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1、数形结合解零点问题小议 “数缺形时少直觉，形少数时难入微”（华罗庚语）.数形结合指的是在解决数学问题时，使数的问题，借助形更直观，而形的问题，借助数更理性.函数的零点就是函数图象与x轴的交点的横坐标，数形结合能给零点问题的解决带来极大的方便.一、零点个数问题(图1)例1函数的零点有 个.解析： 的零点就是方程的解,在同一平面直角坐标系中画出和的图象(如图1) ,可见函数的零点个数为1.评注：函数的图象不容易画,所以转化为容易画的和的图象的交点问题加以观察.(图2)例2.讨论函数的零点个数.解析： 在同一平面直角坐标系中画出和的图象(如图2) ,可见：当时, 和没有公共点, 函数的零点个数为0;
2、当或时, 和有2个公共点, 函数的零点个数为2;当时, 和有3个公共点, 函数的零点个数为3;当时, 和有4个公共点, 函数的零点个数为4.(图3)例3.若存有区间,使函数的值域是,求实数的范围.解析： 因为在上递增,若存有区间,使在上的值域是,必有.问题转化为“求的范围,使关于x的方程有两个不等实根”.在同一平面直角坐标系中画出和的图象(如图3),可见当时, 和的图象有两个不同的公共点.由得： ,.所以当时,直线与曲线相切.结合图形观察得,当时, 和的图象有两个不同的公共点,此时关于x的方程有两个不等实根.所以的范围是.评注： 因为画图精确性的限制,直线与曲线相切时的的值,并不能通过图象观察
3、得出,这时要以数助形,运算求解.二、零点所在区间问题(图4)例4函数的零点所在区间为（ ）A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，+)解析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y =lgx与的图象(如图4).它们的交点横坐标,显然在区间(1，3)内，由此排除A、D.至于选B还是选C,单凭直观比较困难了,这时要比较与2的大小.当x=2时，lgx=lg2，3x=1.因为lg21，所以2，从而判定(2，3)，故本题应选C.评注：数形结合，要在结合方面下功夫.本题不但要通过图象直观估计，而且还要计算两个函数值，通过比较其大小实行判断.例5.已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围(
4、图5)解析：当时, 函数在区间上没有零点.当时, 的零点就是关于的方程的根.在同一平面直角坐标系中，画出函数与的图象(如图5). 若过定点A(0,)的直线与抛物线相切于轴下方,由中的,解得(当时,切点在轴上方).设直线与交于B点,直线AB的斜率.所以使与有公共点的的范围是.解不等式得, 实数a的取值范围为(-, 1, +).评注:此题是一元二次方程根的分布问题，涉及到在区间内有一个根、两个根等情况.此题有多种解题方法，此处数形结合的应用可以减少分类讨论.三、零点值的问题(图6)例6.若函数的零点是,的零点是,求的值.解析: 在同一平面直角坐标系中，画出函数、与的图象(如图6).设与交于点A，与交于点B，因为和互为反函数，所以A、B两点关于直线对称,有.又A在上,所以.