《数列专题之求通项公式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列专题之求通项公式.doc（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、数列专题之求通项公式【教学目标】1、 通过从最基本的等差、等比数列求和问题进行变式，展现几类常见的递推公式；2、 初步体验将新数列的递推公式迭代具体化，并猜测归纳新数列本质规律的方法；3、 通过将新问题化归为最基本的等差、等比数列求通项公式或求和的问题的过程，使学生初步掌握由数列递推公式求通项公式的若干常用方法，并进一步体验化归思想和数学未知问题的研究方法。【教学重难点】掌握几类常见求数列通项公式的方法。【教学过程】（框线内为板书）一、复习引入【引例】口答（1）在数列中，则_解：，（2）在数列中，则_解：，【基础变式】如果条件变化为以下形式，你还能求解通项公式吗？（1）在正数项数列中，求_解：
2、是以4为首项，3为公比的等比数列所以，因为，所以，（2）在数列中，则_解：由题意，且，所以是以为首项，2为公差的等差数列所以，所以，【小结】非等差、等比数列，须化归为等差、等比数列求解通项公式数列专题数列通项公式求数列通项公式的基本思路：新数列问题等差、等比数列问题【进阶变式】如果条件变化为以下形式，你还能求解通项公式吗？（1）在数列中，求的通项公式（2）在数列中，求的通项公式（3）在数列中，求的通项公式（4）在数列中，求的通项公式二、通过变式引入其他类型的求通项公式方法1、将引例（1）中的2改为2n，即变为，如何求解？【例1】在数列中，求的通项公式【分析1】根据递推公式，表示出数列的前五项：
3、，减2之后成为：0,2,6,12,20，猜测（填空题可使用）但缺少严格论证【分析2】如果不计算答案，而将代入过程呈现：，发现规律：（，）这是一种迭代的思路，等价的解法也可以是累加法：【分析3】通项公式变形为，即：，（，）发现可用这一系列的式子表示：（，）经检验，【小结】迭代法；累加法；求数列通项公式的方法：1、迭代法：不断用变量的旧值递推新值的过程；2、累加法：（，）适用情况：且可求前n项和2、将引例（2）中的3改为，即变为，如何求解？【例2】在数列中，求的通项公式【分析】将例2减法改成了除法，因此方法可以类比解：由题意，所以，即：，（，）发现可用这一系列的式子表示：（，）当n=1时，所以，【
4、小结】累乘法；求数列通项公式的方法：3、累乘法：（，）适用情况：且可求前n项积3、将引例中的递推公式组合成，如何求解？【例3】已知数列满足，且，求的通项公式【提示】根据递推公式，写出前5项为：2，8，26，80，242,分别减1之后为3，9，27，81，243，为等比数列，因此猜测是等比数列解：设（），可得，所以，所以是以3为首项，3为公比的等比数列所以，所以（）【思考】能否通过其他方式找到辅助数列，从而求解通项公式？【分析】只要合理分配递推公式右式中的常数项2，就一定能构造辅助数列成为等比数列：设，展开整理得，令得所以必有，即是等比数列【巩固练习】已知：，构造辅助数列使其为等比数列解：设，展
5、开整理得，令得所以必有，即是等比数列【小结】辅助数列法待定系数法4、辅助数列法（1）倒数型（2）平方型（3）待定系数型适用情况：（），可通过待定系数法构造等比辅助数列说明：p=1时为等差数列，q=0时为等比数列，p=0时为常数列，无需使用此方法。4、将例1中的a替换成S，即变为，如何求解？【例4】在数列中，求的通项公式【分析1】可根据例3先用待定系数法找到辅助数列，从而求出通项公式，继而求出解法一：根据例3，可证是以3为首项，3为公比的等比数列，且（）当时，当时，所以；因为当时，所以（）【分析2】可利用化为递推公式解法二：由已知：（），（，）两式相减得（，）即（，） （从第二项开始为等比数列）
6、又得，解得可得，所以（，）所以从第二项开始是以6为首项，3为公比的等比数列所以（，）当时，所以5、公式法（）【注】仅当时可用适用情况：已知的通项公式或含的递推公式使用方法：（1）将与作差，消去（2）将代换成，消去【例5】在数列中，求的通项公式【分析】可利用化为递推公式解法一：，两式相减得：所以是以2为首项为公比的等比数列解法二：，所以，即，之后用待定系数法求解【课堂总结】数列专题数列通项公式求数列通项公式的基本思路：新数列问题等差、等比数列问题求数列通项公式的方法：1、迭代法：不断用变量的旧值递推新值的过程；2、累加法：（，）适用情况：且可求前n项和3、累乘法：（，）适用情况：且可求前n项积4
7、、辅助数列法（1）倒数型（2）平方型（3）待定系数型适用情况：（），可通过待定系数法构造等比辅助数列5、公式法（）【注】仅当时可用适用情况：已知的通项公式或含的递推公式使用方法：（1）将与作差，消去（2）将代换成，消去数列专题求通项公式 笔记纸一、引例1、口答（1）在数列中，则_（2）在数列中，则_2、基础变式：如果条件变化为以下形式，你还能求解通项公式吗？（1）在正数项数列中，则_解：由题意，数列_是以_为首项，_为公比的等比数列所以，_，因为，所以_，（2）在数列中，则_解：由题意，两边取倒数得_，整理得_所以数列_是以_为首项，_为公差的等差数列所以_，所以_，【小结】求数列通项公式的基
8、本思路：新数列问题_、_数列问题二、典型例题【例1】在数列中，求的通项公式【小结】求数列通项公式的方法：方法1：_：不断用变量的旧值递推新值的过程；方法2：_：_适用情况：_【例2】在数列中，求的通项公式【小结】求数列通项公式的方法：方法3：_：_适用情况：_【例3】已知数列满足，且，求的通项公式【巩固练习】已知：，构造辅助数列使其为等比数列【小结】求数列通项公式的方法：方法4：_（1）_；（2）_；（3）_类型（3）适用情况：_【例4】在数列中，求的通项公式解法一：解法二：【小结】求数列通项公式的方法：方法5：_公式：_适用情况：_使用方法：（1）_（2）_【例5】在数列中，求的通项公式解法一：解法二：