《数学模型》考试试卷.docx

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1、一：填空题1.“商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是sk1sk(1)k dk 。 ( 允许决策模型 )1、2、“公平的席位分配”模型中的Q 值法计算公式是 Qipi2。ni ( ni1)3、“存贮模型”的平均每天的存贮费用计算公式为C (T )c1c2rT，当 T2c1 时， C (T ) 最小。T2c2 r4、 LINGO中，表示决策变量x 是 0-1 变量的语句是gin(x)。&f (x) 的平衡点是指满足f (x)0的点，若f (x) 0成立，则其平衡点是稳定的。5、一阶自治微分方程 x6、市场经济中的蛛网模型中，只有当K fKg时，平衡点P0才是稳定的。7、“传染病模型”中S

2、IS 模型是指被传染者康复以后，还有可能再次感染该传染病。8、传送系统的效率模型中，独立地考虑每个钩子被触到的概率为p ，则共有 n 个钩子的系统中，一周期内被触到k 个钩子的概率为k k(1)n kCn p。p9、我们所建立的“人口指数增长”模型是根据微分方程x(t)x0 ert建立的。 我们所建立的“人口阻滞增长”模型是根据微分方程 dxrx (1x )建立的。dtxm10、“商人怎样安全过河”模型中，从初始状态到终止状态中的每一步决策都是集合D 中的元素。11、建立起的“录像机计数器的用途”模型tan 2bn 中的参数 a 和 b可用 数值积分方法求得。12、“双层玻璃的功效”模型中，建

3、筑规范一般要求双层玻璃的间隙约为玻璃厚度的1/2。“双层玻璃的功效”模型中，按建筑规范实施的双层玻璃可节能97 %。13、“传染病模型”中所未涉及的模型是SIS 模型 .14、下列正则链和吸收链的说法中，错误的是吸收链存在唯一极限状态概率。15、“人口阻滞增长”模型是在“指数增长模型”的前提下，假设人口增长率是人口数量的减函数。16、“人口阻滞增长”模型中，当人口数 x(t )xm / 2时，人口增长率最大；当人口数 x(t )xm 时，人口增长率为 0。17、“录像带计数器的读数”多种方法建立的模型都是twk 2n22 rk。vvn “录像机计数器的用途”模型中，计数器的读数的增长速度越来越

4、慢。T18、“双层玻璃的功效”模型中，所依据的基本物理公式是Qk。d19、“经济增长模型” 中，衡量经济增长的指标有总产值的增长、单位劳动力产值的增长。“经济增长模型” 中，要保持总产值Q(t)增长，即要求。dQdt020、“传染病模型”中SIR 模型是指被传染者康复以后具有免疫性, 不再感染该传染病。21. 存贮模型的优化目标是平均每天费用最小。第 1页，共 9页22.“经济增长模型”中，要保持平均每个劳动力的产值z(t) 增长，即要求劳动力的增长率小于初始投资增长率。23.“层次分析模型”中成比对矩阵A(aij ) 如果满足如下aija jkaik 式，则称为一致阵。二： 概念题1、一般情

5、况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5 分）答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5 分 ) 答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。3、人工神经网络方法有什么特点？ (5 分 ) 答：（1）可处理非线性；（2）并行结构；（3）具有学习和记忆能力； （ 4）对数据的可容性大；（ 5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。三：问答题1、请用简练的语言全面的描述数学建模的过程和数学模型的特点。(10)答：（1）建模过程：模型准备模型假设模型构成模型求解模型检验模型应用。（2）数学模型的特点：逼真性

6、和可行性；渐进性；强健性；可转移性；非预制性；条理性；技艺性；局限性；2、某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50 元/个，椅子销售价格30 元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4 小时，油漆工 2 小时。生产一个椅子需要木工3 小时，油漆工 1 小时。该厂每个月可用木工工时为120 小时，油漆工工时为50 小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？（建立模型不计算）(10 )解：（1）确定决策变量： x1=生产桌子的数量x2= 生产椅子的数量4 分（2）确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大max z=50x1+30x2（3）确定约束条件：4

7、x1+3x250（油漆工工时限制）（4）建立的数学模型为：max S=50x1+30x2s.t. 4x1+3x250x1, x2 03、有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少？（建立模型不计算）(10)解：令xij0, 指派第i 人完成第 j 项工作目标函数：1, 不指折派第 i 项工作min Z15x1118x1221x324x1419x2123x22 18x2426x3117x3216x3319x3419x4121x4217x44约束条件：第 2页，共 9页x11x21x31x411x12x22x32x

8、421st.x13x23x33x431x14x24x34x4414、 合自身的 情况， 数学建模的方法和自身能力的培 。(10 )答：（1）方法：机理分析、 分析、 例研究 ；（2）能力：想象力、洞察力 。5、 用 的 言全面的描述“商人怎 安全 河” 。(10)答：求决策 dkD ( k1,2, n) ，使状 skS 按照 移律 sk 1sk( 1)k dk ， 初始状 s1(3,3) 有限步 n 到达状 sn 1(0,0) 。6、分 采用三种方法，用一句 和一个公式描述 像 数器 数与 的 之 的关系模型。(10)答：（ 1）当右 到第i 圈 其半径 rwi ，周 2 (rwi ) ， m

9、 圈的 度恰等于 像 的 度，即：m2 ( rwi )vt ；i 1（ 2）考 像 的 度与厚度的乘 ，等于右 面 的增加，即：( rwkn) 2r 2 wvt ；（3 ）考 用微 分的理 ，有某小 段dt 内 像 的 度 速度 v 乘以 dt ，它等于右 上的 像 度（由于m kn ），即：vdt2(rknw)kdn ；以上三种方法都可得到：twk 2n22 rk n 。vv7、 述差分方程平衡点的 定性定 、三 性常系数差分方程平 点 定性的判 条件和非 性差分方程平 点的 定性判 条件。(10)答：（1）差分方程的平衡点x * 若 足：当 k ， xkx * ， 称平衡点 x * 是 定

10、的。（ 2）若三 性常系数差分方程xk 2a1 xk 1a2 xkb 的特征方程2a1a2b 的根 i (i1,2,3) 均有 i1 ， 差分方程的平衡点x * 是 定的，否 是不 定的。（ 3）非 性差分方程 xk 1f ( xk ) 的平衡点 x * 若 足 f (x*)1 ， 平衡点 x * 是 定的；否 若 f ( x*)1 ， 平衡点 x * 是不 定的。第 3页，共 9页8：某中学有三个年级共 1000 名学生，一年级有 219 人，二年级用下列办法分配各年级的优秀学生名额： （1）按比例加惯例的方法316 人，三年级有465 人。现要选20 名校级优秀学生，请; （ 2）Q 值法

11、。另外如果校级优秀学生名额增加到21 个，重新进行分配，并按照席位分配的理想化准则分析分配结果。解： 20 个席位：（ 1）、 219204.38 ，316206.32 ，46520 9.30因此比例加惯例分配结果为5、1000100010006、 9 个。（ 2）三方先分得 4、 6、 9 个， Q1219 22398.05， Q 231622377.52456746522402.5， Q3 最大，按 Q 值法分配结果为4、6、 10 个。 8 分Q310921 个席位：（ 1）2194.599，316216.636465219.765 因此比例加惯例分配结果为4、7、211000，1000

12、100010 个 。（ 2 ） 三方先 分得 4 、 6 、 10个 ，Q34652195.68 ， Q1最大 ，按 Q 值法 分配结 果为5 、 6 、 101011个。 16 分显然此例中比例加惯例的方法违背了席位分配的理想化准则1，而 Q 值法分配结果恰好也满足准则2，因此 Q 值法分配结果是同时符合准则1 和准则 2.。 20分9：大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方135面，有三个就业岗位可供选择。层次结构图如图，已知准则层对目标层的成对比较矩阵A1 / 312，方案层对1/ 51/ 2111/ 41/ 713714

13、6准则层的成对比较矩阵分别为B1411/ 2， B21 / 313 ， B31/ 412。7211/ 7 1/ 3 11 / 6 1/ 2 1请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。选择发展就业收入发展声誉解：用“和法”近似计算得：岗位 1岗位2岗位 3矩阵 A 对应的权向量为：(0.65,0.23,0.12)T ，最大特征根为3.003697， CI0.0018， CR0.0031矩阵 B1 对应的权向量为：( 0.08,0.32,0.60) T ，最大特征根为3.001982， CI0.001， CR0.0017矩阵 B2 对应的权向量为：(0.67,0.24,0.09) T ，最大特

14、征根为3.00703， CI0.0035， CR0.006矩阵 B3 对应的权向量为：(0.70,0.19,0.11)T ，最大特征根为3.00922， CI0.0046， CR0.008第 4页，共 9页组合权向量为 (0.292628,0.283708,0.423664)。12 分T因此最佳的岗位为岗位3。 16 分10：某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止（退保） 。保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而制定合适的投保金额和理赔金额。各种状态间相互转移的情况和概率如图。试建立马氏链模型分

15、析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下，平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死亡的情况，以及出现每种情况的概率各是多少？退保死亡0.030.050.150.070.1健康疾病0.610000100解：由题意，转移概率矩阵为0.150.050.7，从而知状态“退保”和“死亡”为两个吸收状态，此为吸收.010.030.070.60.3链。 6 分0.30.11422M( I Q ) 1=330.60.742yMe = (5 1 ,6)T，因此在投保时健康或疾病状态下，平均需要经过5 1或6 年投保人就会出现退保或死亡的情33况。12 分F0.720.280.72 和 0.28；在投保MR =0.

16、34，因此在投保时健康状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.66时疾病状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.66 和 0.34。四：模型求证题1、 某人早 8:00 从山下旅店出发 ,沿一条路径上山 ,下午 5:00 到达山顶并留宿 .次日早 8:00 沿同一路径下山 ,下午 5:00 回到旅店 .证明 :这人必在 2 天中同一时刻经过路途中某一地点(15 分 )证明 : 记出发时刻为 t=a, 到达目的时刻为 t=b, 从旅店到山顶的路程为s.设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t),t 是一天内时刻变量，则f(t),g(t) 在a,b 是连续函数。作

17、辅助函数 F(t)=f(t)-g(t), 它也是连续的，则由 f(a)=0,f(b)0 和 g(a)0,g(b)=0, 可知 F（a）0,由介值定理知存在t0 属于(a,b) 使 F(t0)=0, 即 f(t0)=g(t0)。2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15 分 )第 5页，共 9页解 :模型构成 :记第 k 次渡河前此岸的商人数为xk ，随从数为 yk ，k=1 ，2,.， xk ， yk =0，1，2，3。将二维向量

18、sk =（ xk ， yk ）定 义 为 状 态 。安 全 渡 河 条 件 下 的 状 态 集 合 称 为 允 许 状 态 集 合 ， 记 做 S 。S= x, y | x0, y0,1,2,3; x3, y0,1,2,3; xy1,2（3分）记第 k 次渡船上的商人数为 uk 随从数为 vk 将二维向量 dk =（ uk ， vk ）定义为决策。允许决策集合记作D ，由小船的容量可知D=u, v |1 u v v,u, v 0,1,2（ 3 分）状态 sk 随 d k 的变化规律是：sk 1 =kd ksk + 1（3 分）模型求解用图解法解这个模型更为方便，如下： （6 分）五：计算题（共

19、5 小题，每小题9 分，本大题共45 分）1131、 A114试用和法求出 A 的最大特征值，并做一致性检验（n=3 时， RI=0.58 ）。1/ 31/ 411133 / 74 / 93 / 81.248答 ： A114中各 列归一化3 / 74 / 94 / 8, 各行 求和1.373= w 2 分而1/ 31/ 411/ 71/ 91/ 80.5694.328Aw4.8971.328，（1 分）1 3( Aw) i1 4.3284.8971.328所以最大特征根为wi(1.373) 3.1233 i 13 1.2480.5692 分其一致性指标为： CI=3 3.12330.061 2

20、 分 CR=CI0.0610.1060.1 , 所以 A 不通过一致性检验。 2 分12RI0.5832、 一块土地，若从事农业生产可收100 元，若将土地租给某乙用于工业生产，可收200 元。若租给某丙开发旅游业可收300 元。当丙请乙参与经营时，收入达400 元，为促成最高收入的实现，试用shapley 值方法分配各人的所得。 (9 分)答：甲、乙、丙所得应为250 元， 50 元， 100 元 (步骤略 )3、产品每天需求量为常数r, 每次生产准备费用为 C 1,每天每件产品贮存费用为 C2, 缺货损失费为 C3 ，试作一合理假设， 建立允许缺贷的存贮模型，求生产周期及产量使总费用最小。

21、 （ 9 分）解 :模型假设 :1.产品每天需求量为常数r 2.每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c23.生产能力无限大，缺货损失费为C3 ，当 t=T 1 时产品已用完4.生产周期为 T ，产量为 Q(2 分)模型建立 :一周期总费用如下:CC 2T1 QC3 r (T T1 )2C122第 6页，共 9页一周期平均 用 f (T , Q )C1C 2 Q 2C 3 (rT Q ) 2(2 分)T2rT2rT模型求解 :用微分法解得周期T2C1 (C 2 C 3 )(1 分) 量2 rC1C 3(1 分)rC 2 C 3QC 3 )C 2 ( C 24、人的状 分 三种：1（健康

22、），2（患病），3（死亡）。 特定年 段的人，今年健康，明年保持健康的概率 0.8，患病的概率 0.18，而今年患病的人明年健康的概率 0.65，健康的概率 0.25，构造 氏 模型， 明它是吸收 ，并求健康，患病出 成死亡的平均 移次数。0.80.180.02解：状 i1 健康 , i 2 患病 ，i 3 死亡 ,依歇易得 移概率 P0.650.250.12001分 na1n ,a2 ( n), a3 (n) ，则n 1(n) P(n1,2,)（1 分）易是： i3死亡 是吸收状态 ， 马氏链是吸收链 。（2 分）QR0.80.180.020.20.18110.75P, MIQ1OIQ0.2

23、5R0.650.250.0430.650.650.10.18yMe10.93由健康、患病出 成死亡的平均 移次数分 930 和 850。 （1 分）0.20.850.04343435 量 足下列方程： （9 分） x(t)rx (1( x ) 2 )hN(1) 量方程的平衡点 定状况(2) 如何 得最大持 量解 :令 F (x) rx (1 ( x ) 2 )h ， F ( x) r (1 3x22 )NNf ( x) rx (1 ( x ) 2 )h 的最大 点 (N, 2rN )（2 分）N33当 h2rN / 3时,无平衡点（1 分）当h2rN / 3时,有两个平衡点x (N / 3)和

24、x2(N /3),1 判断 x1 不 定 ,x2 定（ 2 分）当 h2rN / 3时,平衡点 x0N /3 ,由 F (x0)0 不能判断它 定性（2 分）(2) 了 得最大持 量 , 使 xN / 3 且尽量 xN / 3 接近 ,但操作困 （2 分）六：建模题（共2 小题，每小题10 分，本大题共20 分）1 考 物在体内的分布与排除之二室模型即：把整个机体分 中心室与周 室两室，两室之 的血 相互 移， 移速率与 室的血 度成正比，且只有中心室与体外有 物交 ， 物向体外排除的速率与 室的血 度成正比， 建立两室血 度与 的关系。（不必求解）第 7页，共 9页解：假 ci (t) 、

25、xi (t ) 和 Vi 分 表示第 i 室 (i1.2) 的血 度， 量和容 ， k12和 k21 是两室之 物 移速率系数，k13 是从中心室（第1 室）向体外排除的速率系数 3 分x1 (t)k12 x1k13 x1k21x2f0 (t )（ 1） 6 分则x2 (t ) k12 x1k21 x2（其中 f 0 (t ) 是 速率）及 xi (t) Vici (t )(2)c1 (t)(k12k13 ) c1v2 k21c2f0 (t )(3)于是：v1v1 4 分v1 k12 c1c2 (t )k21c2v22、某工厂 安排生 划，已知一桶原料可加工10 小 后生 A 品 2 公斤，

26、A 品可 利 30 元/公斤 ，或加工 8 小 可生 B 产品 3 公斤， B 品可 利 18 元/公斤，或加工 6 小 可生 C 品 4 公斤， C 品可 利 12 元/公斤， 每天可供加工的原料 60 桶，加工工 至多 460 小 ，且 A 品至多只能生 58 公斤。 取最大利 ， 每 如何安排生 划？ 建立相 的 性 划模型（不必求解 ,10 分）。答： 每天安排 x1 桶原料生 A 品， x2 桶原料生 B 品， x3 桶原料生 C 品， 有：maxz60x154x248x3s.t.2x13x24 x36010x18x26x34602x158x1 , x2 , x30七（ 1）：简答题

27、（本题满分16分，每小题 8 分）1、在录像机计数器的用途中，仔细推算一下（1）式，写出与（2）式的差别，并解释这个差别；m(m1)1、 答：由（ 1）得 2 mr2vt ，。 4 分2将 mkn 代入得 tk 2n2kn (2r) ，。 6 分vv因为 r所以 2r2r ，则得（ 2）。 8 分2、试说明在不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产费用，在什么条件下可以不考虑它；2、答：假设每件产品的生产费用为c3 ，则平均每天的生产费用为c3r ，每天的平均费用是c1c2 rT1c3 r ，。 4 分C1 (T1 )2T1dC1 (T1 ) dC(T )下面求 T1 使 C1 (T1 ) 最

28、小，发现，所以dT1dT第 8页，共 9页T1T2c1，与生产费用无关，所以不考虑。 8 分c2 r七（ 2）：简答题（本题满分16 分，每小题8 分）1、对于传染病的SIR 模型，叙述当 s01时 i (t) 的变化情况并加以证明。1、答：由（ 14）dii ( s1),若 s01，dt当 1ss0 时， di0,i (t ) 增加 ;。4 分1didt当 s0,i(t) 达到最大值 i m ；时，dt当 s1di0,i (t) 减少且由1.知 i0。8 分时，dt2、在捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度E 的减函数，即 cabE ,(a0, b0) ，请问如何达到

29、最大经济效益？2、 答： S(abE )E ，则 RTSpEx(abE) E ，。2 分将 x0N (1E ) 代入，得 R( E)( pNa) E(bpN )E 2，。 5 分rr令 R0 得 E RrapN 。8 分2rbpN七（ 3）：简答题（本题满分16 分，每小题8 分）1、在 随机存储策略中，请用图解法说明为什么s 是方程 I ( x)c0I ( S) 的最小正根。1、由于方程（4）左边随着 S 的增加单调递增，因此J (u) 有唯一驻点 uS x 且为最小值点。从而J(u) 是下凸的。而 由 J (u)和 I ( x)的 表 达 式 的 相 似 性 知 I ( x) 也 是 下 凸 的 ， 而 且 在 xS 处 达 最 小 值I ( S) 。 4 分记 A x I ( x)c0I ( S) ， B x I (x)c0I (S)则集 合 A 与 B 的分界点 即为订 货点 s ，此即 方程I ( x)c0I (S) 的最小正根。8 分2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力？2、答：（回答要点）培养想象力和洞察力。8 分第 9页，共 9页