，此时 F( 1， 0)，117 17 31717 341综上所述，点 F 的坐标为 (2，3)或(2，3
6、)或(1，3)或 (1，0)2. 解： (1)令 x 0 得 y 3. C(0， 3)， OC 3， OC 3OB， OB 1， B(1，0)，把 A(2， 3)，B(1，0)分别代入 yax2bx3 中，第 3页得 a b 3 0 ， 4a 2b 3 3a1解得.抛物线的解析式为yx2 2x3.(2)如解图，过点 B 作 BE AC，交 AC 延长线于点 E.第 2 题解图 C(0， 3)， A(2， 3)， AC x 轴， BE3.又 OB1， AE3， AEBE， BAE 45， BDO BAC45， OB OD，点 D 的坐标为 (0，1)或 (0， 1)(3)存在当 ABMN 时，由
7、 ABMN 3 2，可知点 M 与对称轴的距离为3，2由 yx 2x 3 可得对称轴为直线x1，把 x 2 代入 yx22x3 得 y4435， M(2，5)把 x4 代入 y x22x 3 得 y16 8 3 5， M(4，5);第 4页当 MN 与 AB 互相平分时，四边形 AMBN 是平行四边形，由 AC BN 2，可知点 M 与点 C 重合，点 M 坐标为 (0， 3)综上所述，点 M 的坐标为 (0， 3)或(2，5)或(4， 5)3. 解： (1)在矩形 OABC 中， OA 4， OC3， A(4， 0)，C(0，3)，抛物线经过 O、 A 两点，抛物线的顶点坐标为 (2，3)，
8、可设抛物线的解析式为 ya(x2)2 3，把 A 点坐标代入可得0 a(4 2)23，解得 a 3，43232抛物线的解析式为y 4(x 2)3，即 y4x3x；(2)EDB 为等腰直角三角形证明：由 (1)可知 B(4，3)， D(3，0)，E(0， 1)， DE2 32 1210， BD2 (43)2 32 10，BE2 42(31)220， DE2 BD2 BE2，且 DE BD， EDB 为等腰直角三角形；(3)存在满足条件的点 M 的坐标为 (623， 2)或(6215， 2)33【解法提示】设直线BE 解析式为 y kxb，3=4k b ，解得 k1把 B、E 两点的坐标代入可得2
9、 ，1 bb1直线 BE 解析式为 y1 ，2x1当 x2 时， y2， F(2， 2)，第 5页当 AF 为平行四边形的一边时， M 到 x 轴的距离与 F 到 x 轴的距离相等， 即 M到 x 轴的距离为 2，点 M 的纵坐标为 2 或 2，3 2在 y 4x 3x 中，令 y2 可得3 22 4x 3x，623解得 x，点 M 在对称轴右侧的抛物线上， x2， x62 3， 3点 M 的坐标为 (6233，2)，3 23 2在 y4x 3x中，令 y 2 可得 24x 3x，解得 x62 153，点 M 在对称轴右侧的抛物线上， x2， x62153，点 M 的坐标为 (6215， 2)；3当 AF 为平行四边形的对角线时， A(4， 0)，F(2，2)，线段 AF 的中点为 (3，1)，即平行四边形的对称中心为(3， 1)，3 2设 M(t， 4t 3t)，第 6页3 26 23则4t 3t2，解得 t3，点 M 在对称轴右侧的抛物线上， t2， t6233，点 M 的坐标为 (623，2)；3综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为 (6 2 3，2)或 (6215， 2)33第 7页