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1、42、双曲线1双曲线的两种定义定义1：(1)平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数 ()的点的轨迹叫双曲线，这两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点F1、F2间的距离叫做双曲线的焦距（焦距=2C）注意：定义中的“绝对值”与|FF|不可忽视。 若|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线； 若|FF|，则轨迹不存在； 若去掉定义中的绝对值，则轨迹仅表示双曲线的一支。例如：方程表示的曲线是 （答：双曲线的左支） (2) 定义2： 双曲线的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数且 的点的轨迹叫双曲线定点F是双曲线的 ，定直线l是 ，常数e是 2双曲线的标准方程(1) 焦点在轴上，
2、中心在原点的双曲线标准方程是： =1，其中（且 )(2) 焦点在轴上，中心在原点的双曲线标准方程是1，其中（且 )（3）焦点在哪个坐标轴上如何判断？标准方程、的统一形式： 或： 。例如：（1）双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程 （答：）（2）设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为 （答：）3双曲线的几何性质( 以（）为例进行讨论 ) 范围：或； 焦点：两个焦点； 对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；准线：两条准线； 离心率：，双曲线，
3、等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大； 两条渐近线：。例如：（1）双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于 （答：或）；（2）双曲线的离心率为，则= （答：4或）； 焦半径公式：设 为双曲线 上任意一点， 分别为双曲线左、右焦点，则有： （d1为点M到左准线l1的距离）， （d2为点M到右准线l2的距离） 由此导出双曲线的焦点半径公式： ， 4焦点三角形（双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，则对于双曲线的焦点三角形有：。例如：（1） 设P是等轴双曲线右支上一点，F1、F2是左右焦点，若，|
4、PF1|=6，则该双曲线的方程为 （答：）；（2）双曲线的虚轴长为4，离心率e，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且是与等差中项，则 （答：）；（3）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，求该双曲线的标准方程（答：）；5、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则；若分别为A、B的纵坐标，则；若弦AB所在直线方程设为，则。特别6你了解下列结论吗？（1）双曲线的渐近线方程为；（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，0）。例如：与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为 （答：）（3
5、）中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线方程可设为；（4）双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为， （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；注意： 解决双焦点半径问题的首选公式为： 寻求某些基本量的取值范围时建立不等式的依据为： ， 双曲线共性：准线垂直于实轴；两准线间距离为；中心到准线的距离为；焦点到相应准线的距离为 渐近线：双曲线 的渐近线方程：7、挖掘与延伸（1）具有特殊联系的双曲线的方程对于双曲线 （） 当+为定值时，（）为共焦点的双曲线（系）方程：c2=+; 当 为定值时，（）为共离心率亦为共淅近线的双曲线（系）方程： ； 以直线 为渐近线的
6、双曲线（系）方程为： 特别：与双曲线 共渐近线的双曲线的方程为： （左边相同，区别仅在于右边的常数）练习1、 已知双曲线两个焦点分别为，双曲线上一点到，距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程2、双曲线的准线方程是 ，两准线间的距离是 3、渐近线方程是4x,准线方程是5y的双曲线方程是 4、求与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方及离心率解：双曲线的渐近线方程为设所求的双曲线的方程为所求双曲线的标准方程为5、方程所表示的曲线是 答案： 双曲线的一支 6如果分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上过点的弦，且，则的周长是 7、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是求双曲线的方程；解：（1）
7、原点到直线AB：的距离 . 故所求双曲线方程为 8、若双曲线的渐近线方程为 ，它的一个焦点是 ，则双曲线方程为 。分析：由题设得： ， 由 得 ， 所求双曲线方程为 9双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，则双曲线方程为 10、点M(x,y) 与定点F(5,0)距离和它到定直线的距离之比是常数,求点M的轨迹方程.解：、定点F(5,0)为该双曲线的焦点,定直线为,=1.11双曲线的离心率，则的取值范围是 12、若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是 答案：解：对于双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离因为，而，因此，因此其渐近线方程为 13、以下四个关于圆锥曲线的命题
8、中 设A、B是两个定点，k为非零常数，若 ，则动点P的轨道为双曲线； 过定圆C上的一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若 ，则动点P的轨迹为椭圆； 方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； 双曲线 与椭圆 有相同的焦点。 其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）。分析：由双曲线定义知，中点P轨迹是双曲线一支；对于，点P轨迹是椭圆上除去点A的曲线；对于，方程两根分别为 和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率；对于，可知是真命题，综上可知应填、。14若，则方程所表示的曲线是 答案：直线或圆或双曲线 提示： 当时，曲线为两条平行于轴的直线； 当时，曲线为圆； 当时，曲线为双曲线；当且时，曲线为椭圆，故不可能为抛物线。15是双曲线（）的两个焦点，P为双曲线上一点，且的面积为1，则的值是 答案：116、设双曲线 的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q两点，如果 为 ，则双曲线的离心率为 。分析：设右准线l与x轴交于点R，则 ，又 由此解得 a=b，故得 17、若动点（x，y）在曲线 （b0）上变化，则 的最大值为 答案：分析：注意到曲线方程二次方程，故考虑向二次函数的最值问题转化。 由 得 设 ，则 又由中 得 ，且的对称轴为 （1） 当 ，即 时， ； （2） 当 ，即 时， ，于是由（1）、（2）知的最大值为：5