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二.留数 设 为 的孤立奇点,在 的去心邻域 内 ， 的Laurent 展式为: 留数计算法： 证明 2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m,也可 当作级数为m 来计算。这是因为表达式 这不影响证明结果。 的系数 中可能有一个或几个为零而已， 解 例2 求下列函数的有限奇点并计算留数： 无穷远点处的留数 例3 求下列函数在无穷远处的留数： 解 法1 所以，0为 的三级极点，且 法2 因为0是分子的一级零点，是分母的四级零点， 所以0是 的三级极点，取 m=4,由公式 2 得 三.留数定理 定理1 设函数 在区域D内除有限个孤立奇点 外处处解析，L是D内包围诸奇点的一 条逆时针方向简单闭曲线，那么 由复合闭路定理,得 利用这个定理，可将求沿封闭曲线L的积分， 转化为求被积函数在L中的各孤立奇点处的留数。 定理2 如果函数 在扩充的复平面内除有限个 点总和必等于零, ）的留数的即 孤立奇点外解析，那么 在所有各奇点（包括 四.利用留数计算某些实积分 例4 例5 例6 例7