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1、高三年级第一学期第三次月考数学试题一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合=5,6,7，=5,7,8，则( ) A B. C. D 2.下面四个条件中，使成立的充要条件是( ) A BCD3. 已知为坐标原点，向量且,则点的坐标为( ) A BC D4.函数(为常数，的部分图象如右图所示，则的值为( ) A B. C.0 D.5已知+1(xR),若f(a)=3,则f(-a)的值为( ) A-3 B.-2 C.-1 D.06已知实数满足则的最大值为( ) A.9 B. 17 C. 5 D.157已知等差数列的前项和为，,则使取得
2、最小值时的值为 ( ) A4 B.5 C.6 D.78. 已知函数，下面结论错误的是( ) A函数的最小正周期为 B可由向左平移个单位得到C函数的图象关于直线对称 D函数在区间上是增函数9.已知an为等比数列，下面结论中准确的是( )Aa1a32a2 Baa2a C若a1a3，则a1a2 D若a3a1，则a4a210 已知函数f (x)，则f (x)在上的零点个数为( ) A1 B2 C3 D411.已知、是球的球面上三点，三棱锥的高为,且=60 ，=2， =4，则球的表面积为( ) A B. C. D.12.函数对于，总有成立，则( ) A1B2 C3D4二、填空题：(本大题共4小题，每小题
3、5分，共20分.)13. 在中，,则的长度为_.14.已知 i、j、k为两两相互垂直的单位向量， 非零向量a=i+j+k()，若向量a与向量i、j、k的夹角分别为、，则_.15. 设分别是在区间上的最大值和最小值，则，由上述估值定理，估计定积分的取值范围是 .16在中，是内切圆圆心，设是外的三角形区域内的动点，若，则点所在区域的面积为_三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分10分)某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、.经测量AD= BD=14 , BC=1
4、0 , AC=16 , .（）求AB的长度；（）若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低，请说明理由.18（本小题满分12分） 已知数列为公差不为零的等差数列，各项均为正数的等比数列的第1项、第3项、第5项分别是. （）求数列与的通项公式； （）求数列的前项和.19某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入(
5、x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总收入之和？并求出此时商品的每件定价20. （本小题满分12分） 如图,在多面体ABCDEF中， ABCD为菱形，,EC面ABCD, FA面ABCD,G为BF的中点，若EG/面ABCD. ()求证:EG面ABF;（）若，求二面角B-EF-D 的余弦值.21 （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知定点、，为动点，且直线与直线的斜率之积为，设动点的轨迹为曲线.（）求曲线的方程；（）过定点的动直线与曲线交于、两点，是否存在定
6、点，使得为定值，若存在求出的值；若不存在请说明理由.22. （本小题满分12分）已知函数在内有极值.（）求实数的取值范围；（）若，且时，求证：.高三年级第三次月考数学答案112 CDCAC BBBBB CD 1316 1或2; 1； ；17. (本小题满分10分) 解：（）在中，由余弦定理得 在中，由余弦定理及整理得 2分由得： 整理可得 ，4分又为三角形的内角，所以, 又,所以是等边三角形，故，即A、B两点的距离为14.6分（）小李的设计符合要求.理由如下： 因为所以10分18解：（）设数列的公差为d, 数列的公比为q,由题意得：, 2分 , ,所以.4分于是的各项均为正数, ,所以q=3，
7、 .6分（）, .8分两式两边分别相减得：10分 19；解：(1)设每件定价为t元，依题意得 t258，整理得t265t1 0000，解得25t40. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元(2)依题意知当x25时， 不等式ax25850(x2600)x有解，等价于x25时，ax有解由于x2 10，当且仅当，即x30时等号成立，所以a10.2.当该商品明年的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元. 20. (本小题满分12分)解:()取AB的中点M，连结GM,MC，G为BF的中点,所以GM /FA,又EC面A
8、BCD, FA面ABCD,CE/AF,CE/GM,2分面CEGM面ABCD=CM,EG/ 面ABCD,EG/CM,4分在正三角形ABC中，CMAB,又AFCMEGAB, EGAF,EG面ABF.6分（）建立如图所示的坐标系,设AB=2,则B（）E(0,1,1) F（0，-1，2）=(0，-2,1) , =(,-1，-1), =(,1， 1),8分设平面BEF的法向量=（）则 令，则,=（）10分 同理，可求平面DEF的法向量 =（-）设所求二面角的平面角为，则 =.12分21. （本小题满分12分） 解：（）设动点，则.2分 即.4分（）当直线的斜率存在时，设的方程为，则联立方程组，消去得,设
9、，则6分,8分若为定值，则须， 即即可，此时定值为.10分当的斜率不存在时，, 验证当,.由上可知存在定点，使得为定值.12分22（本小题满分12分） 解：（）由得：，方法1：因为令, 可求令或2分 则 . 4分 方法2：由得： ，令，则则函数在上单调递增；2分 又，. 4分方法3：由得：， 令，则， 在上单调递减，且，则函数在上单调递增； 2分 . 4分（注意：若只求出的值域为而不说明单调性扣1分）（）由（）得： , 设的两根为.则：，得： , .6分 ，函数单调递增；，函数单调递减；则 , 8分则, = 10分 令, 则，则函数单调递增，.，又则, 所以： .12分另解：（其余同上） , = , .10分令, 则，则函数单调递减，, ，又,则,所以： . 12分