《人教课标版高中数学选修4-5：《不等式的基本性质》教案(1)-新版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教课标版高中数学选修4-5：《不等式的基本性质》教案(1)-新版.docx（21页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.1课时 1 不等式的基本性质一、教学目标（一）核心素养在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论， 使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平.（二）学习目标1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础.2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明.3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法.（三）学习重点应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明.（四）学习难点灵活应用不等式的基本性质.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（ 1）读一读：阅读教材第2 页
2、至第 4 页，填空：ababab（ 2）判断：下列说法是否正确？ ab, bcac acbcab acbcab aba3b3 aba2b2 ab, cdacbd2.预习自测（ 1）当x，代数式(x1)2 的值不大于 x1的值 .【知识点】作差比较法【解题过程】 ( x1)2( x1)x2xx(x1)【思路点拨】熟悉作差比较法【答案】 0,1（ 2）若 cR ，则 ac2bc2abA.B.C.D.【知识点】不等式的基本性质【解题过程】由 ac2bc2 ，得 c 0 ，所以 c20 ；当 a b, c0时， ac 2bc 2 .【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】 A.（ ）当实数 a, b
3、满足怎样条件时，由 a b 能推出 11?3ab【知识点】作差比较法【解题过程】 11ba ，因为 ab ，所以当 ab0 时， 11 .ababab【思路点拨】掌握作差比较法【答案】当 ab0 时， 11 .ab(二 )课堂设计1.问题探究探究一结合实例，认识不等式活动归纳提炼概念人与人的年龄大小、 高矮胖瘦，物与物的形状结构， 事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的.【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程 . 活动 认识作差比较法关于实数 a,b 的大小关系，有以下基本事实：如果
4、ab ，那么 ab 是正数；如果 ab ，那么反过来也对 .这个基本事实可以表示为：abab0; aabb 等于零；如果ab0; abab ，那么 ab 是负数 .ab0 ，上面的符号“”表示“等价于”，即可以互相推出.从上述基本事实可知， 要比较两个实数的大小， 可以转化为比较它们的差与零的大小， 这是研究不等式的一个出发点 .这种方法称为作差比较法 .【设计意图】通过基本事实，加深对不等式的理解，突破重点.活动了解作差比较法的步骤例 1试比较 ( x3)( x 7)和 ( x 5)( x6) 的大小 .【知识点】作差比较法【数学思想】分类讨论思想【解题过程】第一步：作差(x 3)( x7)
5、( x 5)( x6)第二步：变形(x 3)( x 7)(x 5)(x6) ( x210x 21) ( x211x 30)x 9第三步：定号当 x 90 时， x9 ；当 x9 0 时， x=9 ；当 x 90 时， x 9第四步：结论当 x9时， ( x3)( x 7) ( x 5)( x 6) ；当 x9时， ( x3)( x 7)=( x5)( x6)；当 x9时， ( x3)( x 7) ( x 5)( x 6) ；【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤【答案】当 x9时， ( x3)( x 7) ( x 5)( x 6) ；当 x9时， ( x3)( x 7)=( x5)( x6)
6、 ；当 x9时， ( x3)( x 7) ( x 5)( x 6) ；思考：作差比较法的步骤中，哪一步最为关键？第二步变形最重要， 变形要变到可以判断代数式的正负为止，变形的方法通常有分解因式，配方，平方，有理化等 .同类训练比较 (x1)(x2) 与 ( x3)( x6) 的大小 .【知识点】作差比较法【数学思想】分类讨论思想【解题过程】 因为 ( x 1)(x 2) ( x 3)(x 6)( x23x 2) (x23x 18) 20 0 ，所以 ( x1)( x2)( x3)( x6)【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤【答案】 (x1)(x2)( x3)( x6)【设计意图】通过对作
7、差比较法的步骤分析，更加深刻理解不等式.探究二探究不等式的基本性质活动认识不等式的基本性质我们知道，等式的基本性质是从数的运算的角度提出的.同样的，由于不等式也研究实数之间的关系，所以联系实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）来思考不等式的基本性质是非常自然的 .例如，不等式两边加（或乘）同一个数，不等式是否仍然成立？等等.由两个实数大小关系的基本事实，可以得出不等式的一些基本性质.（ ）如果 ab ，那么 ba ；如果 ba ，那么 ab即 a bb a.1.（ ）如果 ab,bc ，那么 ac.即 ab, bcac.2（ ）如果 ab ，那么 acbc.3（ ）如果 ab, c0 ，那
8、么 acbc ；如果 ab, c0，那么 acbc.4（ ）如果 ab0 ，那么ann(n N, n 2) .5b（ 6）如果 ab0 ，那么 nanb(nN , n2) .通过语言叙述可以加深理解上述基本性质 .例如，性质（ 4）可以表述为：不等式两边同乘一个正数，不等号同向；不等式两边同乘一个负数，不等号反向 .对于以上的基本性质，可采用作差比较法来证明，如性质（4）：证明：ac bcc(ab) ，如果 ab, c 0，则 a b 0, c 0 ，所以 ac bcc( a b) 0 ，即 acbc ，同理如果 ab, c0 ，那么 acbc .思考：通过不等式的基本性质，在研究不等式时，需
9、要特别注意什么问题？事实上，从上述基本性质可以发现，在研究不等式时，需要特别注意“符号问题”，即在作乘（除）法运算时，乘（除）数的符号会影响不等号的方向.【设计意图】通过对不等式的性质的认识，为后面的运用做好铺垫.活动 巩固理解，拓展延伸上述关于不等式的基本事实和基本性质是解决不等式问题的基本依据，研究不等式时， 经常以它们作为出发点 .例如，利用不等式的基本性质可以得到下列结论：（ 1）如果 ab, cd ，那么 a cbd ；（ ）如果 ab 0, c d 0 ，那么 acbd ；2（ 3）如果 ab0, ab ，那么 11 .ab对于上述（ 2），可由如下方法证明：ac bd (acbc
10、)(bc bd ) c(ab)b(c d ) 0 ，所以 ac bd .【设计意图】从给出的基本性质到延伸性质，加深对不等式的认识.探究三不等式性质的应用活动利用性质证明不等式例 2已知 a b 0, c d0 ，求证：abd.c【知识点】不等式的基本性质【解题过程】证明：因为 a b 0, c d0 ，所以 a b 0, 110.所以 abab，故.dcdcdc【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】见解析同类训练求证：如果 ab0, cd0 ，那么 acbd .【知识点】不等式的基本性质【解题过程】证明：因为cd0 ，所以cd0 ，又因为ab0 ，所以两式可相乘，得acbd ，所以acbd
11、 .【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】见解析【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用不等式的性质证明不等式.活动互动交流、判断正误例 3若 110 ，以下结论中正确的有ab abab ； | a | |b | ； ab ； a2ab0【知识点】不等式的基本性质；特殊值法【数学思想】特殊与一般思想【解题过程】法：由 110，得 ba 0 ，所以 a b0 ab ，正确，错误；1baa2ab a( ab)0 ，正确法 2：取 a1,b2 ，可算出各式的值，得出答案 .【思路点拨】熟悉不等式的基本性质，掌握特殊值法.【答案】同类训练判断下列各命题的真假，并说明理由：（ 1）如果 ab ，那
12、么 acbc ；（ 2）如果 ab ，那么 ac2bc2 ；（ 3）如果 ab ，那么 anbn (n N * ) anbn (nR ) ；（4）如果 a b, cd ，那么 a c b d .【知识点】不等式的基本性质【解题过程】（1）是假命题，因为不知 c 的正负；（ 2）是假命题， 因为当 c0 时不成立；（3）是假命题，因为不知a,b 的正负；（ 4）是真命题，因为 ab, cd ，由同向不等式的可加性知 , a c b d .【思路点拨】熟悉不等式的基本性质【答案】见解析【设计意图】通过分析不等式的结论是否正确，掌握利用不等式的性质判断及特殊值判断.2.课堂总结知识梳理（ 1） ab
13、ab0; abab0; abab0 .（ 2）作差比较法的步骤：作差、变形、定号、结论.（ 3）不等式的基本性质 .重难点归纳（ 1）应用不等式的基本性质推理判断命题的真假 .（ 2）灵活应用不等式的基本性质 .（三）课后作业基础型自主突破1.设 a, bR , 则 “ (ab)a20 ”是“ ab ”的（）A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】不等式的性质；充分必要条件【数学思想】分类讨论思想【解题过程】若 (ab)a20 ，则 ab ；若 ab ，则 (ab)a20 ，所以“ ( ab)a20”是“ ab ”的充分而不必要条件 .【思路点拨
14、】掌握不等式的基本性质【答案】 A2.对于任意实数a, b, c, d ，下列五个命题中 :若 ab,c 0，则 ac bc ；若 ab ，则 ac2bc2 ；若 ac2bc 2 ，则 a b ；若 ab, 则 11 ；ab若 ab 0, cd ，则 acbd .其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【知识点】不等式的性质【解题过程】 a b, c0 ，当 c0 时， ac bc 不成立，是假命题； ab ，当 c 0,c20 时，ac2bc2 不成立，是假命题；因为 ac2bc2 ，所以， c20 ，a b ，是真命题； ab, 当 a, b同号时， 11 成立，而 a, b 异号时
15、， 11 不成立， 是假命题； a b0, c d 时， acbd 不abab一定成立，只有当 ab 0, c d0 时， ac bd 成立，是假命题 .【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】 A如果 ab0,那么（）3.A. a b0B. acbcC. a2b2D. 11ab【知识点】不等式的性质【解题过程】利用不等式的性质: a b1100ba【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】 D4.不等式 lg x2lg 2 x 的解集是（）A. ( 1 ,1)B. (100,)C. (1 ,1) U (100,)D. (0,1)U (100,)100100【知识点】不等式性质及对数运算 .【解
16、题过程】：由 lg x2lg 2 x2lg xlg 2 xlg x2 或 lg x 0x 100或 0 x 1【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数运算，注意真数大于0.【答案】 D5.设 a1 b1,则下列不等式中恒成立的是（）A. ab2B.11C.11D. a22babab【知识点】不等式的性质及应用【解题过程】由1b10b21, 又 a1,ab2 .【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】 A6.若 ab0，则下列不等式一定成立的是（）A.11B. a 2abC. a abaD. | b | |b | 1abba | a | 1【知识点】不等式的性质.【数学思想】特殊与一般思想【解题过
17、程】当 a2 b1 0 时，11 ， aa1ba1 ，选项 A 、 C 都不成立，abb4又 ab 0 ， a2ab ，选项 B 不成立，又 | b |b |1|b | a |b a0 ，即a| a | 1 | a |(| a | 1)| a | (| a | 1)| b | b | 1 成立 .a| a | 1【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】 D能力型师生共研7.已知命题p :x1,2, x2a0 ，命题 q :xR, x22ax2a0 ，若命题pq 是真命题，则实数 a 的取值范围是（）A. a2或 a 1B. a 2 或 1 a 2C. a 2D. 2 a 1【知识点】命题及不等
18、式【数学思想】化归与转化思想【解题过程】命题 p 为真命题时，要使x1,2, x2a0，只需 a( x2 )min，因为 x1,2 ，所 以 1x24， 所 以 (x2 ) min1，所 以 a1 ； 命 题 q为 真 命 题 时 ，x R , x22ax2 a0 ，即 x22ax2a 0 有实数根，所以(2 a)24(2a)0 ，解得a或1 因为 pq 是真命题，所以p,q 均为真命题取交集得 a2或 a1.2 a.【思路点拨】掌握分离参数法解含参问题【答案】 A8.已知a,b, c R ，给出下列命题：若 ab ，则 ac2bc2 ；若 ab0 ，则 ab2 ；若 ab 0,n N ，则
19、anbn ；ba若 log a b 0(a0, a 1) ，则 a, b 中至少有一个大于 1.其中真命题的个数为（）A.2B.3C.4D.1【知识点】不等式及不等关系，不等式的性质，对数的性质.【解题过程】当 c0 时， ac2bc 20 ，所以为假命题；当a 与 b 异号时， a0 ， b0 ，ba所 以 为 假 命 题 ； 因 为 ab0,nN， 所 以 anbn ， 为 真 命 题 . 若loga b0(a 0, a1) ，则有可能 a1,0b1或 b 1,0 a 1，即 a,b 中至少有一个大于1.是真命题 .【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数的性质【答案】 A探究型多维突破9.
20、集合 S x, y, zx、 y、 zN * ，且 xyz 、 yzx 、 zxy 恰有一个成立 ，若 x, y, zS 且 z, w, xS,则下列选项正确的是（）A. y, z, wS, x, y, wSB. y, z, wS, x, y, wSC. y, z, wS,x, y, wSD. y, z, wS,x, y, wS【知识点】不等关系.【数学思想】分类讨论思想【解题过程】 从集合S 的定义，x, y, zS 可三个不等式，z, w, xS 也可得三个不等式，组合之后可知x, y, z, w 满足不等关系xyz 且xzw ，或xyz 且 wxy ，或yzx且zwx ， 或zxy 且z
21、wx ， 这 样 可 能 有yzw或wyz 或yzw或wxy ，于是x, y, wS 不一定成立，y, z,wS 也不一定成立.【思路点拨】分类讨论注意不重不漏【答案】 B10.已知 ab0 ，则下列不等式中总成立的是（）A. a1b1B. a1b1C. b b 1D. b1a1baabaa 1ba【知识点】不等式的性质【解题过程】 Q ab 0,110,a1b1 .baba【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】 A自助餐11.如果 a、 b、 c 满足 cba ，且 ac0 ，那么下列选项不恒成立的是（）A. abacB. cb2ab2C. c ba0D. ac ac0【知识点】不等式的性
22、质 .【解题过程】 c a 且 ac 0 ，故 c 0, a0，由不等式的性质知 A ，C，D 都恒成立 .【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】 B12.已知 a, bR 且 a b ，则下列不等式中成立的是（）A. a1B. a2b2C. ln a b 0D. 2a b1b【知识点】不等式的性质 .【解题过程】只有当 ab0 时，选项 A ，B 正确；要使 ln ab0 ，必须 a b1 ，所以选项C 错误；当 ab 时， ab0 ,2a b201 .【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D13.设a, b, cR 且 ab ，则（）A. acbcB.11C. a2b2D. a3b3a
23、b【知识点】不等式的性质.【解题过程】选项A 中若 c, 0 时 ,结果错 ,故A 不正确 ;选项B 中若 0ab 时 ,结果错 ,故B 不正确 ;选项C 中若 0ab 时,结果错 ,故C 不正确 ;在选项D 中由不等式性质可知是正确的.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】 D14.当 0x1时，下列大小关系正确的是（）A. x33xlog3 xB. log 3 x x33xC.3xx3log 3 xD. log 3 x 3xx3【知识点】利用中间值法比较大小【解题 过程 】当 0x1 时， log 3 xlog3 10 ， 0x3131 ， 1303x3 13 ， 所以log3 xx33
24、x .【思路点拨】利用中间值法比较大小时，注意找准“中值”【答案】 B1.43ln 3 ,则 a,b, c 的大小关系是（15.设 a,b32 , c2）2A. a b cB. b c aC. c a bD. b a c【知识点】比较大小 .2)1.4331 ，所以 c 最小，而 a221.4 ， b233【解题过程】 a(1， b321 ， cln27 ，2所以 a2b2 ，即 ab ，所以综上得： c ab .【思路点拨】比较对数或指数大小时，可先确定其大致范围，然后再比较【答案】 D若5，则3ab的取值范围为， 2ab 的取值范围为.16. 2 a 4, 3 bb【知识点】不等式的性质【解题过程】因为 2a4, 3b 5 ，所以 6 3a 12, 5b3 ，所以 1 3a b9 ；4 2a 8,111 ，所以 42a8 ，所以 92a111 ，即 92a b11 .5b35b35b35b3【思路点拨】应用不等式的可加或可乘性求范围时，注意使用条件.9 11【答案】 1,9) ； ,)