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1、第三章 有限差分的基本理论,水文09级计算水力学教学课件,2,课 程 内 容,基本概念 偏导数的差商近似 差分方程 截断误差和相容性 收敛性 稳定性 Lax等价定理,3,1. 基本概念,圣维南方程组：,无法求解析解,Z(x, t)，Q(x, t)连续的,4,1. 基本概念, 基本概念,x,t,0,x,-x,求解域 网格 节点 时间步长 空间步长,x t 平面,5,1. 基本概念,本章主要研究：构造差分方程、分析数值误差,6,2. 偏导数的差商近似, 差分、差商的基本概念,解析函数：,导数定义：,差 分：,差 商：,7,2. 偏导数的差商近似,向前差分：,向后差分：,中心差分：,x,t,0,i,
2、i+1,i-1,j-1,j+1,j,对“那个点”进行差分很重要！,8,2. 偏导数的差商近似,9,通过对差商近似点（i，j）的Taylor展开，可以分析差商对偏导近似的精度,2. 偏导数的差商近似Taylor展开法, Taylor 展开法,10,2. 偏导数的差商近似Taylor展开法,一阶向前差商：,一阶向后差商：,11,2. 偏导数的差商近似Taylor展开法,二阶中心差商：,12,2. 偏导数的差商近似Taylor展开法,构造一阶偏导数具有二阶精度的差商近似,边界处偏导数的差商近似,13,对点(0, j)进行Taylor展开,2. 偏导数的差商近似Taylor展开法,边界处偏导数的差商近
3、似,14,构造一阶偏导数的二阶精度的差商近似必须有,2. 偏导数的差商近似Taylor展开法,解 得：,可 得：,15,2. 偏导数的差商近似Taylor展开法,构造二阶偏导数具有一阶精度的差商近似,16,2. 偏导数的差商近似Taylor展开法,构造二阶偏导数的差商近似必须有,解 得：,可 得：,17,2. 偏导数的差商近似Taylor展开法,构造二阶偏导数具有二阶精度的差商近似,18,2. 偏导数的差商近似Taylor展开法,19,2. 偏导数的差商近似Taylor展开法,构造二阶偏导数具有二阶精度的差商近似 必须有,解 得：,可 得：,20,用多项式插值法把待求函数表示成含待定系数的解析
4、函数，由节点函数值确定该系数，然后对此函数求偏导数，得到逼近偏导数的差商表达式。,2. 偏导数的差商近似多项式差值法,设函数u可用抛物插值公式来近似：,21,2. 偏导数的差商近似多项式差值法,设原点在点的位置上，则有：,解出待定系数 ：,2,22,2. 偏导数的差商近似多项式差值法,23,用高阶多项式插值可得到高阶差商表达式。 高阶多项式插值具有龙格不稳定性，使得插值对计算误差十分敏感。 多项式插值法在计算流体力学中多用于处理边界处的差商近似。 偏导数的差商近似还有其它多种方法，但最终均需用Taylor展开来计算其近似的误差，因此在实际计算中通常均用Taylor展开法来构造，因为此法在构造差商近似的同时还得出了其近似的误差精度。,2. 偏导数的差商近似多项式差值法,24,Homework,构造一阶偏导数具有二阶精度的差商近似,边界（n，j）处偏导数的差商近似,构造二阶偏导数具有一阶精度的差商近似,构造二阶偏导数具有二阶精度的差商近似,j,2,1,0,n-2,n-1,n,25,Thank You !,