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1、28.2.1解直角三角形（刘佳）一、教学目标1核心素养 :通过解直角三角形的学习，初步形成基本的运算能力、推理能力、应用意识 . 2学习目标（ 1） 1.1.1 在实际问题中体会解直角三角形的方法；（ 2） 1.1.2 掌握直角三角形各元素间的关系，理解解直角三角形的含义；（ 3） 1.1.3 会解直角三角形，并能运用其解决简单问题 .3学习重点解直角三角形4学习难点三角函数在解直角三角形中的灵活运用二、教学设计（一）课前设计1预习任务任务 1阅读教材 P72-P73，思考：什么是解直角三角形？如何解直角三角形？任务 2阅读教材 P72-P73，思考：如何解直角三角形？2预习自测一、选择题1在
2、 ABC中， C 90， AC3，AB 4，欲求A 的值，最适宜的做法是（）A 计算 tanA 的值求出B 计算 sinA 的值求出C 计算 cosA 的值求出D 先根据 sinB 求出 B，再利用 90B求出答案： C解析：因为 AC3 是A的邻边， AB 4 是A的斜边，所以计算cosA 的值求出A. 故选 C.2如图，在 ABC中， C90， AB5，BC 3，则 cosA 的值是（）3434A. 4B.3C.5D.5答案： D第 1页解析：在 Rt ABC中， cosA= AC4. 故选 D.AB5二、解答题3. 如图，在 RtABC中， C90， B45， a， b， c 分别为 A
3、， B， C 的对边， c10，解这个直角三角形答案：见解析解析：设 b= x , 在 Rt ABC中， C90， B45 , 所以 A45，所以 a=b=x ，据勾股定理，所以 a=b=5 2 .（二）课堂设计1知识回顾（1）锐角三角函数：在RtABC中， C=90，在 Rt ABC中， A、B、 C所对的边分别记为 a、b、c，若 C=90，则a， b， tanA a .sin AcosAbcc（2）勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.（3）直角三角形两锐角互余.（4）含 30角的直角三角形的三边比为1:3 : 2 ；含 45角的直角三角形的三边比为1:1: 2.（5）
4、30、45、60角的三角函数值： sin 301 ，sin 452 ，sin 603 ，cos303 ，2222cos 452 ， cos601 ， tan 303 ， tan451， tan 603 .2232问题探究问题探究一已知直角三角形中的两个元素能求出其他元素吗？重点知识活动一创设情境，引入新知问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足 5070 ，如图现有一个长6m的梯子，问：(1) 使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙( 精确到 0. 1 m)(2) 当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少 ( 精确到 1o ) ？这时人是
5、否能够安全使用这个梯子？分析：对于问题（ 1），当梯子与地面所成的角为 75 时，梯子顶端与地面的距离是使用这第 2页个梯子所能攀到的最大高度. 问题（1）可以归结为：在 RtABC中，已知 A=75 ，斜边 AB=6，求 A 的对边 BC的长 .对于问题（ 2），当梯子底端距离墙面 2.4m 时，求梯子与地面所成的角的问题，可以归结为：在 Rt ABC中，已知 AC=2.4，斜边 AB=6，求锐角 的度数 .详解：（1）由 sin ABC 得， BC AB sin A 6 sin75. 由计算器求得 sin750.97 ，所以ABBC 6 0.97 5.8. 因此使用这个梯子能够安全攀到墙面
6、的最大高度约是5.8m.（2）由于 cosAC2.466 . 因此当梯子底端距离墙面2.4m 时，AB0.4 ，利用计算器求得6梯子与地面所成的角大约是 66 . 由 50 6675 可知，这时使用这个梯子是安全的 .活动二探究思考，理论提升思考：在上面问题的 RtABC中，（ 1）根据 A=75 ，斜边 AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？（ 2）根据 AC=2.4，斜边 AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？结论：可以，过程略 .问题探究二 什么是解直角三角形？依据是什么？ 重点知识 活动一解直角三角形1一般地，我们把三角形的三个角 A， B， C和它们的对边 a， b，
7、 c 叫做三角形的元素，即三角形共有六个元素 .2.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形.3. 在直角三角形中， 除直角外共有 5 个元素，即 3 条边和 2 个锐角，如果已知两个元素 （其中至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素 . 即解直角三角形满足“知二推三” .活动二直角三角形各元素间的关系直角三角形 ABC中， C=90， a、 b、 c、 A、 B 这五个元素间有哪些等量关系呢？（1）三边之间的关系a2 +b2 =c2 ( 勾股定理 )（2）两锐角之间的关系A+B=90（3）边角之间的关系以上三点就是解直角三角形的依据问题探究三怎样解直角三角形？重点、难
8、点知识第 3页活动一应用新知，巩固练习例 1：如图，在 RtABC中， C=90 ， AC2 2 ， BC6 ，解这个直角三角形 .【知识点：解直角三角形】BC6详解：tan A3 ，AC2点拨：已知两边，用三角函数求出一角是突破口.例 2：如图，在 RtABC中，B35 ， b20 ，解这个直角三角形（精确到0.1 ）【知识点：解直角三角形】详解：A90B903555 .点拨：已知一边一角，用三角函数求出第二条边是突破口.另外，解直角三角形的方法很多，在做题中要善于比较归纳、灵活处理.活动二应用新知，回顾引言我们一起来解决关于比萨斜塔倾斜的问题.例 3：如图，始建于 1350 年的意大利比萨
9、斜塔落成时就已经倾斜.1972 年比萨发生地震，这座高 54.5m 的斜塔大幅度摇摆22 分之后，仍巍然屹立 . 可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m 增加至 5.2m，而且还以每年倾斜 1cm的速度继续增加，随时都有倒塌的危险 . 为此，意大利当局从 1990年起对斜塔进行维修纠偏， 2019 年竣工，使塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了 43.8cm. 根据上面的信息，你能用“塔身中心线偏离垂直中心线的角度”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？【知识点：解直角三角形的应用；数学思想：数形结合】详解：先看 1972 年的情形：设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹
10、角为A，过 B 点向垂直中心线引垂线，垂足为C.在 RtABC中， C=90， BC=5.2m， AB=54.5msinA=BC5.2 0.0954 AB54.5所以 A528类似地，可以求出2019 年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角.活动三常见类型，归纳提升当图形中没有需要的直角三角形时，常常通过添加辅助线来构造直角三角形.例 1：如图，在 ABC中，已知 BC13， B60， C45，求 AB的长第 4页【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合】详解：如图，过点 A 作 ADBC，垂足为点 D.设 BDx，在 RtABD中， ADBDtan B xtan 60 3x.在 RtACD中
11、， C45， CAD90 C45. C CAD.CD AD 3x.BC 13，3x x 13.解得 x 1，即 BD1.BD在 RtABD中， cos B ，ABBD1AB cos B cos 60 2.点拨：无直角的三角形常常作高，作高一般不破坏特殊角.例 2如图，在四边形 ABCD中， AB2，CD 1， A60， D B90，求四边形 ABCD的面积【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合】详解：如图，延长 BC，AD交于点 E. A60， B90， E30.AB2在 RtABE中， BEtan E tan 30 2 3，在 RtCDE中， EC2CD 2.3DEECcos 30 22
12、 3.S S S2ABBE2CDED222 321 32 .四边形 ABCDRtABERtECD11113 3点拨：有直角、无三角形的图形常常延长某些边 . 本题看似是四边形问题，但注意到B90， A60，不难想到延长 BC，AD，构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决1例 3：如图，在 ABC中，点 D为 AB的中点， DCAC，sin BCD 3，求 tan A 的值第 5页【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合】详解：如图，过点 B 作 BECD，交 CD的延长线于点 E.点 D是 AB的中点， AD DB.又 ACD BED90， ADC BDE， ACD BED，
13、 CD DE， ACBE.在 RtCBE中， sin BCEBE1 ， BC 3BE.BC3221CE BC BE 22BE.CD 2CE 2BE 2AC.tan A CD2AC 2.ACAC点拨：有三角函数值不能直接利用时常常作垂线构造直角三角形， 把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键1例 4如图，在 ABC中， ABAC5，BC 8. 若 BPC 2BAC，求 tan BPC的值【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合】详解：如图，过点 A 作 AEBC于点 E，AB AC5，111BE 2BC28 4， BAE 2BAC.1 BPC 2BAC， BPC BAE.在 RtBAE中，由
14、勾股定理得AEAB2BE252 42 3，BE4 tan BPCtan BAE . AE 3点拨：求角的三角函数值，若角不在直角三角形中、也不好构造直角三角形时，可以尝试将角转化到容易构造直角三角形的位置求解.3课堂总结【知识梳理】（ 1）直角三角形各元素间的关系：三边关系-勾股定理；角的关系 -两锐角互余；第 6页边角关系 -锐角三角函数 .（ 2）解直角三角形： 在直角三角形中， 由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形 .（3）解直角三角形的一般方法【重难点突破】（1）熟练掌握直角三角形边的关系、角的关系、边角关系是解直角三角形的关键.（2）在做题过程中，抓住三角函数这一工具来求解，
15、往往是简单可行的办法 . 4随堂检测一、选择题41. 在 RtABC中， C 90， sinA 5，AC6 cm，则 BC的长为（）A 6 cm B 7 cmC 8 cm D 9 cm答案： C4解析：因为 sinA 5， AC6 cm，所以 AB=10，所以 BC的长为 8 cm . 故选 C.【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合】2. 如果等腰三角形的底角为30，腰长为 6 cm，那么这个三角形的面积为（）A 4.5 cm2222B 9 3cmC18 3cm D36 cm答案： B解析：设顶点为 A，过 A 作 BC的垂线，垂足是 D，在 Rt ABD中， AD为 30 度所对边，所
16、以 AD 长为 3cm，即高为 3cm.由三角函数或勾股定理得 BD为 3 3，所以底边为 6 3，根据 S0.5 底高 93，故选 B.【知识点：解直角三角形，三角形的面积公式，等腰三角形的性质；数学思想：数形结合】二、填空题3. 如图，点 C 在以 AB为直径的 O上， AB=10， A=30，则 BC的长为 _.答案： 5oo解析：直径所对的圆周角是直角， 直角三角形中 30 所对的直角边等于斜边的一半， 因此 C=90，而 A=30o,AB=10，所以 BC=AB/2=5.【知识点：解直角三角形，直径所对的圆周角是直角；数学思想：数形结合】4在 Rt ABC中， C90， a20， c 202，则 A _， B_，b_.第 7页答案： 45、 45、 20a2解析： cosB=，所以 B45 =A，据勾股定理可得b20.【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合】三、解答题5在 Rt ABC中， C90， c83， A60，解这个直角三角形答案：见解析解析： A 60， B90 A 30 .a3 sinA c， acsinA 8 3sin60 8 3 2 12.bc2a2（83）212243.【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合】第 8页