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1、第 51 课时教学内容：探索型问题的解法（3）教学过程：例 1如图，已知ABC是等腰直角三角形，C=90（ 1）操作并观察，如图，将三角板的45角的顶点与点C 重合，使这个角落在ACB的内部，两边分别与斜边AB 交于E、 F 两点，然后将这个角绕着点C在 ACB的内部旋转，观察在点E、 F 的位置发生变化时，AE、 EF、 FB 中最长线段是否始终是EF写出观察结果。（ 2）探索： AE、 EF、 FB 这三条线段能否组成以 EF 为斜边的直角三角形（即能否有 EF2=AE2+BF2）如果能，试加以证明。解：（ 1）观察结果是： 当 45角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C 在重合，并将这个
2、角绕着点C 在 ACB内部旋转时， AE、 EF、FB 中最长的线段始终是EF。（2） AE、 EF、 FB 三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形，证明如下：如图在 ECF的内部作 ECG=ACE， 使 CG=AC，连结 EG， FG， ACE GCE， A=1，同理 B= 2， A+ B=90， 1+ 2=90， EGF=90， EF 为斜边。例 2如图，一个圆形街心花园，有三个出口A，B，C，每两个出口之间有一条60米长的道路， 组成正三角形ABC，在中心点 O处有一亭子， 为使亭子与原有的道路相通，需再修三条小路OD，OE，OF，使另一出口D、E、F 分别落在ABC分成三个全等的多边形
3、，以备种植不同品种的花草。（1）请你按以上要求设计两种不同的方案，将你的设计方案分别画在图1，图 2中，并附简单说明。（2）要使三条小路把ABC分成三个全等的等腰梯形，应怎样设计请把方案画在图 3 中，并求此时三条小路的总长。（ 3）请你探究出一种一般方法，使得出口 D 不论在什么位置，都能准确地找到另外两个出口 E、F 的位置，请写明这个方法。（ 4）你在（ 3）中探究出的一般方法适用于正五边形吗请结合图5 予以说明，这种方法能推广到正n 边形吗解：（ 1）方案 1： D， E， F 与 A， B， C 重合，连OD， OE， OF，方案 2： OD， OE， OF分别垂直于AB， BC，A
4、C（ 2） OD AC， OE AB， OF BC，如图（ 3） 作 OM BC于 M，连 OB，ABC是等边，BM=BC=30，且 OBM=30， OM=10， OE AB， OEM=60， OE=20，又 OE=OF=OD， OE+OF+OD=3OE=60，答：略。（ 3）如图（ 4）方法 1：在 BC， CA，AB上分别截取 BE=CF=AD，连结 OD， OE， OF方法 2：在 AB 上任取一点D，连 OD，逆时针旋转OD 120两次，得E， F。（ 4） M1 为A1A2 上任一点， 在各 上分 取A2M2=A3M3=A4M4=A5M5=A1M1， OM1 OM5即可，可推广到正n 形。