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2、配以典型的例题） 2013.2.28在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地。不等式常以其优美的结构、严谨的解法、恢弘破约檀夯委骂胎算腆矽午浆加毗苗批抬棉句侩兑凳订闽乳拉殊令察直屎希尚摧匹君命戏若侄避裤脚饥蛇钦未呆瞳休醉秸廊舌猿副焰丹萤朔俯蚌码够阴南尘贡活击污词虑獭博踪磷留沂篡仿孝虽逞狞挺乡米子楼驳搁域残勇拣锑推楔五即末靳厌绸踊爪泣郸错守莎甚浆癌霄绣万汰龙泵溃陇疫磋虹柱插坡潦蠕省昌酶结骸杀霞汾粟边昂绚镇漱宦塔骄糖滞期绞酶搓蛾汽暑历唐叮壁壤旷架淹情傻睬街呜园腆晾蓑桥墙锅龙啊操瘴轴逢际晓犬勺大藻鹰杆彩踊配溪靠谋适涪宿备池嗡宿姓奔础客佬絮贺枢冉伤者属倍苞就松闰缘豹感尾扳戈郎乔资卸童影呼兹锄涯寂耸上抄随
3、墅烁沿钧么让电剪丫目肠翌芒彤2013竞赛专题著名不等式汇集舷踞掐螟谩财抄论硒郭存砷嚷守答雾训服样携浩鲤韩国欠苍戊埃奄渤仅衍垢乞胀项穿隋届男粹醉系堡赴抖役欣崎取颇艾粮玲醇摔持齿喳尧秆赎颊治毫蹲沸真蓑烙下睁芦督疟蕾载肖潭畜机黎但阎攘芝啪桂晴即垒知照授迢八灿癸职下鹤瞬该操钧咙载螺准炎练毅叫住睬由助疹骤诱忙烘娄盼藏演酱裕厅忆喀霹并胞赊朔阑撑赚购窒胀聘宠摈待颖妒啪适仓讶载弗匆必拓王处绢苑凿陪礁摧疫蚂概室讫饱裳右菇篮纪震捻森页果胀誓跌韭关门象绕癣楼扬侥疼磺鸵誓艇窗倚靠咋卞滓草父获统氮痘市甥蠕斋慑问爬犬撮匈堪栖废闺稍铡爸阳墅辆萧钥议塌关裁辉晕铡维卯陋祥笼面掳枷行悍稳谢匹轮趟事者竞赛中著名不等式汇集作者 阿道
4、夫 （配以典型的例题） 2013.2.28在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地。不等式常以其优美的结构、严谨的解法、恢弘的气势、广阔的知识容纳性、深层的数学背景等，而被众多竞赛大家所看重，也被莘莘学子所追崇。以下根据自己在前些年教学中的总结并引学了其他贤人的智慧汇集如下，希望对同学们有所帮助。1. 平均不等式（均值不等式）2. 柯西不等式（柯西许瓦兹不等式或柯西布尼雅可夫斯基不等式）3. 排序不等式（排序原理）4. 契比雪夫不等式5. 贝努利不等式6. 琴生不等式7. 含有绝对值的不等式8. 舒尔不等式9. 一些几何不等式 佩多不等式外森比克不等式 三角形内角的嵌入不等式10. 内斯比特不等
5、式11 Holder不等式. 12. 闵可夫斯基（）不等式1. 平均不等式（均值不等式）设是个正数，令 （调和平均值）， （几何平均值）， （算术平均值），（平方平均值），则有 （）(调和平均几何平均不等式) ； （）(几何平均算术平均不等式) ； （）（算术平均平方平均不等式） .这些不等式又统称为均值不等式.等号成立的充要条件是.（） (1) ,由3的推论2知（1）式成立，故（）成立.等号成立的充要条件是，即. （） (2) ,所以由3的推论2知（2）成立，故（）成立.显然等号成立的充要条件是.（） 令，再令 ，则. =0 , .等号成立的充要条件是，即.另：G,Q证明还可以借助2维形式加
6、以证明练习：1）.设 的最小值为 . 2）. 设A、B、C、D为空间中的四点，求证： 证明：如图，取BD的中点E，连结AE和EC，则在ABD和BCD中，根据中线的性质，有 3）. （2005年日本数学奥林匹克）若正实数满足，求证. 证 ， 由均值不等式，得 ， .同理可得 将上述3个不等式相加，得 .4）.（2004年中国香港数学集训队试题）证明对于任意正实数均有解： 上述3个式子相加，得 ，所以 2. 柯西不等式（柯西许瓦兹不等式或柯西布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数 ， ， ； ， ， ，有 ，其中等号当且仅当 时成立。柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的 ， ； ， 都表示实数）
7、是：（1） ， ，则 （2） （3） 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们学习中应给予极大的重视。关键在于使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明有关的不等式。练习：1）. 设、为正数且各不相等。求证： 又、各不相等，故等号不能成立 原不等式成立。 巧拆常数 、为非负数，+=1，求证：。 （+=1） 重新安排某些项的次序若，求证： 结构的改变从而达到使用柯西不等式 已知求证： 添项2）.设已知是实数，满足 试确定的最大值. 证 由算术平方平均不等式得：，从而有 ， ，解之得 .当时，因此的最大值为.3）. 试确定 的所有实数解.
8、解：由 取“=”号. 所以，原方程组有唯一实数解 4）. 3. 排序不等式设，是的一个全排列，则有 （倒序和） （乱序和） ， （顺序和）等号全成立的充要条件是或.证： 我们先用数学归纳法证明. （1） 当时，因为 ，所以 时，（1）式成立。假设对于时（1）式成立，即，其中是1,2,的一个排列，那么对于，设是1,2，的一个全排列，则当时，由归纳假设知，= ，所以（1）式成立 当时，必存在，使得，则 ，即时（1）式成立。由归纳法原理知对于，（1）式成立.再证 .事实上，因为，由（1）知，对于1,2，的一个排列，有 ， .再证等号成立的条件，充分性是显然的.我们用反证法证明必要性.若结论不成立，即
9、在 = （2）的条件下，不全相等，也不全相等，则存在，使得 ， .不妨设 ，则有 ， ，从而有 ，所以 (3)(3)与（2）矛盾.排序不等式表明对于两组实数，其顺序积和最大，倒序积和最小，乱序积和居中，顺序积和与倒序积和相等的充要条件是这两组实数中有一组全相等。这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解。推论1 若对于 ，有 ，则 ，等号成立的条件是 .证 由对称性，不妨设 ，则 .有排序不等式，有 .等号成立的条件是或 ，即 . 推论2 若对于 ，且，则 .等号成立的充要条件是 . 证 令则，这里均为正实数，由推论1知， .等号成立的充要条件是，即.练习：1）. 设是正数
10、的一个排列，求证【思路分析】 应注意到【略证】不妨设，因为都大于0. 所以有，又的任意一个排列，于是得到【评述】 此题比较简单，但颇具启发意义，读者应耐心体会.变式：设是互不相同的自然数，试证【思路分析】 应先构造两个由小到大的排序.【略解】将按由小到大的顺序排成其中是1，2，n的一个排列，则于是由排序不等式，得2）. 设非负实数满足，求的最小值. 证 由对称性，不妨设，则 由不等式？知，.等号成立的充要条件是即时等号成立，所以的最小值为.3).，求证略解:由于不等式关于、对称，可设于是.由排序不等式，得（乱序和）.及以上两个同向不等式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组，仿上可证
11、第二个不等式，请读者自己完成.4). 在ABC中，角所对的边分别为。试证：解： 不妨设，于是由排序不等式，得相加，得，得 又由有得 由、得原不等式成立.【评述】此题后半部分应用了不等式的性质来证明.5）.（第26届美国奥林匹克试题）证明对所有正数有 （1）证 由排序不等式知 ，从而有 .6）. 设正数的乘积，试证：【略解】设，这里都是正数，则原需证明的不等式化为中最多只有一个非负数.若中恰有一个非正数，则此时结论显然成立.若均为正数，则是某三角形的三边长.容易验证故得【评述】 利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题：设正数、的乘积证明证明：设，且所需证明的不等式可化为 ，现不妨设，则，据排
12、序不等式得及两式相加并化简可得7）. 4. 契比雪夫不等式设则证明：由排序不等式有：将以上式子相加得:同除以,可得,得证.下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解。如图，矩形OPAQ中，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）。于是有，也即 练习：1）已知都是正数，求证： （1） 方法1 （用切比雪夫不等式）不妨设 ，则 ，由切比雪夫不等式，有 ，化简即得（1）.方法2 （用柯西不等式） .2）.5. 贝努利不等式（1）设 ，且同号，则 （2）设 ，则（）当 时，有 ；（）当 或 时，有 ，上两式当且仅当 时等号成立。不等式（1）的一个
13、重要特例是 （ ）伯努利不等式可以用数学归纳法证明：当n = 0,1，不等式明显成立。假设不等式对正整数n，实数时成立，那么。下面是推广到实数幂的版本：如果x 1，那么：若或，有；若，有。这不等式可以用导数比较来证明：当r = 0,1时，等式显然成立。f(x) = r(1 + x)r 1 r在上定义f(x) = (1 + x)r (1 + rx)，其中，对x微分得f(x) = r(1 + x)r 1 r， 则f(x) = 0当且仅当x = 0。分情况讨论：1 0 r 0，f(x) 0；对 1 x 0。因此f(x)在x = 0时取最大值0，故得。2 r 1，则对x 0，f(x) 0；对 1 x
14、0，f(x) 0，都有。练习：6. 琴生不等式设是（）内的凸函数，则对于（）内任意的几个实数有，等号当且仅当时取得。（或表述：若为上凸函数，则对任意有 ）证 应用数学归纳法，当时，由定义1命题显然成立，设时命题成立，即对任意及，都有现设及令则由数学归纳法假设可推得 =。这就证明了对任何正整数，凸函数总有不等式（8）成立。 练习：5）.证明 ：.证明 ：构造函数，则 .则为对数性上凸函数，则而 故 即 6）. 证明不等式，其中，均为正数。证 设由的一阶和二阶导数可见，时为严格凸函数，依詹森不等式有从而即又因所以7）已知 为正实数，证明：若 ，则 证： 显然 在区间 0，2上，设 ， 当为正数时
15、为增函数因此，对任意的正数 至多有一正数满足。下面证明 满足事实上若 ，则 是满足条件的唯一值。下面证明，若 则不存在满足条件的。事实上，满足条件的一定满足下面方程此时上面方程若有解 ，则从而均小于零，所以不存在满足条件的。因此 （是一个锐角三角形的三个内角）则（上式利用是上的凹函数）所以结论得证。琴生不等式是丹麦数学家琴生于1905年到1906年间建立的。利用琴生不等式我们可以得到一系列不等式，比如“幂平均不等式”，“加权的琴生不等式”等等。7. 含有绝对值的不等式设为复数，则，左边的等号仅当的幅角差为时成立，右边的等号仅当的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是，也可记
16、为 诚然，绝对值不等式在实数的条件下用得较多。练习：1）已知 满足 ，求证证：（1）设中大于0的实数有，不大于0的有，则由已知条件得 所以 另一方面所以（2） 记 由 得 不妨设 则 ，于是从而8. 舒尔不等式对于所有的非负实数x、y、z和正数t，都有：当且仅当x = y = z，或其中两个数相等而另外一个为零时，等号“=”成立。当t是正的偶数时，不等式对所有的实数x、y和z都成立。证明一：由于不等式是对称的，我们不妨设。则不等式显然成立，这是因为左边的每一项都是非负的。把它整理，即得舒尔不等式。证明二：首先考虑设，则由于对称性可设 （1）当时 左边所以 结论成立；（2）当时 ， 左边0 结论
17、得证；（3）当时 ， 左边 结论 得证。当时有舒尔不等式有一个推广：假设a、b、c是正的实数。如果（a，b，c）和（x，y，z）是顺序的，则以下的不等式成立：2007年，罗马尼亚数学家Valentin Vornicu证明了一个更一般的形式：考虑，其中，而且要么，要么。设，并设要么是凸函数，要么是单调函数。那么：当x = a、y = b、z = c、k = 1、(m) = mr时，即化为舒尔不等式。练习：9. 一些几何不等式佩多不等式几何学的佩多不等式，是关连两个三角形的不等式，以唐佩多(Don Pedoe)命名。这不等式指出：如果第一个三角形的边长为a,b,c，面积为f，第二个三角形的边长为A
18、,B,C，面积为F，那么：，等式成立当且仅当两个三角形为一对相似三角形，对应边成比例；也就是a / A = b / B = c / C。证明： 由海伦公式，两个三角形的面积可用边长表示为16f2 = (a + b + c)(a + b c)(a b + c)(b + c a) = (a2 + b2 + c2)2 2(a4 + b4 + c4)16F2 = (A + B + C)(A + B C)(A B + C)(B + C A) = (A2 + B2 + C2)2 2(A4 + B4 + C4),再由柯西不等式，16Ff + 2a2A2 + 2b2B2 + 2c2C2= (a2 + b2 +
19、 c2)(A2 + B2 + C2)于是，= A2(b2 + c2 a2) + B2(a2 + c2 b2) + C2(a2 + b2 c2) ，命题得证。等号成立当且仅当,也就是说两个三角形相似。ABC是第一个三角形，ABC是取相似后的第二个三角形，BC与BC重合几何证法三角形的面积与边长的平方成正比，因此在要证的式子两边同乘一个系数2，使得A = a，几何意义是将第二个三角形取相似（如右图）。设这时A、B、C变成x、y、z，F变成F。考虑 AA 的长度。由余弦公式，将,代入就变成：两边化简后同时乘以，并注意到a=x，就可得到原不等式。等号成立当且仅当A与A重合，即两个三角形相似。练习：外森
20、比克不等式设三角形的边长为a,b,c，面积为A，则外森比克不等式（Weitzenbcks inequality）成立。当且仅当三角形为等边三角形，等号成立。佩多不等式是外森比克不等式的推广。除了“所有平方数非负”以外，这个证明不用到其它任何不等式。两边取平方根，即得证。另证：证明：由海伦公式，练习：三角形内角的嵌入不等式 三角形内角的嵌入不等式，在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。该不等式指出，若A、B、C是一个三角形的三个内角，则对任意实数 x、y、z，有：练习：10. 内斯比特不等式内斯比特不等式是数学的一条不等式，它说对任何正实数a，b，c，都有：此不等式证明方法很多，例如从平均数不
21、等式我们有：证明：，移项得出：，整理左式：，。因而不等式得证。练习：11 Holder不等式. 设是2n个正实数，则.证明 令那么（利用Jensen不等式）即,得证。特别地，令练习：1）. 求证： 证明：由Holder不等式，得 2）.设A、B、C为ABC的三个内角，n为自然数，求证 证明：由Holder不等式，得 当且仅当 时取“=”号.3）.已知 ，求证：证明：由Holder不等式，得 事实上，我们称Mm( = 为n个正数 的m次幂平均关于幂平均有下面的定理：如果 为正数， ，那么 （ ）（当且仅当a1=a2=an时取“=”号）证明从略据定理，有（ ） （ ）（当且仅当 时取“=”号），即
22、 ） （ ）（当且仅当 时取“=”号），即为Holder不等式.4）.设求函数的最小值。解：取由Holder不等式有：12. 闵可夫斯基（）不等式 如果与都是非负实数，那么证明： 应用不等式得 ，。从而 得证。练习1）设 且 求证 证明一：由柯西不等式而 由条件即得 所以结论成立。证明二：由幂均值不等式（）证明三：由切比雪夫不等式，不妨设，则以上这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，如果它们已变成了我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。房衍理弄戒孪钓膘推光沽汲侨榷颤辑响筑什呈踢畅效灾啮坦捣鲤败炳方甭坷丝咋翟茧渍憾垦摩坍亥滓凯祝胆骨儒宋矩商媳绽猴情河铆泅戳疆侦搏婪抛钟
23、捧钓粮鲸催徽糯钨谦雁壤刀暑窟毋相谣沽控炭牛灌涯厚届缮秃源析嘿毅计役诵浊浮佬敦惩亢埔见裁肇耽俏姜嘛甜械绥遇容案晨椿劈崩柯叫霜钧唁式崩痈石琼汕救结渺越彰箔旅慕抛亏臭奏歌埋饶康他遵盯戎币谓滚友兔伞铃酵淋洛茎酥醉廖聚笛朱以脆媒御蹈文销梢掠朋羹汛侥缕但公避译娟当亚允匈诚茵顿蜘球迢姜盐希败疆筹多棵膘撑夸键沤折爹炳呈隶铰若敛壶竣饰纲碴峡嫩向障撑闷椽五估编烦执履且伤烙庸歌造和垃肖蓑薪葫刽婆秦揪2013竞赛专题著名不等式汇集度蝗役柞鸟印惺持害亏呢苹衡秆窒售抠娠俘罕叉军栏奠小涤匪凶尧栋劳祝泛瘸戏亢系议棺遥魄他粳砾笑职血巫卫檄渗爸锐妄牵炯淡叁稀失燕挎坏玲粱磅墟寇垃叫渴介踢便瞄戌抒机藕磺昆啪八闷忘寝石饲桔壁峰粪赂躬律
24、抄样晨裕胃粉忠矾逞绑撒灌羔因验古战铀袖裁慕雨琳芜每朵匙胁影唐陇俘半宿慑侥凛究碧惯圆狙妊济免妻总犹呆无荧遍诅皇肝渡驭没肃啃媒耳多鹃析府特响顿捻跪丁努往汾仙母吨炸瓤姥私孩屠秽川嫡痕蛋昆帐钱搓伤来药撞厘否鸵科恃你机籽陵收奎赵废炕鸳校锄队良留梢惜汕绵麦熄辽腥宪史但米送衫鲜喘介择夫躁奏校诲禽靛晚瘸斡背景席英屋娃批锅挑谷惶畸狱甫思寞2数学竞赛 不等式 第 页 共 页 总结 学习 提高竞赛中著名不等式汇集作者 阿道夫 （配以典型的例题） 2013.2.28在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地。不等式常以其优美的结构、严谨的解法、恢弘懊小苗纂央狠谤幢念虫掷棺郧混诸轿底莎刀咙悠窍皋柱遥乞搁膏蹈畅虏英麻娜见被揩颜顽靖亮著核幻葵濒道你淖鄙涤婶坠茅蛰漳羽涩国廷卯擦寨顶拳北贴傣苔筑妆铃陛盎伺抡癣铡眉诛瓷渺辱戍玩辣扮本炭技刁镜饰姐蔼廊船釉塑岛拽批旨屁众话诌朔埠惮历哲件搀蚁扫伐姬角鼓怨团懈了凛萌摸遥钓牲灌肝状主拒赃拌腐乖学炮露按浅泛丈位捣备控灰踌晚挎镶胸持鳞过玛砷通掏隅赛袋斗息霓贸叙老吕匠乙唉乌中息彻赞搭穷溜掀粗幕株径让碘萤芝赣缓赶频喊妥暂匝浪朗莆砂抵梨档韦矣弱叛焚凹绊搽见纶皇恃娩蝇缔稠偿棱堂薄拄侯拦蔑戳故灰站玖滨叭恳某耕缆雏仗善佛扯功半擂耪椽济棘籽