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1、2. 聚点，内点，界点,系,存在三种互斥情况:,设 E 是 n 维空间 中的一个点集， 是,1 定义:聚点，内点，界点,孤立点,第一：在 p0 点的附近根本没有E的点。,第二：在 p0附近全是E的点。,第三：在 p0附近既有属于E的点也有不,属于E 的点。,定义1,P0是E的内点.,1) 存在点 p0的一个邻域 使 ,称,2) 存在点 p0的一个邻域 使 ,称,P0是E的外点.,3) 若p0 的任一 邻域 内既有E中的点,又有 中的点,即,则称P0是E的边界点.(界点),/,定义2,1) 对点p0的任意邻域 中至少含有异于p0,的E中的一点.,若p0的任意邻域 内部都含有E中的无,限多个点,则
2、称p0是E的聚点.,p,2 聚点的类型,1) E中无聚点,E=1,2,3,，n,、有限集、,2) E中有有限个聚点,、0是聚点。,3) E中有无限多个聚点,E=(0，1)、0，1内全体实数都是E的聚点。,注意：聚点p0不一定是E的中的点。,定理1,下面三个命题是等价的,(1) p0是E的聚点.,(2) 对于p0的任一邻域内,至少含有一个,属于E而异于p0的点.,(3) 存在E中互异的点所成点列 使,证明：,故只须证,依次构造出E中互异的,点列,使,定义 3,定点，如果 属于E但不是E的聚点,则 称为E 的孤立点。,注意：,证明:,设P0为E的孤立点,由定义P0E,但P0不是E的聚点,再由定理1
3、知存在P0的邻域,U(P0),在U(P0)中除P0外不含有E中任何点,从而EU(P0)=P0.,反之,E,U(P0),使得U(P0)E=P0,则P0E,但U(P0)中不含E中的点,由定理1知P0不是聚点,故P0是E的孤立点.,注,(2),E的界点不是聚点便是孤立点。,点的类型,内点,界点,外点,或,聚点,孤立点,外点,(2),E的界点不是聚点便是孤立点。,证明:,设P0是E的边界点,若P0不是E 的聚点,则存在U(P0)不含有异于P0的E中点,又P0是E 的边界点,知P0的任意邻域,U(P0)E,特别对于U(P0),也有,U(P0)E,故,U(P0)E=P0,由注(1)知P0是E的孤立点.,注
4、,（1）孤立点是界点,（2）内点是聚点,（3）界点是聚界点或孤立点,（4）聚点含内点和聚界点,（5）界点和聚点不一点,因此得出以下几项注意,3 开核、边界、导集、闭包,定义 4,(3),E 的全体聚点所成的集合，称为E 的,导集。,记为,闭包的其他形式：,E 的全体孤立点,闭包与开核的对偶关系：,定理 2,定理 3,证明：,1),由定理2,定理 3,2),反之设,存在互异的点列,有,若,则,若,则,则Pn中最多有有限个点属于A,其余的,无限多个点属于B。,/,/,再由定理1(3)得,故也有,由1）2）知,非空，,2),A,证明：,集合为至多可数集。,对任意,有,取有理数,令,若非空必是孤立点集，,由1),由已知,由2),则,2),定理 4,设E是一个有界的无限集合，则E至,少有一个聚点。,即,定理 5,(Bolzano-weierstrass),