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1、1,第五节 平面及其方程,2,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量,法向量的特征：,垂直于平面的任一非零向量,已知,设平面上的任一点,必有,一、平面的点法式方程,3,平面的点法式方程,其中法向量,平面上一点,4,解,所求平面方程为,化简得,5,由平面的点法式方程,平面的一般式方程,法向量,二、平面的一般式方程,6,平面的一般式方程的几种特殊情况：,平面通过原点,7,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,8,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,即,9,设平面为,将三点坐标代入得,解,10,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,11,设所求平面为,（两向量平行的充要条件
2、）,解,12,化简得,令,所求平面方程为,由对称性，得：,也满足要求。,13,定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,三、两平面的夹角,14,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,15,例6 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,16,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合.,17,解,18,19,点到平面的距离公式,20,解,设所求平面的法向量,从而有,21,即,（1）,从而有,（2）,由(1)(2)解得:,22,23,另解：,24,另解：,即,25,平面的方程,（熟记平面的几种特殊位置的方程）,两平面的夹角.,点到平面的距离公式.,点法式方程.,一般式方程.,截距式方程.,（注意两平面的位置特征）,四、小结,26,思考题,27,思考题解答,个人观点供参考，欢迎讨论,