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1、专题达标检测五一、选择题1若 a、 b 表示互不重合的直线，、 表示不重合的平面，则a 的一个充分条件是()A ， a B ， a C ab， b D b， a?， a b解析： A， B， C选项中，直线a 都有可能在平面 内，不能满足充分性，故选D.答案： D2(2010 全国 ) 正方体 1 1 1 1 中，1 与平面1 所成角的 余弦值为 ()ABCD AB CDBBACD2326A. 3B.3C.3D.3解析：11，1 与平面1 所成的角即为1 与平面1 所成的角，BBDDDDACDBBACD33设其大小为 ，设正方体的棱长为1，则点 D到面 ACD1的距离为 3 ，所以 sin 3
2、，6得 cos 3 ，故选 D.答案： D3如图，已知ABC为直 角三角形，其中ACB90， M为 AB的中点， PM垂直于 ABC所在平面，那么()APA PBPCBPA PBhbB1 a且 a bhaD1 b且 a bSa，即 aa， h a ba b，V瓶b V酒 1 a且 abh.答案： B5在正三棱锥S ABC中， M、 N分别是棱 SC、 BC的中点，且MN AM，若侧棱 SA23，则正棱锥S ABC外接球的表面积是()A12B 32C36D 48解析：由于MN AM，MN BS，则 BS AM，又根据正三棱锥的性质知BS AC，则 BS平面 SAC，于是有 ASB BSC CSA
3、90，、 、为三棱锥外接球的内接正方体的三条棱，设球半径为，则 42 32SA SBSCSABCRR SA 36，球表面积为 4 R236 . 答案： C用心爱心专心26(2010 北京 ) 如图，正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，动点 E， F 在棱 A1B1 上，动点 P， Q分别在棱 AD， CD上，若 EF 1，A1E x， DQ y， DPz( x， y，z 大于零 ) ，则四面体 PEFQ的体积()A与 x， y， z 都有关B与 x 有关，与y，z 无关C与 y 有关，与x，z 无关D与 z 有关，与x，y 无关解析：连结EQ、 FQ、A1D，作 PN A1D，垂足
4、为 N.A1B1 DC且 EF 1， S EFQ是定值A1B1面 ADD1A1 且 PN? 面 ADD1A1，A1B1 PN， PN面 A1B1CD.PD z， A1DA45，21PN 2 z， VPEFQ 3S EFQPN与 x，y 无关，与 z 有关，故选D.答案： D二、填空题37(2010 湖南， 13) 下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 的几何体的三视图，则 h _cm.用心爱心专心3解析：直观图如图，则三棱锥中AD AB， AD AC， AB AC，11体积 V AB AC h 20， h 4.答案： 48如图所示，在正方体， ABCD A1B1C1D1 中， M、 N
5、分别为A1B1， CC1的中点， P 为 AD上一动点，记 为异面直线PM与 D1N所成的角，则 的取值集合为_答案：29已知一个凸多面体共有9 个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V _.解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组合体，正方体的体积是221，正四棱锥的体积是6 ，故该凸多面体的体积为1 6 .用心爱心专心42答案： 1 610(2010 四川 ) 如图，二面角 l 的大小是60，线段AB? ，B l ，AB与 l 所成的角为30，则 AB与平面 所成的角的正弦值是 _解析：过 A作 AC平面 于 C， C为垂足，连结CB，过 C作 CDl
6、 于 D，连结AD，则 AD l ， ADC为二面角 l 的平面角，即ADC60.113AC ， ABC为直线 AB与平面 所成角设AB 1，则 AD2， AC 2 23 4 ，3sin AC431 .ABCAB43答案： 4三、解答题11(2010 江苏无锡) 如图，在三棱柱ABCA1B1C1 中， ABBC，BC BC1， ABBC1， E、 F、 G分别为线段AC1、 A1C1、 BB1的中点，求证：(1) 平面 ABC平面 ABC1；(2) EF平面 BCC1B1；(3) GF平面 AB1C1.证明： (1) BC AB， BC BC1，AB BC1 B， BC平面 ABC1.BC?
7、平面 ABC，平面 ABC平面 ABC1.(2) AE EC1， A1F FC1， EF AA1.BB1 AA1， EF BB1.EF?平面 BCC1B1， EF平面 BCC1B1.(3) 连结 EB，则四边形 EFGB为平行四边形 EB AC1， FG AC1.BC面 ABC1， B1C1面 ABC1，B1C1 BE， FG B1C1.用心爱心专心5B1C1 AC1 C1， GF平面 AB1C1.12已知侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面是菱形，且 DAB60， ADAA1， F 为棱 BB1 的中点，点M为线段 AC1的中点(1) 求证： 直线 MF平面 ABCD；
8、(2) 求证：平面 AFC1平面 ACC1A1；(3) 求平面 AFC1与平面 ABCD所成的锐二面角的大小(1) 证明：延长 C1F 交 CB的延长线于点 N，连结 AN. 因为 F 是 BB1 的中点，所以 F为 C1N的中点， B 为 CN的中点又M是线段 AC1 的中点，故MFAN.又 MF?平面 ABCD， AN? 平面 ABCD，MF平面 ABCD.( 2) 证明： ( 如上图 ) 连结 BD，由直四棱柱ABCD A1B1C1D1，可知： A1A平面 ABCD，又 BD? 平面 ABCD，A1A BD.四边形 ABCD为菱形， ACBD.又 AC A1A A， AC、 A1A? 平
9、面 ACC1A1，BD平面 ACC1A1.在四边形 DANB中， DA BN且 DA BN，所以四边形DANB为平行四边形故 NA BD， NA平面 ACC1A1.又 NA? 平面 AFC1平面 AFC1平面 ACC1A1.(3) 解：由 (2) 知 BD平面 ACC1A1，又 AC1? 平面 ACC1A1，BD AC1， BD NA， AC1 NA.又因 BD AC可知 NA AC， C1AC就是平面 AFC1与平面 ABCD所成锐二面角的平面角在 Rt C1AC中， tan C1AC C1C 1 ，故 C1AC30.CA 3平面 AFC1与平面 ABCD所成锐二面角的大小为30.用心爱心专
10、心613(2010 湖北， 18) 如图，在四面体ABOC中， OC OA， OC OB，AOB120，且OA OB OC 1.(1) 设 P为 AC的中点证明：在 AB上存在一点 Q，使 PQOA，AB并计算的值；AQ(2) 求二面角 O ACB 的平面角的余弦值解：解法一： (1) 在平面 OAB内作 ON OA交 AB于 N，连结 NC.又 OA OC， OA平面 ONC.NC? 平面 ONC， OA NC.取 Q为 AN的中点，则 PQ NC，PQ OA.在等腰 AOB中， AOB120， OAB OBA30.在 Rt AON中， OAN30，1ON 2ANAQ.AB在 ONB中， N
11、OB120 90 30NBO， NBON AQ， 3.AQ(2) 连结 PN， PO.由 OC OA， OC OB知 OC平面 OAB.又 ON? 平面 OAB， OC ON.用心爱心专心7又由 ON OA知 ON平面 AOC.OP是 NP在平面 AOC内的射影在等腰 Rt COA中， P 为 AC的中点，AC OP.根据三垂线定理，知AC NP. OPN为二面角 O AC B 的平面角在等腰Rt COA中， OC OA 1，2OP 2 .3在 Rt AON中， ONOAtan 30 3，2230在 Rt PON中， PNOPON6 ，2cos PO21530.OPNPN56解法二： (1)
12、取 O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz( 如图所示 )1 3则 A(1,0,0) ， C(0,0,1) ， B 2， 2 ， 0 .P为中点，AC11P 2， 0， 2 . (0,1)，设AQ AB(33，AB 2， 2 ， 0 33OQ OA AQ ( 1,0,0) 2， 2 ， 03 3 1 2 ， 2 ， 0 ，用心爱心专心8 1 331PQ OQ OP2 2， 2 ， 2 . ，131所以存在点13使得 0，即 .QPQ OA PQ OA2 2 0， 32， 6 ， 0PQABOA且 3.AQ，（2）记平面 ABC的法向量为 n=（ n1， n2， n3），则由 nAB， n AB，且 CA (1,0n n 0，13 1) ，得33故可取 n (1 ，3 ，1) 2n1 2 n2 0，又平面 OAC的法向量为e (0,1,0)，3，1，3cos n，e51 .5二面角 OAC B 的平面角是锐角，记为15 ，则 cos 5 .用心爱心专心9