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1、1.6 置换群(1.6 Permutation Group),群G的作成的群叫n次对称群Sn ，置换群是n次对称群Sn 的子群. 由Cayley定理，任一个有限群必与一个置换群同构因此，需要对置换群作进一步的详细讨论。本节，我们将把置换群分解为循环的乘积，并得到置换群的一些初步性质。 1.6.1 置换的循环分解 (Cyclic Resolving of Permutation) 在前面我们知道，一个置换, 可以表示成如下的形式, 其中i1i2 in 是 1，2，n的一个排列。,Def：设 是一个n次置换，满足 (1) (i1)=i2, (i2)=i3, (ir)=i1; (2) 保留1，2，n
2、 中的其余元素不变。 则称为长度为r的循环，或称r阶循环。记为 = (i1i2 ir ),例如 是一个长度为4的循环，或称4阶循环。 两个循环 = (i1i2 ir ), = (j1j2 js ) 称为不相交的，如果对任何的k, l，都有 ik jl 两个置换的乘积一般是不可交换的，但是可以证明，两个不相交的循环的乘积是可交换的。,Th 1 任一个n次置换 都可以分解为两两不相交的循环的乘积，而且这种分解式除因子的次序不同外是唯一的。,证明:先证明分解式的存在性：从1,2, ,n中任选一个数作为i1 ，依次求出 (i1)=i2, (i2)=i3, 直至这个序列中第一次出现重复，这个第一次出现重
3、复的数必然是i1 ，即存在ir ，使 (ir)= i1 ，于是得到循环 1 = (i1i2 ir ) 。 然后再取 j1 (i1i2 ir )，重复以上步骤可得 2 = (j1j2 js )，并且由映射的定义知 1与 2无公共元素。 如此下去，直至每一个元素都在某一个循环中，因而得到的分解式 = 1 2 k,再证明分解式的唯一性：,若 有两个不同的分解式，则一定出现两个数码ij，在一个分解式中 j 紧接着 i 出现，而在另一个分解式中紧接着 i 的不是 j 。这表明，从第一个分解式得 (i)= j ，而从第二个分解式得 (i) j ，矛盾。 例：,1.6.2 置换的对换分解 (Transpos
4、ition Resolving of Permutation),Def：长度为2的循环 称为对换， =(a b)。 Th 2 任一个n次置换 都可以分解为对换的乘积， = 1 1 s 而且的个数 s 的奇偶性由 唯一确定，与分解方法无关。 证明：由于每一个循环 = (i1i2 ir )都可以写成对换的乘积 (i1i2 ir )= (i1i2) (i1i3)(i1 ir ) 它是r-1个对换的乘积。因此，任一个n次置换 都可以分解为对换的乘积。,再证明分解式中对换个数的奇偶性的唯一性：,证明的基本思想是用一对对换 =(a b)右乘，令N( )表示分解式中所含对换的个数，则N( (a b)与N(
5、) 有相反奇偶性，并注意到N()=0 （这里是恒等变换）即可。 为了证明 N( (a b)与N( )有相反奇偶性，我们注意有下述等式： (ac1c2ch) (bd1d2 dk) (a b) = (ac1ch bd1dk) (ac1ch bd1dk)(a b)= (ac1c2ch) (bd1d2 dk) 事实上，由于(a b) -1= (a b),从而第一个等式可由第二个等式右乘(a b)得到。对于第二个等式，可以从它们作用到1，2，n 的每一个数码上的像来验证。,由于上述两个等式，若 (a b)右乘，且a，b在的同一个循环中出现，则N( (a b)=N( )-1 ；,若 a，b在的不同循环中出
6、现，则N( (a b)=N( )+1。总之， N( (a b)=N( ) 1。 今设有一个表示成 m 个对换的乘积的表示式 = (a b) (cd) (pq) 由于(a b) -1= (a b),从而 (pq) (cd) (a b) = e。但是， N(e)=0 ，故N( ) 1 1 10,因此 m 与N( )有相同的奇偶性。 证毕 例：,置换 如果可以分解为偶数个(奇数个)对换的乘积,则它表示为对换乘积的任一个表达式中所含对换的个数都是偶数(奇数),此时,称置换 为偶置换(奇置换).,置换 的乘积的性质: 1. 两个偶置换的乘积是偶置换; 2. 两个奇置换的乘积是偶置换; 3. 一个偶置换与一个奇置换的乘积是奇置换. 例 令 An= Sn, 是偶置换 则恒等置换 eAn ，又 , An An (封闭性)。 注意到 -1 =e，从而和 -1有相同的奇偶性。 因此， An -1 An (有逆元)。 可见n次对称群Sn 中的全体偶置换An构成Sn的一个子群，称为n次交代群(n次交错群)。 End,