《关于平面几何的60条著名定理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《关于平面几何的60条著名定理.docx（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、关于平面几何的60 条著名定理一些平面几何的著名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成 2： 1 的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。7、三角形的三条高线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为 H，从 O向 BC边引垂线，设垂足为L，则 AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂
2、足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇 * 大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九第 1页点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： r=(s-a)(s-b)(s-c)s， s 为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边 BC的中点为 P，则有 A
3、B2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P 将三角形ABC的边 BC内分成 m:n，则有 n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点 M和对角线交点E 的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B 的距离之比为定比m:n（值不为1）的点 P，位于将线段AB分成 m:n 的内分点C 和外分点 D 为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD20、以任意三角形ABC的边
4、 BC、 CA、 AB为底边，分别向外作底角都是30 度的等腰 BDC、 CEA、 AFB，则 DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若 ABC和 DEF都是正三角形，则由线段 AD、 BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。第 2页22、爱尔可斯定理2：若 ABC、 DEF、 GHI 都是正三角形，则由三角形 ADG、 BEH、 CFI的重心构成的三角形是正三角形。23、梅涅劳斯定理：设 ABC 的三边 BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、 R 则有 BPPC×CQQA×ARRB=124、梅涅劳斯定理的逆定理：（略）25、梅
5、涅劳斯定理的应用定理1：设 ABC的∠A 的外角平分线交边CA于 Q、∠C 的平分线交边AB于 R，、∠B的平分线交边CA于 Q，则 P、 Q、 R 三点共线。26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意 ABC 的三个顶点A、B、 C 作它的外接圆的切线，分别和BC、 CA、AB的延长线交于点 P、 Q、 R，则 P、 Q、 R 三点共线27、塞瓦定理：设 ABC 的三个顶点 A、 B、 C 的不在三角形的边或它们的延长线上的一点 S 连接面成的三条直线，分别与边 BC、 CA、AB或它们的延长线交于点 P、 Q、 R，则BPPC×CQQA×ARRB
6、()=1.28、塞瓦定理的应用定理：设平行于 ABC 的边 BC的直线与两边 AB、 AC的交点分别是D、E，又设 BE和 CD交于 S，则AS一定过边 BC的中心 M29、塞瓦定理的逆定理： （略）30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交第 3页于一点31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设 ABC的内切圆和边 BC、 CA、 AB分别相切于点 R、 S、 T，则 AR、 BS、 CT交于一点。32、西摩松定理： 从 ABC的外接圆上任意一点P 向三边 BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则 D、E、 R 共线，（这条直线叫西摩松线）33、西摩松定理的逆定
7、理： （略）34、史坦纳定理： 设 ABC的垂心为 H，其外接圆的任意点 P，这时关于 ABC 的点 P 的西摩松线通过线段 PH的中心。35、史坦纳定理的应用定理：ABC 的外接圆上的一点P 的关于边 BC、CA、AB的对称点和 ABC 的垂心 H 同在一条（与西摩松线平行的）直线上。这条直线被叫做点 P 关于 ABC 的镜象线。36、波朗杰、 腾下定理： 设 ABC的外接圆上的三点为 P、Q、R，则 P、 Q、R 关于 ABC交于一点的充要条件是：弧 AP+弧BQ+弧 CR=0(mod2∏).37、波朗杰、腾下定理推论1：设 P、 Q、 R 为 ABC的外接圆上的三点，若P、 Q
8、、 R 关于 ABC的西摩松线交于一点，则 A、 B、 C 三点关于 PQR的的西摩松线交于与前相同的一点38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论 1 中，三条西摩松线第 4页的交点是A、B、 C、 P、 Q、 R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。39、波朗杰、腾下定理推论3：考查 ABC 的外接圆上的一点 P 的关于 ABC 的西摩松线， 如设 QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、 Q、 R 的关于 ABC 的西摩松线交于一点40、波朗杰、腾下定理推论 4：从 ABC的顶点向边 BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是 D、 E、 F，且设边
9、 BC、CA、 AB的中点分别是 L、M、N，则 D、E、F、L、M、N 六点在同一个圆上，这时L、M、 N 点关于关于 ABC 的西摩松线交于一点。41、关于西摩松线的定理1： ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。42、关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。43、卡诺定理：通过 ABC的外接圆的一点P，引与 ABC的三边 BC、 CA、AB分别成同向的等角的直线PD、 PE、 PF，与三边的交点分别是D、E、 F，则 D、E、 F 三点共线。44、奥倍
10、尔定理：通过 ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与 ABC 的外接圆的交点分别是L、 M、 N，在ABC的外接圆取一点P，则 PL、PM、PN与 ABC的三边 BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、 F，则 D、E、 F 三点第 5页共线45、清宫定理：设 P、Q为 ABC的外接圆的异于 A、B、C 的两点， P 点的关于三边 BC、CA、AB的对称点分别是 U、V、W，这时， QU、 QV、 QW和边 BC、 CA、 AB或其延长线的交点分别是 D、 E、 F，则 D、 E、 F 三点共线46、他拿定理：设P、Q为关于 ABC 的外接圆的一对反点，点 P 的关于三边 BC
11、、CA、AB的对称点分别是 U、V、W，这时，如果 QU、 QV、 QW与边 BC、 CA、AB或其延长线的交点分别为ED、 E、F，则 D、 E、F 三点共线。（反点： P、Q分别为圆 O 的半径 OC和其延长线的两点，如果 OC2=OQ×OP则称P、 Q两点关于圆O互为反点）47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作 P 点的关于这4 个三角形的西摩松线，再从P 向这 4 条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。48、九点圆定理：三角形三边的中点, 三高的垂足和三个欧拉点连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点九点共圆通常称
12、这个圆为九点圆nine-point circle , 或欧拉圆 , 费尔巴哈圆 .49、一个圆周上有n 个点，从其中任意n-1 个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。50、康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n-2第 6页个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。51、康托尔定理 2：一个圆周上有 A、 B、 C、D 四点及 M、 N 两点，则 M和 N 点关于四个三角形 BCD、 CDA、 DAB、ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N 两点关于四边形ABCD的康托尔线。52、康托尔定理 3：一个圆周上有 A、 B、 C、D 四点
13、及 M、 N、 L 三点，则 M、 N 两点的关于四边形 ABCD的康托尔线、 L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、 M、 L 两点的关于四边形 ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、 N、L 三点关于四边形ABCD的康托尔点。53、康托尔定理 4：一个圆周上有 A、 B、 C、D、 E 五点及 M、N、 L 三点，则 M、 N、 L 三点关于四边形 BCDE、 CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、 L 三点关于五边形A、 B、 C、 D、E 的康托尔线。54、费尔巴赫定理： 三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。55、莫利定理：将三角形的三
14、个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该第 7页圆的圆心，三点共线。58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（A 和 D、B 和 E、C 和 F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形ABC、 DEF，设它们的对应顶点（ A 和 D、 B 和 E、C 和 F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形 ABCDEF相对的顶点 A 和 D、B 和 E、C 和 F，则这三线共点。60、巴斯加定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边 AB和 DE、BC和 EF、 CD和 FA 的（或延长线的）交点共线。第 8页